Конспект лекций по дисциплине «Высшая математика» Специальность 05010201 «Обслуживание компьютерных систем и сетей»




НазваниеКонспект лекций по дисциплине «Высшая математика» Специальность 05010201 «Обслуживание компьютерных систем и сетей»
страница1/8
Дата публикации18.12.2013
Размер0.76 Mb.
ТипКонспект
uchebilka.ru > Информатика > Конспект
  1   2   3   4   5   6   7   8
УКРАИНА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОЛОДЕЖИ И СПОРТА

АВТОНОМНОЙ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ

КРЫМСКОЕ РЕСПУБЛИКАНСКОЕ ВЫСШЕЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ

«ФЕОДОСИЙСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»
Конспект лекций

по дисциплине

«Высшая математика»
Специальность 5.05010201 «Обслуживание компьютерных систем и сетей»

Отрасль знаний 0501 Информатика и вычислительная техника
Разработала преподаватель Н.В.Наточий
Феодосия
2012
Лекция 1

Тема: «Неопределенный интеграл, основные методы интегрирования»
Функция µ § называется первообразной для функции µ §, если µ §.

Теоремы о первообразных.

Теорема. Если µ § - первообразная для функции µ §, то µ § (µ §- константа) - тоже первообразная для функции µ §.

Доказательство. µ §.

Теорема. Пусть µ § - две первообразных для функции µ §, тогда они различаются на некоторую константу (µ §- константа).

Рассмотрим функцию µ §, она непрерывна и дифференцируема на всей числовой оси, как и функции µ §. Тогда для любых конечных значений µ § по формуле конечных приращений Лагранжа µ §.

Следовательно, µ §
Неопределенным интегралом µ § (интеграл от функции µ § по µ §) называется совокупность всех первообразных функций для функции µ §.

µ §.

Функция µ §, стоящая под знаком интеграла, называется подинтегральной функцией, а выражение µ § - подинтегральным выражением..
Свойства неопределенного интеграла.
Свойства неопределенного интеграла можно условно разделить на две группы. В первую группу собраны свойства, вытекающие из того, что интегрирование ЁC операция, обратная дифференцированию. Во вторую группу собраны свойства линейности. Эти свойства вытекают из того, что интегрирование, как и дифференцирование ЁC линейная операция и определяют линейную операцию.
Первая группа свойств.

µ §.

µ §

µ §

µ §.
Докажем первое свойство.

Так как µ §

Здесь µ §- первообразная для µ §.

Докажем второе свойство.

Обозначим µ § Тогда µ §, а µ § по первому свойству. Поэтому функции µ § являются первообразными для функции µ §. Следовательно, по теоремам о первообразных, они различаются на константу, т.е. µ §или µ §

Третье свойство следует из первого: µ §

Четвертое свойство следует из второго, если вспомнить, что с дифференциалом первого порядка можно обращаться как с алгебраическим выражением (свойство инвариантности формы записи первого дифференциала).

Поэтому надо доказать два первых свойства.

Вторая группа свойств.

свойство суперпозиции µ §

свойство однородности µ §.

Доказательства того и другого свойств проводятся аналогично. Дифференцируем (по свойствам первой группы) левую и правую часть равенства, приходим к тождеству. Затем из теорем о первообразных заключаем, что левая и правая часть равенства, как первообразные одной и той же функции, различаются на константу. Эта константа может быть формально включена в неопределенный интеграл в левой или правой части равенства.
Для того, чтобы вычислить интеграл от функции, проще всего «угадать» первообразную для этой функции по таблице для производных, переписав эту таблицу в обратном порядке. Запишем интегралы для основных элементарных функций.

µ § µ §. Эти формулы лучше запомнить, они очень часто встречаются.

µ §

µ §

µ §

Справедливость этих формул легко проверить, дифференцируя правую часть соотношения и получая подинтегральную функцию.
Методы интегрирования и таблица интегралов.
1. Метод подведения под дифференциал.

Пусть известен интеграл µ §(µ §- первообразная для функции µ §). Тогда µ §

Главное здесь ЁC «догадаться», как µ § представить в виде µ §.µ §

Доказательство. µ § по теореме о сложной функции. Следовательно, функция µ § и µ § являются первообразными для функции µ § и, по теоремам о первообразных, различаются на константу.
Этот метод применяется часто. Например, µ §, µ §.

2. Метод замены переменной.
Это ЁC универсальный метод, метод подведения под дифференциал является частным случаем метода замены переменной.
Теорема. Пусть функция µ § непрерывно дифференцируема в некоторой области и имеет непрерывно дифференцируемую обратную функцию µ §. Тогда µ § где µ §.

Доказательство. Дифференцируя обе части, используя теоремы о производной сложной функции и инвариантность формы записи первого дифференциала, получим тождество дифференциалов.

µ §, где µ §. Из него следует равенство интегралов в левой и правой частях.

Заметим, что требования к обратной функции нужны, чтобы суметь возвратиться обратно, от переменной µ § к переменной µ §.
2. Интегрирование по частям
Для вычисления интегралов вида µ §, если вместо него удобно вычислять интеграл µ §, пользуются методом интегрирования по частям.
µ § = µ §- µ §,

если интегралы в обеих частях соотношения существуют.

Докажем справедливость этой формулы. Дифференцируя произведение функций, получим µ § или

µ §.

Интегралы левой и правой частей существуют(µ §).

Интегрируя, получим нужное соотношение.
Примеры.

µ §

µ §.

µ §

µ §

Вычислим интегралы µ §, µ §.

µ §, µ §

µ § µ §.

Теперь, подставляя второй интеграл в первый, получим

µ §.

Аналогично, подставляя первый интеграл во второй, получим

µ §.

Пополним таблицу интегралов, применяя методы интегрирования (в первой лекции получены четыре интеграла).

5. µ §

6. µ §

7.µ §

8. µ §

Здесь сделана замена переменной, подстановка µ §- одна из подстановок Эйлера,

µ §,µ §,µ §.
9. µ §

(µ §)

µ §

µ §.
µ §

µ §

µ §.

Перенося искомый интеграл из правой части в левую часть, получим

µ §

10. µ §

11. µ §

µ §

12. µ §

µ §

13. µ § - вывести самостоятельно.

Эти соотношения представляют собой таблицу основных интегралов.

Лекция 2
Тема: «Определенный интеграл. Методы интегрирования»
Задача о площади криволинейной трапеции.

Рассмотрим криволинейную трапецию, образованную отрезком µ § оси OX (основание трапеции), прямыми µ §(на них лежат боковые

стороны трапеции) и графиком функции µ §. Так как график функции ЁC кривая линия, то такая трапеция называется криволинейной.


Устроим разбиение отрезка µ § точками µ §. Обозначим µ §. На каждом отрезке µ § отметим точку µ §. Вычислим µ §. Обозначим µ § - площадь части криволинейной трапеции над отрезком µ §, S ЁC площадь всей криволинейной трапеции. Тогда

µ §Пусть функция µ § непрерывна на каждом отрезке µ §. По второй теореме Вейерштрасса выполняется неравенство µ §, где µ §- нижняя и верхняя грани функции на отрезке µ §. Тогда

µ §

Сумма µ § называется интегральной суммой, суммы µ §, µ §называются соответственно нижней и верхней суммами Дарбу.

Будем измельчать разбиение так, чтобы µ §. Если существует предел интегральных сумм при неограниченном измельчении разбиения, то он называется определенным интегралом (по Риману) от функции µ § по отрезку µ § : µ §.

Если существуют пределы нижней и верхней сумм Дарбу при неограниченном измельчении разбиения, то они называются нижним µ §и верхним µ §интегралами Дарбу.
Критерий существования определенного интеграла.

Для того, чтобы существовал определенный интеграл по Риману µ §, необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны нижний и верхний интегралы Дарбу.

Следствие. Если определенный интеграл существует как предел интегральных сумм, то он не зависит

от выбора разбиения, лишь бы µ §.

от выбора отмеченных точек µ §на элементах разбиения

от способа измельчения разбиения, лишь бы µ §.

Поэтому (критерий Римана) для интегрируемости по Риману ограниченной на отрезке функции необходимо и достаточно, чтобы существовало некоторое конкретное разбиение отрезка, на котором µ § для любого µ §.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.
Теорема. Если функция кусочно непрерывна на отрезке (имеет на нем не более конечного числа разрывов первого рода), то она интегрируема на этом отрезке.
Мы пришли к определенному интегралу от задачи о площади криволинейной трапеции. Если функция принимает на отрезке неотрицательные значения, то определенный интеграл можно интерпретировать как площадь под графиком функции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.
К понятию интеграла можно придти и от других задач. Например, от задачи о работе переменной по величине силы, не меняющей направления на прямолинейном пути, от задачи о массе отрезка, плотность которого меняется от точки к точке, от задачи о пути тела, движущегося прямолинейно с переменной скоростью. Фактически, все эти задачи формально сводятся к задаче о площади криволинейной трапеции. В задаче о работе силы по оси ординат откладываются значения скалярного произведения вектора силы в данной точке x отрезка на орт оси OX. В задаче о массе отрезка по оси ординат откладываются значения переменной плотности. В задаче о пути, пройденном телом, по оси ординат откладывается величина скорости тела в данной точке.

К схеме определенного интеграла сводится любая задача вычисления некоторой величины, аддитивно зависящей от множества, т.е. величины I, удовлетворяющей соотношению µ §, где А, В ЁC отрезки оси OX (в общем случае определенного интеграла по некоторому множеству А, В ЁC некоторые множества). В качестве таких величин можно выбрать длину отрезка, длину кривой, площадь поверхности, объем пространственного тела, массу указанных множеств и т.д.

Свойства определенного интеграла.
Свойства линейности

а) суперпозиции µ §,

б) однородности µ §

Вообще говоря, свойствами линейности обладают все линейные операции (дифференцирование, интегрирование, проектирование и т.д.)

Свойство аддитивности (по множеству)

µ §

Доказательство. Пусть µ §. Выберем разбиение так, чтобы точка с была границей элемента разбиения µ §. Это возможно (следствие). Составим интегральную сумму µ §. Будем измельчать разбиение, сохраняя точку с границей элемента разбиения. Это возможно (следствие). Тогда предел при µ §левой части равенства интегральных сумм равен µ §, первого слагаемого правой части µ §, второго слагаемого правой части µ §.

µ § (свойство «ориентируемости» множества).

Составляя интегральную сумму для интеграла в правой части равенства, заметим, что элемент разбиения надо проходить в другом направлении, от конца отрезка к началу. Поэтому для этого интеграла интегральная сумма будет

µ §- µ §. Переходя к пределу при измельчении разбиения, получим µ §.

µ §. Это постулируется, но, вообще говоря, это и очевидно.

µ §.

µ §

µ §.

Если на отрезке µ §, то µ §.
Так как µ § на отрезке, то µ §. Переходя к пределу, получим µ §.

Если на отрезке µ §, то µ §.

Так как µ § на отрезке, то µ §. Переходя к пределу, получим µ §.

µ §

µ §µ §.

µ § (переменная интегрирования ЁC «немая» переменная, ее можно изменить, она не несет в себе самостоятельного смысла)

Определенный интеграл является функцией своих пределов, при фиксированных пределах интегрирования это ЁC число. Он определен своими пределами. Поэтому он и называется определенным.
Формула Ньютона ЁC Лейбница.
Пусть функция µ §непрерывна на отрезке µ § - некоторая первообразная функции µ §. Тогда µ §.

Доказательство. Из теоремы о производной интеграла по переменному верхнему пределу следует, что µ §, т.е. µ §- первообразная для функции µ §. По теоремам о первообразных две первообразных отличаются на константу т.е. µ § Но µ § (свойство 4 определенного интеграла), поэтому µ §. Тогда µ §. Следовательно, µ §.

Формула Ньютона ЁC Лейбница - это одна из немногих формул - связок, связывающих различные разделы математики воедино. Если бы не было формулы Ньютона ЁC Лейбница, то неопределенные интегралы не нашли бы приложения, а определенные интегралы нельзя было бы вычислить аналитически. Именно эта формула делает интегральное исчисление важнейшим инструментом исследования процессов. Любой процесс описывается дифференциальными или интегральными уравнениями, а они решаются в интегралах.

Мы встречались с такими формулами или теоремами ЁC связками. Например, теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой связывает бесконечно малые и пределы. Теорема Ферма и ее следствия ЁC теоремы о средних значениях связывают дифференциальное исчисление и теорию экстремума. В дальнейшем мы тоже будем встречаться с теоремами ЁC связками, они всегда играют фундаментальную роль, например теоремы Остроградского ЁC Гаусса и Стокса в векторном анализе.
Методы вычисления определенного интеграла.
Методы вычисления остаются теми же, что и методы вычисления неопределенного интеграла, но разница есть. В неопределенном интеграле, делая замену переменной, надо затем возвратиться к исходной функции, в определенном интеграле этого делать не нужно, при замене пересчитываются и пределы интегрирования для новой переменной. Определенный интеграл при постоянных пределах интегрирования ЁC число и все равно, в каких переменных считать это число. Но требование взаимной однозначности функции ЁC замены и в определенном интеграле сохраняется, просто оно маскируется условиями теоремы о замены переменной.
Метод замены переменной.
Пусть

1) µ § непрерывны при µ §,

значения µ §, µ § не выходят за границы µ §,

µ §,

Тогда µ §

Доказательство. µ §.

Пример µ §.

µ §

Упражнение. Найдите ошибки в применении теоремы о замене переменной.

µ §

µ §
Метод интегрирования по частям.
Пусть функции µ §непрерывны на µ §. Тогда

µ §

Доказательство остается тем же, что для неопределенного интеграла, только интегрирование проводится в пределах от a до b.
Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат.
µ § µ §

µ §, так как
µ §

Приложения определенного интеграла.
Приложение интеграла к физическим задачам основано на свойстве аддитивности интеграла по множеству. Поэтому с помощью интеграла могут вычисляться такие величины, которые сами аддитивны по множеству. Например, площадь фигуры равна сумме площадей ее частей Длина дуги, площадь поверхности, объем тела, масса тела обладают тем же свойством. Поэтому все эти величины можно вычислять с помощью определенного интеграла.

Можно использовать два метода решения задач: метод интегральных сумм и метод дифференциалов.

Метод интегральных сумм повторяет конструкцию определенного интеграла: строится разбиение, отмечаются точки, в них вычисляется функция, вычисляется интегральная сумма, производится предельный переход. В этом методе основная трудность ЁC доказать, что в пределе получится именно то, что нужно в задаче.

Метод дифференциалов использует неопределенный интеграл и формулу Ньютона ЁC Лейбница. Вычисляют дифференциал величины, которую надо определить, а затем, интегрируя этот дифференциал, по формуле Ньютона ЁC Лейбница получают требуемую величину. В этом методе основная трудность ЁC доказать, что вычислен именно дифференциал нужной величины, а не что-либо иное.
Вычисление площадей плоских фигур.
Фигура ограничена графиком функции, заданной в декартовой системе координат.
Мы пришли к понятию определенного интеграла от задачи о площади криволинейной трапеции (фактически, используя метод интегральных сумм). Если функция µ § принимает только неотрицательные значения, то площадь µ §под графиком функции на отрезке [a, b] может быть вычислена с помощью определенного интеграла µ §. Заметим, что µ §поэтому здесь можно увидеть и метод дифференциалов.
  1   2   3   4   5   6   7   8

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Конспект лекций по дисциплине «Высшая математика» Специальность 05010201 «Обслуживание компьютерных систем и сетей» iconМетодические указания по самостоятельной работе студентов по дисциплине...
Самостоятельные работы разработаны на основе рабочей программы по иностранному языку для студентов третьего курса специальности 05010301...

Конспект лекций по дисциплине «Высшая математика» Специальность 05010201 «Обслуживание компьютерных систем и сетей» iconИванчук Максим Владимирович Аниматор личные данные
...

Конспект лекций по дисциплине «Высшая математика» Специальность 05010201 «Обслуживание компьютерных систем и сетей» iconД емидов Павел Дмитриевич
Специальность: Техническое обслуживание средств вычислительной техники и компьютерных сетей

Конспект лекций по дисциплине «Высшая математика» Специальность 05010201 «Обслуживание компьютерных систем и сетей» iconКонспект лекций по дисциплине «Проектирование и программирование микропроцессорных систем»

Конспект лекций по дисциплине «Высшая математика» Специальность 05010201 «Обслуживание компьютерных систем и сетей» icon«Моделирование систем»
Бабин И. С. Моделирование систем: Конспект лекций по дисциплине «Моделирование систем» для студентов специальности 210200 «Автоматизация...

Конспект лекций по дисциплине «Высшая математика» Специальность 05010201 «Обслуживание компьютерных систем и сетей» iconКонспект лекций по дисциплине «Автоматизированный электропривод»
Конспект лекций по дисциплине «Автоматизированный электропривод» (для студентов 4 курса всех форм обучения специальности 090603 –...

Конспект лекций по дисциплине «Высшая математика» Специальность 05010201 «Обслуживание компьютерных систем и сетей» iconИнструкция по просмотру ведомости успеваемости групп На сайте техникума...
Нажать ссылку «Подробнее» на специальности «Обслуживание компьютерных систем и сетей»

Конспект лекций по дисциплине «Высшая математика» Специальность 05010201 «Обслуживание компьютерных систем и сетей» iconКонспект лекций по дисциплине «Микроэкономика»
И. А., Тимофеева С. Б. Конспект лекций по дисциплине «Микроэкономика» (для студентов всех форм обучения направлений подготовки: 030504...

Конспект лекций по дисциплине «Высшая математика» Специальность 05010201 «Обслуживание компьютерных систем и сетей» iconКонспект лекций по дисциплине «Математические методы и модели энергетического...
Основы работы в системе компас: конспект лекций составитель: Э. В. Колисниченко. – Сумы: Изд-во СумГУ, 2010. – 249 с

Конспект лекций по дисциплине «Высшая математика» Специальность 05010201 «Обслуживание компьютерных систем и сетей» iconКонспект лекций по дисциплине «Общая биология»
Конспект лекций по дисциплине «Общая биология» для студентов 1 курса дневной и заочной форм обучения спец. 070800 «Экология и охрана...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
uchebilka.ru
Главная страница


<