Модели негауссовых случайных блужданий с конечной дисперсией
Скачать 218.39 Kb.
|
На правах рукописи ВИДОВ Павел Викторович Модели негауссовых случайных блужданий с конечной дисперсией 01.04.02 – Теоретическая физика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва, 2013 год Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт общей физики им. А.М. Прохорова Российской академии наук. Научный руководитель: Доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник ИОФ РАН ^ Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук, заведующий теоретическим отделом ИОФ РАН Гусейн-заде Намик Гусейнага оглы Доктор физико-математических наук, профессор физического факультета МГУ ^ Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Физический институт им. П.Н. Лебедева Российской академии наук, г. Москва. Защита диссертации состоится « » __________ 2013 г. в 15 часов на заседании Диссертационного совета Д002.063.03 при Институте общей физики имени А.М. Прохорова РАН по адресу: 119991, Москва, ул. Вавилова, 38 С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института общей физики имени А.М. Прохорова РАН. Автореферат разослан «___»____________ 2013 г. Ученый секретарь диссертационного совета Д002.063.03 Кандидат физико-математических наук Воляк Т.Б. ^ Актуальность темы Случайные блуждания являются очень удобным инструментом для описания физических процессов, динамика которых имеет стохастическую природу. Случайные блуждания и диффузия, которые, по сути, являются эквивалентными процессами, исследуются уже более ста лет и являются краеугольным камнем теории стохастических процессов, которая находит применение в различных областях физики и математики, а также в социальных науках. В последнее время все больший интерес вызывают исследования стохастических систем, не подчиняющихся Гауссовой статистике. Такие системы не подчиняются классической центральной предельной теореме (ЦПТ). Основной статистической особенностью таких систем является существенно более высокая вероятность возникновения экстремально больших флуктуаций. Зачастую в таких случаях вместо классической ЦПТ возникает ее обобщенная версия, в соответствии с которой распределение суммы независимых случайных величин описывается семейством устойчивых распределений, относящихся к более широкому классу – безгранично-делимых распределений. Негауссовские случайные блуждания наблюдаются, например, при транспорте зарядов на поверхности полупроводников [1] или в процессах диффузии в таких новых материалах, как, например, стекла Леви [2] и целом ряде других физических систем. Необходимо отметить, что подобные процессы характерны и для большого количества нефизических систем. В частности, с ними можно столкнуться в биологических [3], социальных [4] и экономических системах, которые, безусловно, требуют тщательного исследования в условиях современного мира. Экономические временные ряды, такие как изменения цен индексов, акций, производных инструментов или курсов валют, возникают в результате взаимодействия большого количества агентов – участников финансовых рынков и представляют собой хороший пример естественной сложной системы. Большинство используемых на практике финансовых моделей, описывающих динамику цен фондовых активов, основываются на представлениях о классическом гауссовом поведении случайного процесса. К таким моделям относятся базовые модели ценообразования опционов, модели управления рисками и модели формирования портфелей ценных бумаг. В последние годы физики обращают все большее внимание на экономические временные ряды. Раздел науки, посвященный исследованию экономических временных рядов при помощи математического аппарата, используемого в физике, получил название эконофизика [5]. Статьи по эконофизике на сегодняшний день составляют существенную часть публикаций в таких журналах как Nature, Physica A, Physical Review. Журнал Physica A имеет специальный ежеквартальный номер, который называется Econophysics, посвященный данной тематике. В свою очередь за последние годы более 30% всех диссертаций в мире по физико-математическим наукам касаются именно эконофизических исследований [6]. Экономические кризисы последних лет в полной мере выявили несовершенство используемых моделей в экономике, поэтому исследования в этой области представляют огромный интерес как для государственных органов крупнейших государств мира, так и для широкого круга коммерческих компаний. В свою очередь технический прогресс ставит все более сложные задачи, требующие исследования систем, демонстрирующих аномальные транспортные свойства. ^ Целью диссертационной работы является получение модели, позволяющей на микроскопическом уровне описать процесс негауссовых случайных блужданий, не обладающих пространственной или временной автокорреляцией, для случаев отсутствия моментов выше определенного порядка у функции распределения элементарных прыжков системы, а также описание при помощи полученной модели эмпирически наблюдаемых временных рядов, представляющих собой динамику цен акций и индексов на фондовой бирже. ^
^ Результаты исследований автокорреляций и распределений флуктуаций российского фондового рынка, а также модели случайных блужданий с конечной дисперсией успешно используются для управления рисками торговых операций отдельных подразделений, а также фирмы в целом в ЗАО «Финансовая компания «ИНТРАСТ». Также полученные модели случайных блужданий могут быть применены при моделировании случайных процессов, характеризующихся негауссовой статистикой, в частности задач, связанных с аномальной диффузией. ^
^ Полученные в диссертации результаты докладывались на трех научных конференциях «Математика. Компьютер. Образование» (в 2008, 2009 и 2010 гг.), международной конференции по экономической науке ESHIA/WEHIA (Варшава, 2008 г.), Научной сессии Отделения физических наук РАН по эволюционной экономике и эконофизике 2 ноября 2010 г., Первом всероссийском конгрессе по эконофизике в Финансовой академии при Правительстве РФ (Москва 2009 г.), Первом российском экономическом конгрессе в МГУ (Москва, 2009 г.), семинаре в теоретическом отделе ИОФАН. ^ Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 39 рисунков, 8 таблиц, список цитированной литературы из 98 наименований. Объем диссертации 104 страницы. ^ Во введении обоснована актуальность выбранной темы, приведены общие характеристики диссертации, дан краткий обзор диссертационной работы. ^ носит вводный характер и посвящена истории возникновения задачи о случайных блужданиях, а также ее строгой математической формулировке и решению. Формально задача о случайных блужданиях ставится следующим образом. Следует найти плотность вероятности того, что частица, испытав N прыжков в пространстве некоторой размерности G, окажется от места старта в интервале от  до  . Каждый i-й прыжок может быть произведен в интервал длин от  до  с вероятностью  . Схема решения задачи о случайных блужданиях известна [7]. Необходимо вычислить интеграл по всему объему среды, в которую могут быть совершены прыжки:  , (1)где  – радиус-вектор положения частицы после i прыжков. В одномерном случае при наличии всех моментов у функции распределения элементарных прыжков получается обычное решение для классической броуновской частицы. Этот результат является выражением ЦПТ теории вероятностей. Важнейшим требованием в решении задачи является наличие всех моментов у закона элементарного прыжка. Точные асимптотики распределений в случае отсутствия у закона прыжка высших моментов представляют отдельный интерес и рассматриваются в данной работе. Также в главе 1 описывается предельный переход в задаче о случайных блужданиях, связывающий ее с задачами диффузии, а также модель случайных блужданий с непрерывным временем, которая позволяет перейти от дискретных блужданий к непрерывным. Кроме того, обсуждаются реальные физические и нефизические системы, в которых имеют место негауссовы случайные блуждания. Хорошо известно, что свойства негауссовых случайных блужданий присущи финансовым временным рядам, таким как ряды цен акций или фондовых индексов [8]. Во второй главе описываются основные статистические свойства финансовых временных рядов, представляющих собой фиксации относительных логарифмических приращений цен (доходности, returns) акций и фондовых индексов на различных мировых фондовых рынках на разных временных масштабах, исследованные в работах других авторов (например, см. [9]). В частности, такие временные ряды обладают короткими автокорреляциями (индексы) или же они и вовсе дельта-коррелированы во времени (акции). Можно говорить о том, что данный процесс представляет собой случайные блуждания с независимыми приращениями. В свою очередь функции распределения флуктуаций исследованных временных рядов отличаются от распределения Гаусса, возникновения которого можно было бы ожидать в следствие ЦПТ. Эти распределения характеризуются медленно спадающей асимптотикой (толстыми хвостами) и обладают свойством масштабной инвариантности для большого диапазона временных масштабов. При этом если центральная часть распределения достаточно хорошо описывается симметричным устойчивым распределением Леви, то «хвосты» распределения, хотя и обладают более слабо спадающей асимптотикой по сравнению с распределением Гаусса, все же спадают быстрее «хвостов» распределения Леви. Хвостовая часть эмпирического распределения хорошо описывается степенным законом вида  , что говорит о наличии второго момента у данного распределения. Эти свойства временных рядов доходностей характерны для широкого спектра исследованных мировых фондовых рынков. Для того чтобы перейти к негауссовым случайным блужданиям, необходимо расширить задачу о случайных блужданиях, поставленную в главе 1 данной работы, для случаев отсутствия у законов элементарных прыжков частицы всех моментов функции распределения. Решению такой задачи для случаев отсутствия всех моментов функции распределения выше первого и выше второго посвящены соответственно разделы 3.1 и 3.2 главы 3. Необходимо рассмотреть одномерные случайные блуждания с законом элементарного прыжка  , не дающего всех конечных моментов, но обладающего нормировкой, и вычислить интеграл (1). Для этого введен степенной закон, где для малых прыжков предполагается ограниченность и гладкость: (2)Здесь C1 – константа, определяемая требованием нормировки, z – константа, имеющая смысл некоторой характерной длины прыжка,  – степенной параметр. В разделе 3.1 рассмотрен случай, когда закон прыжка (2) не имеет моментов выше первого. Такая схема реализуется при β>1/2. Функция распределения с законом прыжка (2) сводится к функции распределения Леви:  , (3)где ^ – частота в преобразовании Фурье, N – число прыжков, Г – гамма-функция. Закон распределения блужданий Леви характеризуется медленно спадающей асимптотикой, т.е. значительным количеством больших флуктуаций. Действительно, асимптотикой (3) является  ,  , (4)т.е. асимптотика распределения Леви укладывается в диапазон от 1/ до 1/3. Распределение Леви обладает одним интересным свойством. Если поделить асимптотику (4) на асимптотику закона прыжка (2), получим  (5)Это выражение означает, что большие флуктуации могут возникать посредствам одного прыжка (R=r при N=1). В разделе 3.2 рассмотрен случай, при котором закон прыжка не имеет моментов выше второго, то есть он обладает конечной дисперсией. Процесс, возникающий в таком приближении, можно назвать «усеченными» блужданиями Леви, так как он обладает более быстро спадающей асимптотикой по сравнению с распределением Леви. Используется тот же закон прыжка (2), где теперь > 3/2. При небольших флуктуациях до R ~ 10z эти распределения хорошо аппроксимируются соответствующей гауссовой функцией  (6)Этот факт является выражением ЦПТ для таких случайных процессов [12]. Гауссова функция справедлива вплоть до флуктуаций, в  раз больших характерной средней величины z [13]. В области больших флуктуаций  определена ранее не известная точная асимптотика функции распределения. Показано точно, что асимптотическое поведение плотности распределения «усеченных» блужданий Леви может быть описано для любого законом . (7)Зависимость среднеквадратичного отклонения от времени имеет вид  (8) Рис.1. Кумулятивная функция распределения усеченных блужданий Леви при β =2 (ось Y), нормированная на R = N1/2z (ось X). Сплошная линия: N = 1, штриховая линия: N = 60, точки: N = 450. Выражение для усеченных блужданий Леви может быть нормировано на средний квадрат ^ . В этом случае все гауссовы асимптоты (для малых R) при любом β становятся одинаковыми. В то же время асимптоты (7) становятся пропорциональными N-1/2. На рис.1 показана кумулятивная функция распределения усеченных блужданий Леви при β = 2. Хорошо видна разница между кривыми для разных значений N. Кумулятивные распределения при любых β ведут себя аналогичным образом. Таким образом, введение закона прыжка типа (2) позволяет единым аналитическим образом рассмотреть как обычные блуждания Леви, так и «усеченные» блуждания Леви. Глава 4 посвящена применению полученных моделей негауссовых случайных блужданий для описания реальной системы, в которой такие блуждания имеют место. Учитывая факты, изложенные в главе 2, рассматривается динамика доходностей акций и индекса российского фондового рынка. Ранее достаточно подробные исследования статистических характеристик временных рядов, представляющих фиксации цен российских ценных бумаг не проводились. Разделы 4.1 и 4.2 непосредственно посвящены исследованию статистических характеристик данных временных рядов и их сравнению с результатами, полученными для других рынков (например, см. [6, 8, 9]). Временные ряды доходностей российского фондового индекса РТС, также как и его аналоги на зарубежных рынках, обладают короткими автокорреляциями с характерным временем около 0,85 мин. В свою очередь доходности акций и вовсе дельта-коррелированы во времени. Функция распределения флуктуаций доходностей на российском рынке определялась для различных масштабов фиксации данных – от 1 мин до 1 дня. Также как и на всех западных рынках, эти распределения обладают свойствами масштабной инвариантности (при перенормировке на величину стандартного отклонения все функции становятся близкими) и характеризуются медленно спадающей асимптотикой для больших флуктуаций вида (рис.2). Асимптотика распределения была определена при помощи метода Хилла [10], который является одним их наиболее распространенных способов оценки показателя степени для степенных зависимостей. Таким образом, можно утверждать, что указанные свойства являются универсальными как для российского рынка, так и для всех исследованных рынков зарубежных стран.  Рис.2. Кумулятивные распределения положительной флуктуаций доходности индекса РТС, двойной логарифмический масштаб. Звезды – положительная часть пошагового распределения. Квадраты – положительная часть распределения 15-мин доходности. Круги – положительная часть распределения однодневной доходности, треугольники – положительная часть распределения месячной доходности. Еще одним интересным свойством, которое можно наблюдать в исследованной в данной работе системе, описывающей поведение российских и зарубежных акций и индексов, является длинная память во временных рядах, формируемых модулями доходностей. При этом время автокорреляции таких рядов на российском фондовом рынке составляет несколько месяцев. Несмотря на это, на основании выявленных свойств временных рядов доходностей акций и индексов можно утверждать, что процесс, который они представляют, является вариантом случайных блужданий с независимыми приращениями и с негауссовой асимптотикой распределений. Прежде чем переходить к непосредственному применению теоретических моделей, необходимо рассмотреть вопрос о том, какие эмпирические данные соответствуют элементарному прыжку в схеме случайных блужданий? Этому посвящен раздел 4.3. Минимальный масштаб изменения цены, по которому можно корректно построить эмпирические распределения (в силу имеющихся в базе данных) равен 1 мин. Более высокочастотные данные, доступные нам, представляют собой уже фиксации цен отдельных сделок (тиков цены), временной интервал между которыми является случайной величиной. Необходимо ответить на вопрос, является ли тик элементарным прыжком в схеме случайных блужданий? Эмпирические данные позволяют легко определить среднее значение временного интервала между отдельными изменениями цены  и собственно характерный масштаб этого изменения  . Если тик цены является минимальным масштабом процесса, то эти две величины должны удовлетворять функциональной связи, определяющей зависимость дисперсии от числа прыжков (учитывая, что N ~ t), полученной в рамках модели. Дисперсия ряда доходностей, исходя из модели, при β=2 равна N1/2z. Эмпирические данные фиксаций доходностей для временных масштабов  мин. позволяют построить удовлетворяющую теоретической модели зависимость для этих временных масштабов (рис. 3, линия - 1). Если точка с координатами  принадлежит экстраполяции данной зависимости (пунктирная линия), то можно говорить о том, что тик и является минимальным масштабом процесса. Зафиксировав вычисленное значение , можно сравнить, эмпирически определенное значение с временным интервалом  , соответствующим экстраполяции. Различие данных величин для акций Сбербанка составляет всего 3%. Таким образом, именно тик является единичным прыжком в схеме случайных блужданий.  Рис. 3. Зависимость средней доходности акций ОАО «Газпром» от частоты фиксации значений (линия 1). Экстраполяция данной величины (пунктирная линия). Линия 2 – теоретическое значение среднего времени между двумя тиками. Линия 3 соответствует уровню средней тиковой доходности.Раздел 4.4 посвящен применению полученных теоретических моделей для описания эмпирически наблюдаемых данных временных рядов доходностей российских акций и индекса РТС. Характеру асимптотики для больших флуктуаций, очевидно, соответствует форма распределения усеченного блуждания Леви, получающегося в результате реализации теоретической схемы с законом единичного прыжка (2) при β = 2. Однако в этом случае форма распределения меняется при различных значениях N (рис. 1), чего, однако, не наблюдается в действительности (рис. 2). Для описания эмпирических данных необходимо модифицировать модель. Первая возможность модификации модели – это попытка применения схемы случайных блужданий с непрерывным временем (CTRW) [14]. В самом деле, временные интервалы между двумя последовательными тиками могут варьироваться в широком диапазоне. Функция распределения этих временных интервалов спадает с уменьшением Δt как (Δt)4.4. Учет времени между транзакциями не позволяет получить новые результаты в силу наличия математического ожидания величины временного интервала между тиками. Был проведен дополнительный анализ имеющихся эмпирических данных. Каждая сделка в базе данных представляет собой тройку параметров: это ее время, цена и количество акций, участвующих в сделке (объем торгов). Было обнаружено, что распределение количества акций, торгуемых в одной биржевой сделке (одном тике), Q(x), определенно попадает в диапазон Леви, то есть асимптотическая («хвостовая») часть распределения хорошо описывается законом вида x-ς, где 2>ς>0, если рассматривать кумулятивную функцию распределения. Для российских акций были определены показатели в диапазоне 1.7 > ς > 1.6 в зависимости от рассматриваемой ценной бумаги. На рис.4 показано кумулятивное распределение объема торгов в одном тике.  Рис. 4. Кумулятивное распределение объема торгов в одном тике для акций Сбербанка 21.11.2007 г. Прямой линией обозначена «хвостовая» зависимость x-ς, где ς = 1.7. Для модификации схемы усеченных случайных блужданий Леви, которая бы позволила корректно описать эмпирические данные, необходимо использовать связь стандартного отклонения z и среднего объема сделки при помощи степенного закона. Модификация модели ограничивается предположением о том, что каждое стандартное отклонение z в схеме является случайной величиной zi, пропорциональной объему сделки в i-й транзакции. В сфере финансов этот эффект определяется выражением: «объем торгов двигает цену» [15]. Данная модификация означает, что вводится зависимость функции распределения вероятности единичных флуктуаций τi(ri) от другой случайной величины zi. В данном случае концептуально схема снова напоминает модель случайных блужданий с непрерывным временем (CTRW). Только в качестве субординированной функции используется не распределение интервалов времени между отдельными прыжками, а распределения другой неотъемлемой величины, присущей эмпирическому ряду (объема торгов в каждой сделке). Проблема прямого применения CTRW состоит в том, что конечная функция распределения для R будет зависеть от набора случайных величин {zi}. Например, функция распределения усеченных случайных блужданий Леви для β =2 получается в виде  . (9)Так как все величины {zi} имеют функцию распределения вида x-δ при больших zi, где δ  2.5–2.7, возможно усреднение (9) по каждой zi. Тем не менее этот результат будет неверным, так как конечный вид усредненной таким образом функции не будет соответствовать экспериментально наблюдаемым данным, а именно не будет пропорционален R-4 при больших R. Применение простой схемы CTRW невозможно и для асимптотических значений (9), так как при больших ^ имеем  (10)и набор случайных величин {zi} дает только одну случайную величину Σzi3. К сожалению, функция плотности вероятности распределения данной величины на хвостах имеет вид x-2/3-δ/3. Эта функция не имеет математического ожидания, которое необходимо для применения схемы CTRW. Поэтому метод CTRW необходимо обобщить на случай отсутствия условного среднего случайной величины Σzi3 в (10). Выражение (9) может быть исследовано на предмет зависимости от N, т.е. перенормировки. Если перенормировать величину R в (9) или соответствующее асимптотическое кумулятивное распределение  (11)на стандартное отклонение (Σzi2)1/2, что мы делаем при вычислении эмпирических распределений, возникает скейлинговая зависимость выражения (11) в виде N-1/2 в случае Σzi3~ N . В то же время зависимость Σzi3 от N имеет другой вид, так как функция распределения случайной величины Σzi3 сходится к распределению Леви. Конечный результат для функции распределения имеет вид Σzi3 ~ N3/(δ-1), и конечная наблюдаемая зависимость (11) от N после перенормировки реальной флуктуации цены R на экспериментально полученное стандартное отклонение равна  (12)При δ ~ 2.5–2.7 зависимости (12) лежат в диапазоне N0.5 to N0.27 (Рис. 5). Таким образом, стандартная перенормировка обеспечивает слабую зависимость всех функций распределения флуктуаций цены от количества прыжков (тиков) N. Такие форма зависимости выражения (12) от числа прыжков N позволяет описывать распределения, полученные как для российского рынка, так и для зарубежных рынков, где имеются слабые зависимости распределений от N.  Рис. 5. Кумулятивная функция распределения флуктуаций цены для β =2 (ось Y), нормированных на стандартное отклонение с δ = 2,7.Сплошная линия: N = 1, пунктирная линия: N = 60, точки: N = 450. В заключении диссертации сформулированы основные результаты работы. ^
Список публикаций по теме диссертации Основные результаты диссертационного исследования отражены в следующих публикациях:
Цитируемая литература
|
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | ... | | Во всех случаях используется программный датчик случайных чисел, равномерно распределённых на интервале 0,1. Из этих чисел при... |
| Совокупность n случайных величин (Х1, Х2, … Хn), рассматриваемых совместно, называется системой n случайных величин или n-мерной... | | I. общее представление о математической статистике. Предварительные сведения об основном объекте ее изучения – случайных величинах... |
| В настоящей работе вводятся необходимые понятия, в терминах которых характеризуется класс формул, специфицирующих автоматы с конечной... | | Закономерные изменения тонкой структуры статистических распределений в случайных процессах, как следствие арифметических и космофизических... |
| Во всех случаях используется программный датчик случайных чисел, равномерно распределённых на интервале 0,1. Из этих чисел при... | | Предложено использование обобщенной имитационной модели региональной транспортной сети, учитывающей влияние случайных внутренних... |
| Эвм по созданию случайных ситуаций в соответствии с логикой, заданной последовательностью операционных блоков gpss-модели, в ней... | | Простым масштабированием затем можно получить распределения с заданными средним и дисперсией |