Скачать 126.89 Kb.
|
Лекции 16-17. Системы одинаковых квантовых частиц. Вторичное квантование Содержание
1. Особенности поведения одинаковых квантовых частиц. Фермионы и бозоны Рассмотрим систему одинаковых частиц, т.е. частиц одного сорта, у которых одинаковы массы, заряды, спины и, возможно, некоторые другие физические характеристики (но энергии, импульсы и другие величины могут быть разными). Как уже отмечалось в лекции 4 (см. раздел 3), между системами классических и квантовых частиц имеется существенное различие. ^ Действительно, можно представить себе, что классические частицы, входящие в некоторую систему, каким-нибудь способом помечены в начальный момент времени, и в дальнейшем можно наблюдать за ними, прослеживая их траекторию движения. Но в квантовой механике, в силу соотношений неопределенности, понятие траектории движения частицы теряет смысл. Если положение частицы точно известно в некоторый момент времени, то уже в бесконечно близкий момент его координаты не имеют определенного значения. Поэтому, пометив частицы в некоторый момент, мы не сможем различить их уже в следующий момент времени. Таким образом, в квантовой механике невозможно в принципе следить за движением отдельных частиц. Иными словами, одинаковые квантовые частицы полностью теряют свою индивидуальность (т.е. являются принципиально неразличимыми). Особенности систем одинаковых квантовых частиц мы рассмотрим подробнее на примере системы из ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Предположение об одинаковости частиц выражается в том, что массы частиц одинаковы, а также одинакова функциональная зависимость потенциальной энергии ![]() ![]() В операторе Гамильтона (1) переставим местами координаты ![]() ![]() ![]() для любой пары частиц ![]() ![]() Введём оператор перестановки ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Очевидно, что равенство (2) можно переписать так: ![]() для любой пары частиц ![]() ![]() Легко доказать, что если ![]() ![]() ![]() Из принципа неразличимости одинаковых квантовых частиц вытекает важное следствие, касающееся симметрии волновой функции систем такого рода частиц. Это следствие легко вывести на примере системы из двух одинаковых частиц. Ее волновую функцию запишем в виде: ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если выполнить повторную перестановку частиц, то получим равенство: ![]() из которого следует, что ![]() ![]() ![]() т.е. волновая функция может быть либо симметричной (если в (4) стоит знак «+»), либо антисимметричной (если в (4) стоит знак «-»). Этот результат непосредственно обобщается на системы, состоящие из произвольного числа одинаковых частиц: перестановка местами координат любой пары частиц либо оставляет волновую функцию неизменной, либо изменяет ее знак. Имеются, таким образом, два класса квантовых состояний – состояния, описываемые симметричными (1) и антисимметричными (2) волновыми функциями. Существенно, что состояния системы одинаковых частиц, принадлежащие к разным типам симметрии, не могут смешиваться между собой. Это следует из одинаковости частиц: если какая-либо пара частиц описывается симметричными волновыми функциями, то и любая другая пара частиц данного сорта также должна описываться симметричными функциями. Подчеркнем также, что тип симметрии волновой функции не изменяется со временем. Справедливость последнего утверждения следует из инвариантности оператора Гамильтона ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В зависимости от типа симметрии волновой функции частицы делятся на фермионы и бозоны. Фермионы описываются антисимметричными, а бозоны – симметричными волновыми функциями.
Тип симметрии волновой функции оказывается зависящим от спина частиц. Эта зависимость является фундаментальным законом квантовой механики, который состоит в том, что системы одинаковых частиц с целыми спинами описываются симметричными волновыми функциями, а системы одинаковых частиц с полуцелыми спинами – антисимметричными. ^ . В частности, от спинов зависят статистические свойства многочастичных квантовых систем. Эти свойства были впервые исследованы Бозе и Эйнштейном (1924 г.) для систем с целочисленным спином и Ферми и Дираком (1926 г.) для систем, образованных частицами с полуцелым спином. Из антисимметрии волновой функции фермионов следует принцип запрета Паули: в одном и том же квантовом состоянии не могут находиться два или более одинаковых фермиона. Чтобы доказать это утверждение, рассмотрим два одинаковых невзаимодействующих электрона. Так как частицы не взаимодействуют друг с другом, то каждая из них описывается своей волновой функцией, подчиняющейся уравнению Шредингера. Пусть один из электронов описывается волновой функцией ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() ![]() Отметим, что если в последней формуле заменить знак «-» на «+», то волновая функция будет симметричной и, значит, будет описывать не фермионы, а бозоны. В этом случае при ![]() ![]() ^ Вторичное квантование - это особый метод рассмотрения квантовых систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть мы имеем систему бозонов. Тогда волновая функция симметрична относительно перестановки координат любой пары частиц. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В общем случае системы ![]() ![]() где сумма берётся по всем перестановкам различных из индексов ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В случае фермионов волновая функция всей системы антисимметрична относительно перестановки координат любой пары частиц и поэтому может быть записана в виде определителя ![]() Соответственно выбору независимых переменных в виде чисел заполнения операторы физических величин также должны действовать на функции чисел заполнения.
Вначале рассмотрим бозоны. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() (здесь суммирование идет по всем частицам). Наша задача – построить матричные элементы оператора ![]() Так как каждый из операторов ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Диагональные матричные элементы дают средние значения величины ![]() ![]() Введём операторы ![]() ![]() ![]() ![]() Т.е. оператор ![]() ![]() ![]() ![]() Сопряжённый с ![]() ![]() ![]() Это значит, что оператор ![]() ![]() ![]() Произведение операторов ![]() ![]() ![]() ![]() Аналогично: ![]() ![]() Значит, ![]() Операторы же с разными индексами ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Нетрудно убедиться в том, что матричные элементы оператора ![]() совпадают с матричными элементами оператора (8). Это значит, что оператор (15) совпадает с оператором (8). Таким образом, обычный оператор, действующий на функции координат, удалось выразить в виде оператора, действующего на функции чисел заполнения. Оператор Гамильтона системы невзаимодействующих частиц ![]() в представлении вторичного квантования запишется следующим образом: ![]() Если в качестве функций ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Заменяя ![]() ![]() ![]() Аппарат вторичного квантования можно представить в более компактной форме, введя операторы поля. С этой целью рассмотрим произвольное одночастичное состояние, волновую функцию которого ![]() ![]() ![]() В этом разложении ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Предполагается при этом, что операторы рождения и уничтожения частиц ![]() ![]() ![]() Отметим, что замена коэффициентов ![]() ![]() ![]() ![]() Вторично квантованный оператор ![]() ![]() Оператор Гамильтона, выраженный через ![]() ![]() Оператор числа частиц дается формулой ![]() Операторы вторичного квантования действуют на векторы состояния ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Вектор состояния ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
В случае фермионов принципиальная сторона дела остаётся без изменения. Конкретные же формулы изменятся. Теперь волновые функции антисимметричны. При этом числа заполнения могут быть только 0 или 1. Операторы ![]() ![]() Операторы рождения и уничтожения подчиняются перестановочным соотношениям: ![]() Все остальные формулы остаются в силе. Правила коммутации для ![]() ![]() Отметим дираковские обозначения. Вектор состояния вакуума обозначается через ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Контрольные вопросы
|
![]() | В работе рассмотрены особенности реологического поведения водных суспензий волластонита в зависимости от геометрической конфигурации... | ![]() | Особенности олигополии в краткосрочном и долгосрочном периодах. Модели олигополистического поведения фирмы |
![]() | Поле потенциалов выступает как информационное поле, способное передавать информацию со сверхсветовой скоростью, не перенося при этом... | ![]() | Известно, что функциональные свойства материалов во многом определяются размером и формой частиц, поэтому большое внимание уделяется... |
![]() | Если распределение частиц по энергиям в пучке не известно, то путем определения плотности частиц по угловому отклонению всегда можно... | ![]() | Особенности агрессивного поведения у лиц с органическими поражениями головного мозга |
![]() | А поведения врача с пациентами, которые имеют акцентуированныеі черты характера. Внутренняя картина заболевания. Классификация, особенности... | ![]() | Предприятия, функционируя в рыночной экономике, развиваются в хозяйственной среде, которая в каждой конкретный период характеризуется... |
![]() | В устройствах с пучковым нагревом плазмы распределение частиц по скоростям в первом приближении описывается уравнением Максвелла,... | ![]() |