Применение производной к исследованию функции




Скачать 160.27 Kb.
НазваниеПрименение производной к исследованию функции
Дата публикации02.10.2013
Размер160.27 Kb.
ТипУрок
uchebilka.ru > Экономика > Урок
Тема урока: Применение производной к исследованию функции

Цели урока: сформировать навыки исследования и построения графиков функции с помощью производной. Развивать алгоритмическое мышление, память. Воспитывать у учащихся требовательность к себе, критическое отношение к результатам своей работы, настойчивость в достижении цели.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, проблемный, эвристический.

Форма обучения: наглядная, практическая, словесная

Оборудование: мультимедийный проектор, презентация, карточки с заданием для групп, ватманы и маркеры для групп.

Структура урока

  1. Организационный момент

  2. Сообщение темы, цели и задач урока

  3. Актуализация опорных знаний учащихся

  4. Первичное восприятие и осознание учащимися нового материала

  5. Первичное применение приобретённых знаний

  6. Подведение итогов урока

  7. Сообщение домашнего задания

Ход урока

ӏ Организационный момент:

-приветствие учащихся;

- отметить отсутствующих на уроке;

- записать дату урока, классная работа в тетради.

ӏӏ Сообщение темы, цели и задач урока.

Учитель записывает на доске, а ученики в тетради: Применение производной при исследовании функции.

Цель нашего урока: научиться исследовать функцию и строить её график с использованием производной. Эта тема в дальнейшем упростит нахождение свойств функции и построение графиков функций.

Задача урока: научиться пользоваться алгоритмом исследования функции.

ӏӏӏ Актуализация опорных знаний учащихся.

(Фронтальный опрос учащихся).

Вопросы:

  1. Что называется функцией?

Если каждому значению переменной Х из некоторого множества D соответствует единственное значение переменной У, то такое соответствие называется функцией. При этом Х называют независимой переменной, или аргументом, а У -зависимой переменой, или функцией.

  1. Что называется областью определения и областью значения функции?

Множество всех значений, которые может принимать аргумент, называют областью определения данной функции и обозначают D. Множество значений, которые может принимать функция, называют областью значений и обозначают буквой Е.

  1. Какая функция называется чётной (нечётной)?

Функция называется чётной (нечётной), если область её определения симметрична относительно числа 0 и для каждого значения Х из области определения f(-x)=f(x), (f(-x)=-f(x) ).

  1. Какие точки называются критическими?

Внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует, называют – критическими точками функции.

  1. Дать определение, на каком промежутке функция возрастает, убывает, постоянная.

Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительная, то функция на этом промежутке возрастает. Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка отрицательная, то функция на этом промежутке убывает. Если производная функции в каждой точке промежутка тождественно равна нулю, то на этом промежутке функция постоянная.

  1. Как можно определить промежутки возрастания и убывания функции f(x)?

ӏ способ: нужно решить неравенства f᾽(x)>0 и f᾽(x)<0.

ӏӏ способ: найти все критические точки функции, разбить ими область определения функции на промежутки, а потом исследовать, на каких из них функция возрастает, а на каких убывает.

  1. Что называется точкой минимума (максимума) функции?

Точка х0 называется точкой минимума функции f(x), если для всех х (х≠х0) из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x0)0)>f(x)).

  1. Как, одним словом назвать точки максимума и минимума функции?

Точки экстремума.

  1. Как определить точки экстремума?

Точка х0, при переходе через которую в направлении роста аргумента производная меняет знак с «+» на «-» является точкой максимума, а точка при переходе через которую производная меняет знак с «-» ни «+»-точкой минимума.

ӏv Восприятие и первичное осознание учащимися нового материала.

Итак, теперь переходим к изучению новой темы.

Исследовать функцию – это значит установить её свойства: указать D(f), E(f), промежутки возрастания и убывания, промежутки на которых функция принимает положительные значения, на которых принимает отрицательные, выяснить, не является ли данная функция чётной или нечётной и т.д.

На слайде представлен график функции

h:\математика\открытый урок\производная\0 группа.jpg

  1. D(f)=(-∞;+∞)

  2. Функция ни чётная и ни нечётная

  3. Нули функции: (-2;0) и (2;0)- с осью ОХ, (0;-8)-с осью ОУ

  4. Функция возрастает на (-∞;-2] и [1;+∞), и убывает на [-2;1]

  5. Точки экстремума Xmax =-2, Xmin=1. Экстремумы функции Ymax=0, Ymin=9,5

Учитель продолжает объяснять новую тему: в данном случае, если нам известен график функции, то перечислить все свойства этой функции не составит труда.

Решим обратную задачу: по известному аналитическому заданию функции перечислим все её свойства.

Пусть функция задана в виде y=f(x), тогда необходимо выполнить исследование функции по следующей схеме (схема перед глазами учащихся на слайде презентации) :

  1. Найти область определения функции

  2. Исследовать функцию на чётность, нечётность и периодичность

  3. Найти нули функции (точки пересечения графика функции с осями координат)

  4. Исследовать функцию на монотонность (найти промежутки возрастания и убывания функции)

  5. Найти точки экстремума и экстремальные значения функции

  6. Найти дополнительные точки (если нужно)

  7. Построить график функции

Учитель на доске показывает образец выполнения задания. (Учащиеся активно берут участие в исследовании функции и записывают решение в тетради).

Исследовать функцию и построить её график f(x)=x3-3x2+2

  1. D(f)=(-∞:+∞)

  2. f(-x)=(-x)3-3(-x)2+2=-x3-3x2+2 f(-x)≠f(x);

f(-x)≠-f(x) функция ни чётная и ни нечётная

  1. Нули функции:

а) с осью ОХ: у=0 x3-3x2+2=0;

х32-2х2+2=0;

32)-2(х2-1)=0;

х2(х-1)-2(х-1)(х+1)=0;

(х-1)(х2-2х-2)=0;

х-1=0 или х2-2х-2=0;

х1=1 D=(-2)2-4*1*(-2)=4+8=12;

х2= =1+, х3= =1-;

А(1;0), В(1+;0), С(1-;0).

б) с осью ОУ: х=0 f(х)=03-2*02+2=2 D(0;2)

4. Монотонность функции

f᾽(x)=3х2-6х;

f᾽(x)=0 3х2-6х=0;

3х(х-2)=0;

3х=0 или х-2=0;

х1=0; х2=2

х

(-∞;0)

0

(0;2)

2

(2;+∞)

f᾽(x)

+

0

-

0

+

f(х)




2




-2










max




min




f᾽(-1)=3*(-1)2-6*(-1)=3+6=9, 9>0

f᾽(1)=3*12-6*1=3-6=-3, -3<0

f᾽(3)=3*32-6*3=27-18=9, 9>0

  1. Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

xmax=0 ymax=03-3*02+2=2 E(0;2)



xmin=2 ymin=23-3*22+2=8-12+2=-2 F(2;-2)

h:\математика\открытый урок\производная\мой график.jpg

v Первичное применение приобретённых знаний

Ученики заранее поделены на пять групп, каждая из которых получает карточку с заданием. В каждой группе назначается ответственный за выполнение задания и ходом его решения. Как только в группе будет найден ответ на первый пункт схемы исследования своей функции, сразу один из учеников выходит к доске и записывает его и так далее до конца (в ходе выполнения задания все учащиеся группы выйдут к доске минимум один раз). Каждой группе выдан ватман и маркер, на котором ученики строят график своей функции с целью экономии времени и места на доске, так как одновременно все пять групп записывают исследование своей функции на заранее разделенной на пять частей доске.

Задание группы №1

Исследовать функцию и построить её график f(x)=x3-2х2

  1. D(f)=(-∞:+∞)



f(-x)=(-x)3-2(-x)2=-x3-2x2 =-(х3+2х2) f(-x)≠f(x);

f(-x)≠-f(x) функция ни чётная и ни нечётная

  1. Нули функции:

а) с осью ОХ: у=0 x3-2x2=0;

х2(х-2)=0;

х2=0 или х-2=0;

х1=0, Х2=2 А(0;0), В(2;0)

б) с осью ОУ: х=0 f(х)=03-2*02=0 А(0;0)

4. Монотонность функции

f᾽(x)=3х2-4х;

f᾽(x)=0 3х2-4х=0;

х(3х-4)=0;

х1=0, 3х-4=0

х2=1

х

(-∞;0)

0

(0;1)

1

(1;+∞)

f᾽(x)

+

0

-

0

+

f(х)




0




-1










max




min




f᾽(-1)=3*(-1)2-4*(-1)=3+4=7, 7>0

f᾽(1)=3*12-4*1=3-4=-1, -1<0

f᾽(2)=3*22-4*2=12-8=4, 4>0

  1. Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

xmax=0 ymax=03-2*02=0 С(0;0)



xmin= ymin=(3-2*()2=8-12+2=- =-1 D(2;-2)

h:\математика\открытый урок\производная\1 группа.jpg

Задание группы №2

Исследовать функцию и построить её график f(x)=3x-x3

  1. D(f)=(-∞:+∞)



f(-x)=3(-х)-(-x)3=-3х-x3 =-(3х-х3) f(-x)=-f(x) функция нечётная

  1. Нули функции:

а) с осью ОХ: у=0 3х-x3=0,

х(3-х2)=0,

х1=0, 3-х2=0,

х2=3,

х2=, х3=- А(0;0), В(,0), С(-,0)

б) с осью ОУ: х=0 f(х)=3*0-03 =0 А(0;0)

4. Монотонность функции

f᾽(x)=3-3х2 ,

f᾽(x)=0 3-3х2=0,

3(1-х2)=0,

х2=1,

х1=1, х2=-1

х

(-∞;-1)

-1

(-1;1)

1

(1;+∞)

f᾽(x)

-

0

+

0

-

f(х)




-2




2










min




max




f᾽(-2)=3-3*(-2)2=3-12=-9, -9<0

f᾽(0)=3-3*02=3, 3>0

f᾽(2)=3-3*22=3-12=-9, -9<0

  1. Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

xmax=1 ymax=03-2*02=0 D(1;2)



xmin=-1 ymin=3*1-13=3-1=2 E(-1;-2)

h:\математика\открытый урок\производная\2 группа.jpg

Задание группы №3

Исследовать функцию и построить её график f(x)=x3-6x

  1. D(f)=(-∞:+∞)



f(-x)=(-x)3-6(-x)=-x3+6x =-(х3-6x) f(-x)=-f(x) функция нечётная

  1. Нули функции:

а) с осью ОХ: у=0 x3-6x=0,

х(х2-6)=0,

х1=0, х2-6=0,

х2=, х3=- А(0;0), В(,0), С(-,0)

б) с осью ОУ: х=0 f(х)=03-6*0 =0 А(0;0)

4. Монотонность функции

f᾽(x)=3х2-6 ,

f᾽(x)=0 3х2-6=0,

3(х2-2)=0,

х2=2,

х1=, х2=-

х

(-∞;-)



(-;)



(;+∞)

f᾽(x)

+

0

-

0

+

f(х)




4




-4










max




min




f᾽(-2)=3*(-2)2-6=12-6=6, 6>0

f᾽(0)=3*02-6=-6, -6<0

f᾽(2)=3*22-6=12-6=6, 6>0

  1. Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

xmax=- ymax=(-3-6*( - )=-2 +6 =4 D(-;4)



xmin= ymin=3-6=2-6=-4 E(;-4)

h:\математика\открытый урок\производная\3 группа.png

Задание группы №4

Исследовать функцию и построить её график f(x)=-2х4+2х2

  1. D(f)=(-∞:+∞)



f(-x)=-2(-х)4+2(-х)2=-2х4+2х2 f(-x)=f(x) функция чётная

  1. Нули функции:

а) с осью ОХ: у=0 -2х4+2х2=0,

-2х22-1)=0,

х1=0, х2-1=0,

х2=1, х3=-1 А(0;0), В(1;0), С(-1;0)

б) с осью ОУ: х=0 f(х)=-2*04+2*02=0 А(0;0)

4. Монотонность функции

f᾽(x)=-8х3+4х ,

f᾽(x)=0 -8х3+4х =0,

-4х(2х2-1)=0,

-4х=0 или 2х2-1=0

х1=0, х2=,

х2=, х3=-

х

(-∞;-)



(-;0)



(0;



(

f᾽(x)

+

0

-

0

+

0

-

f(х)









0















max




min




max




f᾽(-1)=-8*(-1)3+4*(-1)=8-4=4, 4 >0,

f᾽(-)=-8*(-)3+4*(-)=1-2=-1, -1<0,

f᾽()=-8*()3+4*=-1+2=1, 1>0,

f᾽(1)=-8*13+4*1=-8*4=-4, -4<0,

  1. Точки экстремума. Экстремальные значения функции.

xmax=- ymax=-2*(- )4+2*(- )2=-2*+2* =- +1= D(-;)



xmin=0 ymin=-2*04+2*02=0 А(0;0)

xmax= ymax=-2*( )4+2*( )2=-2*+2* =- +1= Е(;)

h:\математика\открытый урок\производная\4 группа.jpg

Задание группы №5

Исследовать функцию и построить её график f(x)=3х4-6х2

  1. D(f)=(-∞:+∞)



f(-x)=3(-х)4-6(-х)2=3х4-6х2 f(-x)=f(x) функция чётная

  1. Нули функции:

а) с осью ОХ: у=0 3х4-6х2=0,

22-2)=0,

х1=0, х2-2=0,

х2=, х3=- А(0;0), В(;0), С(-;0)

б) с осью ОУ: х=0 f(х)=3*04-6*02=0 А(0;0)

4. Монотонность функции

f᾽(x)=12х3-12х ,

f᾽(x)=0 12х3-12х =0,

12х(х2-1)=0,

12х=0 или х2-1=0

х1=0, х2=1,

х2=1, х3=-1

х

(-∞;-1)

-1

(-1; 0)



(0;1

1

(1

f᾽(x)

-

0

+

0

-

0

+

f(х)




-3




0




-3










min




max




min




f᾽(-2)=12*(-2)3-12*(-2)=12*(-8)+24=-96+24=-72, -72<0,

f᾽(-)=12*(-)3-12*(-)=-+6=-1,5+6=4,5 4,5>0,

f᾽()=12*()3-12*=-6=1,5-6=-4,5 -4,5<0,

f᾽(2)=12*23-12*2=12*8-24=96-24=72, 72>0,

  1. Точки экстремума. Экстремальные значения функции.



xmin=-1 ymin=3*(-1)4-6*(-1)2=3-6=-3 D(-1;-3)

xmax=0 ymax=3*04-6*02=0 А(0;0)



xmin=1 ymin=3*14-6*12=3-6=-3 Е(1;-3)

h:\математика\открытый урок\производная\5 группа.jpg

Подведение итогов урока.

Учитель выставляет оценки за роботу на уроке

Учащиеся повторяют алгоритм исследования функции.

vӏӏ Сообщение домашнего задания.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Применение производной к исследованию функции iconУрок алгебры в 11 классе Тема урока. Итоговый урок по теме «Применение производной функции»
Цель урока: систематизировать и обобщить знания учащихся по теме «Применение производной функции»; развивать логическое мышление,...

Применение производной к исследованию функции iconУрок в 11 классе по математике на тему: «Исследование функции с помощью...
Образовательная – отработать умения систематизировать, обобщать при исследовании функции ее свойства, применять знания производной...

Применение производной к исследованию функции iconУрок алгебры в 10 классе с применением икт. Тема урока: Применение...
А вы можете прояснить мою фразу? (Это означает важно, чтобы скорость приращения знаний у ученика была положительна – это залог того,...

Применение производной к исследованию функции iconТематический календарный план проф. Гум и нский Ю. И. 28. 08. 2012...
Производная функции. Дифференциал функции. Применение дифференциала. Функция многих переменных. Частные производные. Частный и полный...

Применение производной к исследованию функции iconТематический календарный план проф. Гум и нский Ю. И. 28. 08. 2012...
Производная функции. Дифференциал функции. Применение дифференциала. Функция многих переменных. Частные производные. Частный и полный...

Применение производной к исследованию функции iconКалендарно-тематический план проф. Гуминский Ю. И. 27 июня 2013 г лекц и й по дисциплине„ Высшая
Производная функции. Дифференциал функции. Применение дифференциала. Функция многих переменных. Частные производные. Частный и полный...

Применение производной к исследованию функции iconТематический и календарный план проф. Гум и нский Ю. И. 28. 08. 2012...
Производная функции. Дифференциал функции. Применение дифференциала. Функция многих переменных. Частные производные. Частный и полный...

Применение производной к исследованию функции icon1 Производная. Механический (физический) и геометрический смысл производной
Рассмотрим понятие производной. Пусть задана функция в окрестности точки разность

Применение производной к исследованию функции iconКалендарно-тематический план проф. Гуминский Ю. И. 27 июня 2013 г...
Дифференциальное исчисление. Производная функции. Дифференциал функции. Применение дифференциала. Функция многих переменных. Частные...

Применение производной к исследованию функции iconРешение задачи колмогорова-никольского для тригармонических интегралов Пуассона на классах
Если ряд является рядом Фурье некоторой суммируемой функции, то такую функцию называют -производной функции в смысле Вейля-Надя и...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
uchebilka.ru
Главная страница


<