Системный анализ: Прикладные методы системного анализа




Скачать 133.48 Kb.
НазваниеСистемный анализ: Прикладные методы системного анализа
страница1/2
Дата публикации19.06.2013
Размер133.48 Kb.
ТипДокументы
uchebilka.ru > Астрономия > Документы
  1   2
Системный анализ: Прикладные методы системного анализа

УДК 621.396.: 351.814

В.П. Харченко, С.В. Нагаев, А.Г. Кукуш, Е.А. Знаковская, С.И. Доценко

Определение объема выборки в методе моделирования редких событий

Ключевые слова: Вероятность сближения, редкие события, объем вспомогательной выборки, метод существенных выборок.

Key words: Probability of closing in, rare events, size of auxiliary sample, importance sampling technique.

1. Введение

В настоящей статье модернизируется метод моделирования редких событий путем определения объема вспомогательной выборки, что позволяет более точно оценить вероятность сближения воздушных судов по одной координате.

Рассмотрим следующую задачу. Два самолета летят в параллельных воздушных коридорах. При этом отслеживается их текущая координата x (высотная или поперечная). Предположим, что координата x летящего самолета имеет вероятностное распределение с плотностью вероятности смешанного типа [4],



Здесь – эйлерова гамма-функция, – параметр смеси, и – положительные параметры масштаба, и – положительные параметры формы, – параметр местоположения, соответствующий оси воздушного коридора. Данная плотность вероятности называется плотностью двойного обобщенного распределения Лапласа [4]. Первое слагаемое правой части формулы соответствует главной части распределения, в то время как второе слагаемое соответствует редким событиям, когда самолет слишком далеко удаляется от оси коридора.

Плотности вероятности для координаты первого самолета и второго самолета равны и и имеют различные параметры местоположения и . Эти плотности имеют общие параметры и .

Столкновение по координате x возможно, если , где d – эффективный диаметр самолета, и  текущие значения координаты x самолетов. Задача состоит в том, чтобы оценить вероятность сближения по координате x:



Такой интеграл аналитически вычислить не представляется возможным. Его определяют методом Монте Карло, моделируя две независимые выборки:



Оценка при почти наверное. Однако такой способ не приводит к цели, поскольку величина очень мала и событие наступает чрезвычайно редко. К тому же датчики случайных величин псевдослучайны, что приводит к значительным отклонениям от . Поэтому вместо непосредственного моделирования применим метод существенных выборок, как это было предложено в [2]. Однако там не указан объем вспомогательной выборки, обеспечивающий заданную точность определения вероятности сближения.

В настоящей работе выписана оценка сверху для объема выборки, обеспечивающего заданную относительную точность оценки вероятности сближения. Статья организована следующим образом. В разд. 2 приведена точная постановка задачи и изложен метод существенных выборок (Importance Sampling Technique) применительно к оцениванию вероятности сближения воздушных суден. В разд. 3 содержатся вспомогательные результаты о скорости сходимости в законе больших чисел, которые следуют из результатов [1]. В разд. 4 осуществлен выбор объема вспомогательной выборки. Разд. 5 посвящен численному эксперименту. В последнем разделе подведен итог исследования.

^ 2. Постановка задачи и модель

Обозначим

,

где . Положим также при

. (1)

Дисперсия этого распределения представляется формулой [2]:

. (2)

При имеем – плотность нормального распределения.

Будем считать, что . Это означает, что у второй компоненты плотности более тяжелые "хвосты". Введем совместную плотность координат и самолетов

.

Необходимо определить вероятность столкновения по координате ,

,

где эффективный диаметр самолета, независимые случайные величины, , .

Пусть  плотность распределения . Определим совместную гауссовскую плотность, суженную на область конфликта,

.

В работе [2] в формуле (8) знаменатель этой дроби равен .

Статистическая оценка искомой вероятности определяется выражением:

.

Здесь независимая выборка, сформированная по плотности . Тогда ,

.

Пусть . Необходимо найти оценку вероятности события

. (3)

Данная вероятность должна удовлетворять условию β, где – уровень доверия, который обычно равен 0,95.

^ 3. Скорость сходимости в законе больших чисел

Формулируемая ниже теорема является частным случаем теоремы 2 в [1].

Пусть – одинаково распределенные независимые случайные величины. Положим пусть . Зафиксируем .

Теорема 1. Справедливо неравенство

,

,

где

, .

Аналогично имеем

(4)

Наложим дополнительно условие . Тогда

,

. (5)

Пусть – возрастающая функция, причем , является убывающей функцией. Доопределим по непрерывности и продолжим на до четной функции. Тогда – четная функция. Например, , где .

Оценим некоторые слагаемые в (4), (5).

1. .

Здесь и ниже .

2. .

3. .

Предположим дополнительно, что при некотором с вероятностью 1 выполнено неравенство . Тогда при имеем . Кроме того, . В результате получаем следствие из теоремы 1.

Следствие 1. Если , с вероятностью 1 и , то

. (6)

^ 4. Выбор объема вспомогательной выборки

4.1. Задание функции g. Обозначим

;

. Тогда независимые, одинаково распределенные, причем . Обозначим . Тогда для события (3) имеем и согласно (6)

(7)

при условии

. (8)

Здесь . Выберем четную функцию такую, чтобы:

а) возрастала на ,

б) убывала на ,

в) .

Начнем с условия в). При имеем

.

где – индикаторная функция события Q, то есть если событие Q выполнено, и 0 в противном случае.

Рассмотрим



Здесь при вычислении математического ожидания считаем, что случайный вектор имеет уже плотность , а не . Рассмотрим отношение плотностей в области

τ,

где τ введено в разд. 2. В числителе слагаемые, наибольшие по порядку при ∞, ∞, соответствуют тяжелым "хвостам" и имеют вид

.

Тогда основное слагаемое в имеет вид

.

Напомним, что . Будем считать, что . Тогда под знаком экспоненты главные члены квадратичные. Далее,

.

При для имеем

.

При и имеем

,

и в силу неравенства имеем .

Функция , возрастает. Выберем теперь так, чтобы отношение , убывало. При имеем ,



Целесообразно, чтобы .

Имеем при .

Положим , тогда при всех будет убывать.

Окончательно полагаем

,

где , .
  1   2

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Системный анализ: Прикладные методы системного анализа iconСовременный системный анализ является прикладной наукой, нацеленной...
Изучение системного анализа базируется на знаниях, получаемых при изучении таких курсов, как экономическая теория, высшая математика,...

Системный анализ: Прикладные методы системного анализа icon8. Основы системного анализа
В настоящее время в науке выделяются несколько вариантов понимания сущности системного анализа

Системный анализ: Прикладные методы системного анализа iconСистемный анализ как один из методов системного подхода
Общая постановка задачи исследования операции. Оптимизация решения в условиях неопределенности

Системный анализ: Прикладные методы системного анализа iconГанжа А. Н., Марченко Н. А. Методы и средства системного анализа...
Ганжа А. Н., Марченко Н. А. Методы и средства системного анализа поверхностных теплообменных аппаратов паро газотурбинных и дизельгенераторных...

Системный анализ: Прикладные методы системного анализа iconЛекции
Аналитическая химия и химический анализ. Качественный и количественный анализ. Методы анализа, их классификация. Аналитические реакции,...

Системный анализ: Прикладные методы системного анализа iconЛекции
Аналитическая химия и химический анализ. Качественный и количественный анализ. Методы анализа, их классификация. Аналитические реакции,...

Системный анализ: Прикладные методы системного анализа icon4 Методика анализа и оценки конкурентоспособности организации Для...
Для оценки конкурентоспособности фирмы сначала необходимо провести анализ ее состояния. Качество анализа будет высоким при его проведении...

Системный анализ: Прикладные методы системного анализа iconО программе «Финансовый анализ: ключевые аспекты отечественной и...
Использовать в финансовом анализе методы интерпретационного и коэффициентного анализа

Системный анализ: Прикладные методы системного анализа iconСхема-модель функционально-системного подхода как инструмент систематизации...
Ключевые слова: система, системный подход, механизмы мышления, схема-модель функционально-системного подхода, методики обучения,...

Системный анализ: Прикладные методы системного анализа iconБоровиков А. В., доцент кафедры менеджмента
К наглядным методам анализа можно отнести, на наш взгляд, широко применяемые методы в практике менеджмента предприятий развитых стран...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
uchebilka.ru
Главная страница


<