Урок одной задачи? Зеленяк О. П. Математика в школах України. – 2008




Скачать 128.2 Kb.
НазваниеУрок одной задачи? Зеленяк О. П. Математика в школах України. – 2008
Дата публикации07.03.2013
Размер128.2 Kb.
ТипУрок
uchebilka.ru > Информатика > Урок
УРОК ОДНОЙ ЗАДАЧИ?
Зеленяк О.П. Математика в школах України. – 2008. 30 (222). – С. 8-12.
В статье рассмотрим решение известной задачи на вычисление объема правильной четырехугольной пирамиды c последующими аналитическим и графическим анализами и вычислительным экспериментом.

Многие тысячелетия человечеством создаются различные конструкции пирамидальной формы, пирамиды найдены на всех континентах. Им приписывают различные свойства и эффекты по изменению свойств жидкостей и растворов, гармонизации окружающей среды и оздоровлению и т.п. О пирамидах написано множество статей. Поиски в области пирамидологии непрерывно продолжаются. Так, не прекращается исследование комплекса “великих пирамид“ Египта. В основании крупнейшей пирамиды Хеопса – квадрат со стороной 227,5 м. Высота ее при строительстве составляла 146,6 м., а объем – более 2500000 м3.

Правильная четырехугольная пирамида – простейший, известнейший многогранник.
В конце изучения темы “Объем пирамиды” на урок была выбрана задача: определить объем правильной четырехугольной пирамиды, высота которой равна H, и двугранный угол при боковом ребре в три раза больше двугранного угла при ребре основания (см., например, №1 журнала “Квант” за 1986 год). Для тех, кто не выписывал этот замечательный журнал раньше в Интернете его материалы доступны по адресу http://kvant.mccme.ru/index.htm.

Учителям геометрии известно, что многим учащимся нелегко даются задачи с многогранными углами. В стереометрической задаче важно различать данные в конфигурации, определяя при этом какие из них задают форму, а какие размер многогранника (или влияют на них). Углы – важнейшие элементы многогранника. Без знания всевозможных его углов нельзя переходить к решению задач, особенно на комбинации тел.

Соответствующий теоретический материал можно повторять, например, по большому рисунку, введя обозначения для углов правильной четырехугольной пирамиды: α1 – между сторонами основания, α2 – между стороной и диагональю основания, α3 – между боковым ребром и стороной основания, α4 – между боковым ребром и высотой, α5 – между боковым ребром и апофемой, α6 – между противополежащими боковыми ребрами, α7 – между смежными боковыми ребрами (плоский угол при вершине пирамиды), α8 – между боковым ребром и плоскостью основания, α9 – двугранный угол при ребре основания, α10 – двугранный угол при боковом ребре и предлагая учащимся указывать: 1) равные углы, 2) углы, дополняющие друг друга до прямого, 3) существующие соотношения между углами, 4) углы, лежащие и не лежащие в одной плоскости, 5) углы, имеющие постоянную градусную меру, 6) границы изменения величин углов и т.п.

В упомянутой выше журнальной статье углы α7 – α10 названы основными и объясняется, как, зная величину любого из основных углов, можно определить величины трех остальных. Отдельно рассматриваются случаи правильных треугольной, четырехугольной и n-угольной пирамид. Для заданных углов нашей пирамиды приводится соотношение sin 9 = cos, которое затем применяется в решении.
Будем искать решение, не использующее это соотношение.

Выполнив рисунок пирамиды (ее высота окажется меньше половины стороны основания), введем обозначения и объясним построения линейных углов.

Пусть SABCD – данная пирамида, SO – ее высота.

Выберем точку M на середине ребра AB и соединим ее с точками O и S. OMAB, поэтому и SMAB по теореме о трех перпендикулярах, т.е.  SMO – линейный угол двугранного угла AB.

Проведем высоты боковых граней AN и CN. Пирамида правильная, поэтому ∆ CNB = ∆ ANB. Т.к. SBAN и SBСN, то SB  (ACN) и  ANC – линейный угол двугранного угла SB.

Проанализируем данные в условии задачи.

Что определяет заданное отношение угловых величин?

Соотношение 3 : 1 между угловыми величинами (или другое) определяет форму правильной четырехугольной пирамиды с точностью до подобия.

Один из заданных двугранных углов определяет форму пирамиды?

^ Да. Между величинами этих углов существует зависимость.

Что определяет заданная длина высоты пирамиды?

Длина высоты фиксирует размер правильной четырехугольной пирамиды определенной формы.
Так как V = ⅓ SABCDSO = ⅓ ∙ 4a2H, то необходимо выразить a через H.

Учитывая заданное в условии отношение между величинами углов, воспользуемся тождеством для косинуса тройного аргумента: cos 3 = cos  (4 cos2  – 3).

Введем вспомогательные угол и отрезок.

Пусть  SMO = , ОM = AM = BM = a. Тогда  ANC = 3, AB = 2a.

cos  = a / из прямоугольного треугольника SMO.piramid

Теперь выразим через a и H левую часть тождества, применяя теорему косинусов в равнобедренном треугольнике ANC:

AC2 = 2AN2 (1 – cos 3). AN2 найдем из подобия прямоугольных треугольников SMB и ANB, которые имеют общий острый угол B.

. Отсюда AN2 = = , т.к. OB = .

Имеем: 1 – cos 3 = 8a2 : = , cos 3 = 1 – = – (знак минус означает, что угол 3 – тупой).

Тождество примет вид: – = или – = ,

a = 3H2a2, a2 (a2 + H2) = 9H4 – 6a2H2 + a4, a2H2 = 9H4 – 6a2H2, a2 = 9H2 / 7.

Таким образом, V =
I) ^ Аналитический анализ

С учетом первого вывода и того, что в решении высота H играла роль вспомогательного отрезка, следует обратить внимание на выбор вспомогательных отрезков.

Введем их так, чтобы отношение для cos  не содержало иррациональности.

Пусть ОM = a, SM = b. Тогда cos  = a / b. ∆ SMB  ∆ ANB. , ,

, AN2 = . 1 – cos 3 = . Отсюда cos 3 = – .

Имеем: – = , 3 = 0, , т.к. > 0.

b = , a2 = 9H2 / 7.

Итак, выбор отрезков ОM и SM в качестве вспомогательных – рациональнее. Решение приобрело компактуную запись.

Величины углов суть:

 = arccos (3/4)  0,7227  ^ 4125; 3 = arccos (- 9/16) =  – arccos 9/16  2,1682  12414.

Заметим, что решение обладает и определенной общностью, т.к. выражения a / b и – a2 / b2 можно использовать для подстановки в другие формулы для косинусов кратных углов (cos 2 = 2cos2  – 1; cos 4 = 1 – 8cos2  + 8cos4 ). В частности, ясно, что заданные двугранные углы не могут быть равными.

II) ^ Графический анализ

На втором уроке математики (или на уроке информатики) графический анализ (одна группа учащихся) и вычислительный эксперимент (другая группа) проведем с помощью программ Gran3D и Excel.

Выберем одну из множества подобных пирамид, удовлетворяющих условию задачи (MO = 3, SO = , SM = 4, AB = 6, SA = 5) и построим многогранник c помощью прикладной программы Gran3D.

Объект / Создать базовый объект / Правильная пирамида / Боковое ребро – 5 / Сторона – 6 / Количество вершин в основании – 4 / Создать / Выполнить.

Используя полосы поворота изображения, расположим ее на экране наглядно.

Справа в окне “Характеристики объектов” выводятся координаты вершин пирамиды в пространственной прямоугольной системе координат, площадь ее поверхности и объем. p1_2

Высота этой пирамиды .

Следовательно, по полученной формуле ее объем будет равен = 12  31,749, что совпадает со значением, выведенным программой.

Далее убедимся, что выполняется и соотношение 3 : 1 между величинами линейных углов.

Построим углы, используя координаты некоторых точек: O (0; 0; 0), S (0; 0; ), A (3; 0; 0), B (0: 3; 0), C ( – 3; 0; 0). Вершина S пирамиды принадлежит оси аппликат, вершины основания A и C – оси абсцисс и вершина B – оси ординат. ОС = OA = OB = 3. Вершина меньшего линейного угла M – середина AB, поэтому M (3/; 3/; 0).

Создать точку / Точка с координатами (x; y; z) / x = 0; y = 0; z = 0 / Название объекта / O / Выполнить.

Создать точку / Точка с координатами (x; y; z) / x  2.1213; y  2.1213; z = 0 / Название объекта / M / Выполнить.

Создать ломаную с экрана / Фиксировать точки S, M, O, S / Выполнить.

Выполним измерение градусной меры угла SMO.

Вычисление угла (по трем точкам) / Фиксировать точки S, M, O.

В список отчетов выводится строка: Угол: 0.72274 (41.41).

(При работе с программой следите за полосой подсказки и за полем информирования (внизу экрана). В последнее выводятся пространственные координаты точки, на которую наведен курсор на поле изображения, название родительского объекта и длина отрезка, содержащего эту точку).
Чтобы измерить линейный угол при боковом ребре, вычислим координаты точки N, учитывая, что SN : NB = 7 : 18 (см. задачу ниже). Точка N лежит в плоскости zy. Ее абсцисса xN равна нулю.

yN =  1,1879, zN =  1,9049.

Создать точку / Точка с координатами (x; y; z) / x = 0; y  1.1879; z  1.9049 / Название объекта / N / Выполнить.

Создать ломаную с экрана / Фиксировать точки A, N, C, A / Выполнить.

Выполним измерение градусной меры угла ANC.

Вычисление угла (по трем точкам) / Фиксировать точки A, N, C.p2_1

В список отчетов выводится строка: Угол: 2.1682 (124.23).

Отмечаем, что и значения линейных углов совпадают с вычисленными ранее.
III) Вычислительный эксперимент

Если линейный угол  при ребре основания правильной четырехугольной пирамиды возрастает на интервале (0; 90), то линейный угол  при боковом ребре убывает от 180 до 90 (не принимая крайних значений).

В электронной таблице Excel в ячейку A4 введем начальное значение  = 5 = 1/12 и вычислим несколько соответствующих значений угла  с шагом 5, считая, что половина стороны основания пирамиды равна 1. В ячейки A5, B4, C4 и D4 соответственно запишем четыре формулы: =A4 + 1/12, =1/COS(РАДИАНЫ(A4)), =ПИ() – ACOS(1/B4/B4), =ГРАДУСЫ (C4). Затем, повторим вычисления, изменив начальное значения этого угла на 41, чтобы в столбцы A и D были выведены величины углов, полученные в задаче (см. в выделенной строке ячейки A9 и D9). excel_2

excel_1


Используя анализы, сформулируем следствие и задачи.
Следствие: косинус линейного угла при боковом ребре правильной четырехугольной пирамиды равен квадрату косинуса линейного угла при ребре ее основания, взятому с противоположным знаком: cos  = – cos2.
Устные задачи:

1. Отношение величин углов в задаче равно 3 : 1 или 9 : 3. Вспоминая табличные значения косинуса на интервале (0; 180), определить величины линейных углов, считая это отношение равным 8 : 3. Ответ: 45 и 120 или и .

2. Найти величину линейного угла при боковом ребре пирамиды, если линейный угол при ребре основания равен а) 30; а) 60. Ответ: а)  – arccos ¾; б)  – arccos ¼.

3. Какой общий вид уравнения связи, если отношение величин углов (при боковом ребре к углу при ребре основания) равно p : q, a – длина половины стороны основания, b – длина апофемы.

Ответ: p arccos = q arccos (8 arccos = 3 arccos в первой устной задаче).

Задачи:

1. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при боковом ребре в три раза больше двугранного угла при ребре основания. Доказать, что

а) апофема делит боковые грани пирамиды на два равных прямоугольных треугольника, стороны которых пропорциональны сторонам египетского треугольника, т.е. числам 3, 4, 5.

б) вершина линейного угла при боковом ребре пирамиды делит это ребро в отношении 7 : 18, считая от вершины пирамиды.

в) отношение между радиусами вписанного в пирамиду и описанного около пирамиды шаров равно 25 : 6.

2. Убедиться в справедливости следствия для правильной четырехугольной пирамиды, у которой все ребра равны.

3. Решить данную задачу при условии, что соотношение между двугранными углами 2 : 1, 4 : 1.

4. (№ 12.251). Центр шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, делит ее высоту в отношении m : n, считая от вершины пирамиды. Найти угол между двумя смежными боковыми гранями.

5. (№ 12.443). Расстояние от центра основания правильной четырехугольной пирамиды до боковой грани и до бокового ребра равны соответственно a и b. Найти двугранный угол при основаниии пирамиды (номера указаны из сборника под редакцией М.И. Сканави)
Решение этих задач, а также поиск новых зависимостей в заданной пирамиде и новых задач можно предложить учащимся в качестве домашней работы и творческих заданий.
Решения задач 4 и 5, использующие следствие, могут быть такими.

4. (№ 12.251). Центр данного шара принадлежит биссектрисе линейного угла при ребре основания. По свойству биссектрисы угла треугольника отношение отрезков высоты пирамиды равно отношению половины стороны ее основания к апофеме, т.е. в обозначениях решенной выше задачи cos  = . Значит, по следствию искомый угол равен arccos . Ответ:  – arccos .
5. (№ 12.443). Пусть  – линейный угол при боковом ребре пирамиды, x – половина стороны основания. В прежних обозначениях:  =  ANC, x = OM, b = ON, a = OP, где OP SM.

Тогда tg = , сos  = = . сos  = .

Так как по следствию сos  = – сos2 , то = , + 1 = , 2b2x2 = a2b2 + 2a2x2, 2x2 (b2a2) = a2b2, = 2 – . Итак, сos  = = = .

Ответ: arccos.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Урок одной задачи? Зеленяк О. П. Математика в школах України. – 2008 iconВспомогательное отношение
О. П. Зеленяк. Математика в школах України. – 2009. – №16-18 (244-246). – С. 59-70

Урок одной задачи? Зеленяк О. П. Математика в школах України. – 2008 iconПрименения симметрии
Зеленяк О. П. Математика в школах України. – 2011. – №5 (341). – С. 21-28. – 2011. – №8 (344). – С. 21-28

Урок одной задачи? Зеленяк О. П. Математика в школах України. – 2008 iconМатематика в школах України. 2007. №4(160). С. 3-5
Математика в школах України” открывается интересной статьей Д. П. Мавло, содержащей три теоремы о равных (неравных) отрезках. В настоящей...

Урок одной задачи? Зеленяк О. П. Математика в школах України. – 2008 iconУрок Математика и природоведение
Тема( математика). Письменная нумерация чисел второго десятка. Задачи на увеличение, уменьшение числа на несколько единиц. Замкнутая...

Урок одной задачи? Зеленяк О. П. Математика в школах України. – 2008 iconЗаседание математического кружка «Суммари»
Роботу надруковано в науково-методичному журналі «Математика в школах України. Позакласна робота» Серпень 2011

Урок одной задачи? Зеленяк О. П. Математика в школах України. – 2008 iconЗаседание открываем стихотворением Софьи Васильевны: если ты в жизни
Роботу надруковано в науково-методичному журналі «Математика в школах України» №3 (303)

Урок одной задачи? Зеленяк О. П. Математика в школах України. – 2008 iconЗаседание открываем стихотворением Софьи Васильевны: если ты в жизни
Роботу надруковано в научно-методичному журналі «Математика в школах України» №3 (303)

Урок одной задачи? Зеленяк О. П. Математика в школах України. – 2008 iconПрограмма «120 баллов» позволит вам получить существенную скидку...
Мистецтво в школі, Інформатика в школі, Трудове навчання в школі, Фізичне виховання в школах України, Шкільному психологу. Усе для...

Урок одной задачи? Зеленяк О. П. Математика в школах України. – 2008 iconУрок-математика,информатика Цель урока
...

Урок одной задачи? Зеленяк О. П. Математика в школах України. – 2008 iconЗадачи как средство обучения программированию Зеленяк О. П
Даже школь- ная информатика уже отметила свое десятилетие. Усилиями ученых и препо

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
uchebilka.ru
Главная страница


<