1. Особенности поведения одинаковых квантовых частиц. Фермионы и бозоны

Лекции 16-17. Системы одинаковых квантовых частиц. Вторичное квантование Содержание Особенности поведения одинаковых квантовых частиц. Фермионы и бозоны. Тип симметрии волновых функций и спин частицы. Принцип Паули. Постановка задачи вторичного квантования. Вторичное квантование: случай бозонов. Вторичное квантование: случай фермионов. 1. Особенности поведения одинаковых квантовых частиц. Фермионы и бозоны Рассмотрим систему одинаковых частиц, т.е. частиц одного сорта, у которых одинаковы массы, заряды, спины и, возможно, некоторые другие физические характеристики (но энергии, импульсы и другие величины могут быть разными). Как уже отмечалось в лекции 4 (см. раздел 3), между системами классических и квантовых частиц имеется существенное различие. ^ В классической механике одинаковые частицы не теряют своей индивидуальности. Действительно, можно представить себе, что классические частицы, входящие в некоторую систему, каким-нибудь способом помечены в начальный момент времени, и в дальнейшем можно наблюдать за ними, прослеживая их траекторию движения. Но в квантовой механике, в силу соотношений неопределенности, понятие траектории движения частицы теряет смысл. Если положение частицы точно известно в некоторый момент времени, то уже в бесконечно близкий момент его координаты не имеют определенного значения. Поэтому, пометив частицы в некоторый момент, мы не сможем различить их уже в следующий момент времени. Таким образом, в квантовой механике невозможно в принципе следить за движением отдельных частиц. Иными словами, одинаковые квантовые частицы полностью теряют свою индивидуальность (т.е. являются принципиально неразличимыми). Особенности систем одинаковых квантовых частиц мы рассмотрим подробнее на примере системы из одинаковых частиц, взаимодействующих с некоторым внешним полем и между собой. Пусть - потенциальная энергия -ой частицы во внешнем поле, - потенциальная энергия взаимодействия -ой и -ой частиц. Полный оператор Гамильтона системы имеет вид: . (1) Предположение об одинаковости частиц выражается в том, что массы частиц одинаковы, а также одинакова функциональная зависимость потенциальной энергии частицы во внешнем поле и энергии взаимодействия любой пары частиц от координат. В операторе Гамильтона (1) переставим местами координаты -ой и -ой частицы. От этого оператор Гамильтона не изменится, так как это приведёт лишь к перестановке слагаемых в суммах, входящих в (1). Значит, (2) для любой пары частиц . Если бы среди частиц была хотя бы одна, отличная от других, то равенство (2) не имело бы места как раз для перестановки этой частицы с любой другой. Это свойство можно так сформулировать: оператор Гамильтона системы инвариантен относительно перестановки координат любой пары частиц. Введём оператор перестановки , означающий перестановку координат частиц и и действующий на произвольную функцию согласно правилу: . Очевидно, что равенство (2) можно переписать так: для любой пары частиц . Значит, оператор коммутирует с оператором Гамильтона системы одинаковых частиц. Легко доказать, что если - волновая функция системы, т.е. описывает состояние с оператором Гамильтона , то функция также является одним из возможных состояний системы, так как она подчиняется временному уравнению Шредингера с тем же оператором Гамильтона. Продолжая перестановку других пар частиц, мы получим новые волновые функции системы. Но в силу принципа неразличимости одинаковых квантовых частиц, все эти волновые функции описывают одно и то же состояние. Значит, эти волновые функции могут отличаться только фазовым множителем. Из принципа неразличимости одинаковых квантовых частиц вытекает важное следствие, касающееся симметрии волновой функции систем такого рода частиц. Это следствие легко вывести на примере системы из двух одинаковых частиц. Ее волновую функцию запишем в виде: , (3) где - радиус-вектор и -компонента спина частицы . В силу принципа тождественности одинаковых квантовых частиц, если переставить местами эти частицы, то мы получим состояние, полностью эквивалентное исходному. Иными словами, волновые функции и могут отличаться лишь на несущественный фазовый множитель: . Если выполнить повторную перестановку частиц, то получим равенство: из которого следует, что . Значит, . Итак, в силу принципа неразличимости одинаковых квантовых частиц (4) т.е. волновая функция может быть либо симметричной (если в (4) стоит знак «+»), либо антисимметричной (если в (4) стоит знак «-»). Этот результат непосредственно обобщается на системы, состоящие из произвольного числа одинаковых частиц: перестановка местами координат любой пары частиц либо оставляет волновую функцию неизменной, либо изменяет ее знак. Имеются, таким образом, два класса квантовых состояний – состояния, описываемые симметричными (1) и антисимметричными (2) волновыми функциями. Существенно, что состояния системы одинаковых частиц, принадлежащие к разным типам симметрии, не могут смешиваться между собой. Это следует из одинаковости частиц: если какая-либо пара частиц описывается симметричными волновыми функциями, то и любая другая пара частиц данного сорта также должна описываться симметричными функциями. Подчеркнем также, что тип симметрии волновой функции не изменяется со временем. Справедливость последнего утверждения следует из инвариантности оператора Гамильтона системы частиц относительно перестановки координат любой пары частиц и временного уравнения Шредингера. Действительно, если в момент времени волновая функция системы частиц симметрична относительно перестановки координат частиц, то функция , в силу симметрии , также симметрична и, следовательно, в силу уравнения Шредингера, волновая функция системы частиц в следующий момент времени также будет симметричной. Это утверждение справедливо, очевидно, и для антисимметричных состояний. Отсутствуют, таким образом, квантовые переходы между симметричными и антисимметричными состояниями системы одинаковых частиц. В зависимости от типа симметрии волновой функции частицы делятся на фермионы и бозоны. Фермионы описываются антисимметричными, а бозоны – симметричными волновыми функциями. ^ Тип симметрии волновых функций и спин частицы. Принцип Паули Тип симметрии волновой функции оказывается зависящим от спина частиц. Эта зависимость является фундаментальным законом квантовой механики, который состоит в том, что системы одинаковых частиц с целыми спинами описываются симметричными волновыми функциями, а системы одинаковых частиц с полуцелыми спинами – антисимметричными. ^ Спин является, таким образом, важнейшей физической характеристикой микрочастицы. В частности, от спинов зависят статистические свойства многочастичных квантовых систем. Эти свойства были впервые исследованы Бозе и Эйнштейном (1924 г.) для систем с целочисленным спином и Ферми и Дираком (1926 г.) для систем, образованных частицами с полуцелым спином. Из антисимметрии волновой функции фермионов следует принцип запрета Паули: в одном и том же квантовом состоянии не могут находиться два или более одинаковых фермиона. Чтобы доказать это утверждение, рассмотрим два одинаковых невзаимодействующих электрона. Так как частицы не взаимодействуют друг с другом, то каждая из них описывается своей волновой функцией, подчиняющейся уравнению Шредингера. Пусть один из электронов описывается волновой функцией , а второй – функцией ( и - квантовые числа электронов). Волновая функция полной системы должна быть антисимметричной относительно замены ; такая функция имеет вид: . (5) Если , то состояния электронов одинаковы, но в этом случае . Значит, состояние с не существует, т.е. невзаимодействующие электроны не могут находиться в одинаковых состояниях. Отметим, что если в последней формуле заменить знак «-» на «+», то волновая функция будет симметричной и, значит, будет описывать не фермионы, а бозоны. В этом случае при волновая функция . Значит, бозоны не подчиняются принципу Паули. Более того, в одном квантовом состоянии может находиться сколько угодно бозонов. ^ 3. Постановка задачи вторичного квантования Вторичное квантование - это особый метод рассмотрения квантовых систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц. Пусть - полная ортогональная система волновых функций, описывающих стационарные состояния одной частицы с квантовыми числами . Рассмотрим квантовую систему невзаимодействующих частиц, из которых частиц описываются волновой функцией , - волновой функцией и т.д. с полным числом частиц . Поставим себе целью построить математический аппарат, в котором роль независимых переменных играют не координаты и проекции спина на выделенное направление для каждой частицы, а величины (называемые числами заполнения состояния , или населенностями состояния ). Волновую функцию системы частиц можно было бы записать так: , где радиус-вектор и проекция спина на некоторое направление (например, на ось ) частицы . Мы будем использовать обозначения Дирака: - волновая функция, описывающая систему частиц. Пусть мы имеем систему бозонов. Тогда волновая функция симметрична относительно перестановки координат любой пары частиц. Пусть - номера состояний, в которых находятся отдельные частицы (среди этих номеров могут быть и одинаковые). Если имеется система из двух частиц в состояниях и (), то . В общем случае системы частиц , (6) где сумма берётся по всем перестановкам различных из индексов ; числа указывают, сколько из индексов имеют одинаковое значение . При интегрировании по в нуль обращаются все члены, за исключением квадратов модулей каждого слагаемого суммы. В случае фермионов волновая функция всей системы антисимметрична относительно перестановки координат любой пары частиц и поэтому может быть записана в виде определителя (7) Соответственно выбору независимых переменных в виде чисел заполнения операторы физических величин также должны действовать на функции чисел заполнения. ^ Вторичное квантование: случай бозонов Вначале рассмотрим бозоны. Пусть - оператор какой-либо величины, относящейся к частице , т.е. действующий на переменные . Определим симметричный по всем частицам оператор: (8) (здесь суммирование идет по всем частицам). Наша задача – построить матричные элементы оператора между состояниями, описываемыми волновыми функциями (6). Так как каждый из операторов действует только на одну функцию в произведении , то его матричные элементы отличны от нуля только для переходов с изменением состояния одной частицы. Если рассматривается, например, переход частицы из состояния в состояние (), причем до перехода населенности состояний были и , соответственно, то после перехода населенности примут значения и , т.е. имеет место переход , , . Как видим, в результате перехода число частиц, находящихся в одном состоянии, уменьшается, а в другом, соответственно, увеличивается на единицу. Соответствующий матричный элемент имеет вид (при ): (9) Диагональные матричные элементы дают средние значения величины : . Введём операторы , действующие не на функции координат, а на функции чисел заполнения: уменьшает на 1 значение переменной : . (10) Т.е. оператор уменьшает число частиц, находящихся в ом состоянии, на единицу. Это оператор уничтожения частицы в состоянии . Его можно представить в виде матрицы, единственный отличный от нуля элемент которой есть . (11) Сопряжённый с оператор изображается матрицей с единственным ненулевым элементом: . Это значит, что оператор - это оператор рождения частицы в состоянии : . (12) Произведение операторов при воздействии на волновую функцию может лишь умножить её на постоянную. Поэтому изображается диагональной матрицей с диагональными элементами, равными : . Аналогично: =. Значит, . (13) Операторы же с разными индексами и , действующие на разные переменные ( и ), коммутативны: (14) Нетрудно убедиться в том, что матричные элементы оператора (15) совпадают с матричными элементами оператора (8). Это значит, что оператор (15) совпадает с оператором (8). Таким образом, обычный оператор, действующий на функции координат, удалось выразить в виде оператора, действующего на функции чисел заполнения. Оператор Гамильтона системы невзаимодействующих частиц в представлении вторичного квантования запишется следующим образом: . Если в качестве функций выбрать собственные функции оператора Гамильтона отдельной частицы, то матрица будет диагональна, а её диагональные матричные элементы будут собственными значениями энергии . Значит, . Заменяя собственными значениями , получим для уровней энергии системы выражение . Аппарат вторичного квантования можно представить в более компактной форме, введя операторы поля. С этой целью рассмотрим произвольное одночастичное состояние, волновую функцию которого разложим в ряд по полной системе функций : . (16) В этом разложении - числовые коэффициенты, вид которых зависит от функции . Теперь в (16) выполним замену , где - оператор уничтожения частицы в состоянии . В результате волновая функция превращается в оператор поля частиц (выписываем также и эрмитово сопряженный оператор поля): . (17) Предполагается при этом, что операторы рождения и уничтожения частиц и подчиняются перестановочным соотношениям (13) и (14). Правила коммутации полевых операторов определяются равенствами: (18) Отметим, что замена коэффициентов в формуле (16) операторами уничтожения частиц называется вторичным квантованием. При этом имеется в виду, что описание поведения частицы с помощью волновой функции (16) уже является квантовым (это как бы первичное квантование). Вводя волновую функцию , мы вводим тем самым квантовое поле, связанное с частицей. Замена приводит к тому, что теперь мы получаем право говорить о частицах как о квантах, соответствующих данному полю. Тем самым метод вторичного квантования позволяет более четко выявить корпускулярную природу поля. Вторично квантованный оператор запишется так: . Оператор Гамильтона, выраженный через - операторы, имеет вид: (19) Оператор числа частиц дается формулой Операторы вторичного квантования действуют на векторы состояния . Обозначим через вектор вакуумного состояния, т.е. состояния поля без частиц. По определению, вектор состояния удовлетворяет условию: при любых значениях квантовых чисел . (20) Вектор состояния описывает одночастичное состояние – состояние поля, в котором имеется один бозон с квантовыми числами . Отметим равенство и условие нормировки вектора вакуумного состояния . Многочастичные состояния могут быть получены, если на вектор состояния подействовать оператором рождения частиц нужное число раз. Например, вектор состояния описывает состояние поля с бозонами в состоянии и бозонами в состоянии . Вторичное квантование: случай фермионов В случае фермионов принципиальная сторона дела остаётся без изменения. Конкретные же формулы изменятся. Теперь волновые функции антисимметричны. При этом числа заполнения могут быть только 0 или 1. Операторы должны определяться как матрицы с элементами: . Операторы рождения и уничтожения подчиняются перестановочным соотношениям: Все остальные формулы остаются в силе. Правила коммутации для - операторов теперь имеют вид: Отметим дираковские обозначения. Вектор состояния вакуума обозначается через и называется вакуумным кет-вектором. Вводится вакуумный бра-вектор: . Эти векторы состояния подчиняются соотношениям: при произвольных квантовых числах . Кет-вектор описывает одночастичное состояние. При этом, в соответствии с принципом Паули, при . Контрольные вопросы Как изменяется оператор Гамильтона системы одинаковых частиц при перестановке координат пары частиц? Чем отличаются симметричные состояния системы одинаковых частиц от антисимметричных? Возможны ли квантовые переходы между симметричными и антисимметричными состояниями? В чем состоит различие между волновыми функциями бозонов и фермионов? Какова связь между типом симметрии волновой функции и спином частицы? В чем состоит принцип Паули? Откуда он следует? Выполняется ли принцип Паули для бозонов? Почему? Какова основная идея (постановка задачи) вторичного квантования? Что такое операторы рождения и уничтожения частиц? Чем отличаются операторы рождения и уничтожения фермионов от аналогичных операторов, относящихся к бозонам? Что такое полевой оператор и каким образом он конструируется? Каковы перестановочные соотношения для операторов поля? Объяснить содержание слова «вторичное» в названии «вторичное квантование». В чем состоит «первичное» квантование? Каковы преимущества метода вторичного квантования? Что такое вакуумное состояние поля? Как из вакуумного состояния получить многочастичное? Как определяются вакуумные кет-вектор и бра-вектор? Какова связь между ними?

Похожие:

	Изучение влияния свойств поверхности волластонита на релологическое поведение водных суспензий В работе рассмотрены особенности реологического поведения водных суспензий волластонита в зависимости от геометрической конфигурации...		Сущность и механизм поведения олигополистических структур в условиях... Особенности олигополии в краткосрочном и долгосрочном периодах. Модели олигополистического поведения фирмы
	Физика сознания и жизни, космология и астрофизика Поле потенциалов выступает как информационное поле, способное передавать информацию со сверхсветовой скоростью, не перенося при этом...		Получение субмикронных частиц znS, Cds и cus и их сорбционные свойства Известно, что функциональные свойства материалов во многом определяются размером и формой частиц, поэтому большое внимание уделяется...
	Распределение атомов газа по кинетической энергии Если распределение частиц по энергиям в пучке не известно, то путем определения плотности частиц по угловому отклонению всегда можно...		План введение Модели изучения агрессии и агрессивного поведения Теория... Особенности агрессивного поведения у лиц с органическими поражениями головного мозга
	Буковинский государственный медицинский университет А поведения врача с пациентами, которые имеют акцентуированныеі черты характера. Внутренняя картина заболевания. Классификация, особенности...		Особенности современной рыночной хозяйственной среды и принципы поведения промышленных фирм Предприятия, функционируя в рыночной экономике, развиваются в хозяйственной среде, которая в каждой конкретный период характеризуется...
	Режим движения водных систем в реакторе агрегата «Энергонива» В устройствах с пучковым нагревом плазмы распределение частиц по скоростям в первом приближении описывается уравнением Максвелла,...		Реферат по дисциплине политология по теме «Особенности электорального поведения в России»