1 Натуральные числа Числа, появившиеся в результате счета, называются натуральными числами. Натуральные числа обозначают с помощью десяти знаков цифр




Скачать 203.7 Kb.
Название1 Натуральные числа Числа, появившиеся в результате счета, называются натуральными числами. Натуральные числа обозначают с помощью десяти знаков цифр
страница1/3
Дата публикации16.07.2013
Размер203.7 Kb.
ТипДокументы
uchebilka.ru > Информатика > Документы
  1   2   3
ГЛАВА 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
1.1. Рациональные числа

1.1.1. Натуральные числа

Числа, появившиеся в результате счета, называются натуральными числами. Натуральные числа обозначают с помощью десяти знаков цифр:

1,2,3,4,5,6,7,8,9,0.

Множество* всех натуральных чисел – бесконечно. Оно имеет наименьшее число – единицу, но не имеет наибольшего числа.

Множество натуральных чисел обозначают N={1,2,3,…,n,…}.

1.1.2. Простые и составные натуральные числа

Пусть а**натуральное число. Делителем числа а называется натураль­ное число, на которое число а делится нацело. Например, число 20 имеет шесть делителей: 1, 2,4,5,10,20.

Определение. Натуральное число а, не равное единице, называ­ется простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само число а. Натуральное число а называется составным, если оно имеет более двух делителей. Единица – единственное натуральное число, которое не явля­ется ни простым, ни составным.

Таким образом, множество натуральных чисел состоит из единицы, простых и составных чисел.

Наименьшим простым числом является число 2. Это единственное чет­ное простое число. Остальные простые числа – нечетные. Вот первые двад­цать простых чисел: 2,3,5,7, 11, 13, 17, 19,23,29,31,37,41, 43,47,53,59,61,67,71.

^ 1.1.3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Будем рассматривать натуральные числа.

Определение. Если натуральные числа а, b,… делятся нацело на одно и то же натуральное число d, то число d называется общим делителем чисел а, b,… . Наибольшее натуральное число, на которое делится нацело каждое из данных натуральных чисел, называется наибольшим общим де­лителем этих чисел и сокращенно обозначается НОД. Если НОД чисел а,b,... равен 1, то эти числа называются взаимно простыми.

Например, НОД чисел а = 48 = 24 ∙ 3 и b = 36 = 22 ∙ 32 равен 22 ∙ 3 = 12. Числа 28 = 22∙7 и 15 = 3∙5 − взаимно простые, так как их НОД равен 1. Числа 6, 8,15 также являются взаимно простыми.

Кратным натурального числа а называется натуральное число k, которое делится нацело на а.

Определение. Всякое натуральное число, которое делится нацело на каждое из натуральных чисел а, b,..., называется общим кратным чисел а, b,... Наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных натуральных чисел, называется наименьшим общим кратным этих чисел и сокращенно обозначается НОК.

Например, НОК чисел 48 = 24 ∙ 3 и 36 = 22 ∙ 32 есть число 24 ∙32= 144.

^ 1.1.4. Целые числа. Арифметические действия над целыми числами

Совокупность чисел 0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5,... образует множество целых чисел и обозначается Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}. Над целыми числами устанавливаются действия сложения и умножения.

Вычитание и деление определяются как действия, обратные сложению

и умножению.

^ Вычесть из числа а число b – значит найти такое число с, которое при

сложении с числом b дает число а:

с = а b, если b + с = а.

Число с называется разностью чисел а и b. Для целых чисел вычитание всегда выполнимо и единственно, т.е. для любых а и b существует и притом единственная разность с.

Разделить число а на число b – значит найти такое число q, при умножении на которое число b дает число а:

q=a : b или , если b q =a.Число q называется частным.

При сложении, умножении, вычитании целых чисел всегда получаются целые числа. Деление не всегда выполнимо на множестве целых чисел.

Невозможно деление на нуль. Если а ≠ 0, а b = 0, то нет такого числа q, для которого bq = a. Если а = b = 0, то q – любое число.

Если для чисел а и b существует частное q, т.е. bq=а, то говорят, что a делится на b (или b делит а). При этом, а называется делимым (или кратным числа b), а b − делителем числа а. Целое число a называется четным, если оно делится на 2, т.е. a=2∙k и нечетным, если оно не делится на 2, т.е. a=2∙k-1 или a=2∙k+1. Нуль — четное число.

^ 1.1.5. Дроби обыкновенные и десятичные, арифметические

действия над ними

Обыкновенные дроби. Число, равное n-й части числа единица (n – нату­ральное число, большее единицы), обозначают . Если эта часть берется т раз – натуральное число), то получаемое в результате этого новое число обозначают и называют арифметической дробью. При этом число m называют числителем дроби, а число п – ее знаменателем. Дробь можно рассматривать так же, как частное от деления m на п.

Всякое натуральное число а можно считать дробью со знаменателем единица, т.е. . Будем считать нуль дробью с любым знаменателем n, т.е. 0 = , где п – натуральное число.

Число вида: , (1.1.1)

где а – натуральное или нуль и b – натуральное число, называется обыкно­венной дробью; а – числитель дроби, bее знаменатель.

Две дроби и считаются равными: , если ad = bc.

По определению: , если ad>bc, и , если ad < bc.

Например, , так как 5 ∙ 7 > 8 ∙ 4.

Из определения равенства дробей следует, что дроби и равны.

Действительно, справедливо равенство а ∙ bk = b ak = abk. Отсюда выте­кает основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной: .

На этом свойстве основано сокращение дробей, т.е. деление числителя и знаменателя на их общий делитель. Например, . Обычно сокращение проводят до тех пор, пока числитель и знаменатель не будут взаимно простыми числами.

Основное свойство дроби используют и для приведения дроби к другому знаменателю. Например, дробь можно привести к знаменателю 24.

Для этого надо умножить числитель и знаменатель дроби на число 2.

Получим . В этом случае число 2 называют дополнительным множителем. Дробь можно привести и к другому знаменателю, на­пример к знаменателю ^ 36. . Здесь дополнительным множителем служит число 3.

Часто приходится приводить две или несколько дробей к общему зна­менателю. Для этого находят наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей и каждую дробь приводят к этому знаменателю. Например, приведем дроби и к общему знаменателю. Для этого найдем наименьшее общее кратное чисел 12 и 18. Таким числом будет 36. Теперь найдем дополнительный множитель для первой дроби: разделим наименьшее общее кратное 36 на знаменатель дроби 12 и получим 36 :12 = 3. За­тем найдем дополнительный множитель для второй дроби и получим 36 : 18 = 2. Умножив числители и знаменатели данных дробей на их допол­нительные множители, получим: , .

Действия над дробями

Сложение и умножение дробей определяются по правилам:

, .

Вычитание и деление дробей определяются как действия, обратные со­ответственно сложению и умножению. Из этого определения выводятся правила действий: ; .

^ Разделить дробь на дробь − это исходную дробь умножить на обратную.

Арифметические дроби подразделяются на правильные и неправильные дроби. Правильной называется дробь, у которой числитель меньше знаме­нателя. Неправильной называется дробь, у которой числитель больше зна­менателя или равен ему. Любая правильная дробь меньше 1, а любая неправильная дробь больше или равна 1. Например, — правильные

дроби, а — неправильные дроби.

Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть. Для этого надо выполнить деление с остатком числителя на знаменатель. Например, выделим целую часть дроби, разделив 45 на 7, получим в частном 6, а в остатке 3. Значит, .

Число, которое состоит из натурального числа и правильной дроби, называется смешанным числом. У смешанного числа число 6 является целой частью, а дробь дробной частью числа.

Чтобы смешанное число записать в виде неправильной дроби, нужно умножить его целую часть на знаменатель дробной части и к произведению прибавить числитель дробной части. Полученная сумма будет числителем неправильной дроби, а ее знаменателем будет знаменатель дробной части.

Например, представим смешанное число в виде неправильной дроби.

Для этого умножим 3 на 8 и к произведению прибавим 5. Получим

3∙8 + 5 = 29. Итак, .

Десятичные дроби

Рассмотрим те дроби , у которых знаменатель b= 10n , где п – натуральное число: . (1.1.2)

Любая дробь (1.1.2) представима в виде суммы

, (1.1.3)

где а0, а1,...,аn, b1,..., bm – цифры.

Например, , , .

Условились дробь (1.1.2) или (1.1.3) записывать также в виде :

, или , (1.1.4)

где с = ат ∙ 10m + аm-1 ∙ 10т-1 + … +а0 = – целое число (целая часть дроби), а b1, b2,..., bп - десятичные знаки (они образуют дробную часть).

Например: .

Так как (1.1.4) − иная запись суммы (1.1.3), то после bn можно приписать любое число нулей, и величина дроби от этого не изменится.

Дробь (1.1.2), записанную с помощью десятичных знаков в виде (1.1.4) на­зывают десятичной дробью. Такая запись удобна для сравнения дробей и для выполнения действий над ними.

Например, сравнивая десятичные дроби 17,839 и 18,153, получаем, что 17,839 < 18,153. Сравним 13,2 и 13,187; их целые части равны. Рассмат­ривая дробные части, получаем, что 13,2 > 13,187.
Правила действий над десятичными дробями

Чтобы сложить две деся­тичные дроби, надо:

1) записать каждый разряд одной дроби под соответствующим разрядом другой дроби;

^ 2) сложить получившиеся числа как целые числа;

3) поставить в сумме запятую под запятыми в слагаемых.

Аналогичным образом производят вычитание десятичных дробей.

Например:

83,759 83,759 5,370 5,37

+ 4,280 или + 4,28 2,093 или 2,093

88,039 88,039; 3,277 3, 277.
Чтобы умножить одну десятичную дробь на другую, надо выполнить их умножение как целых чисел, не обращая внимания на запятые, а затем в произведении отделить справа число знаков, равное сумме чисел знаков после запятой у сомножителей.
Например:

0,38 1,52 1,37

* 39 * 2,3 *0,04

342 456 0,0548 .

+ 114 + 304

14,82; 3,496;

Из правила умножения десятичных дробей следует, что умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д. сводится к переносу запятой в этой дроби соответственно на один, два, три и т.д. знака вправо. Например, 3,57∙10 = 35,7; 3,57∙100 = 357; 3,57∙1000 = 3570.

Аналогично, умножение десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д. сводится к переносу запятой в этой дроби соответственно на один, два три и т.д. знака влево. Например, 13,2∙0,1 = 1,32; 13,2∙0,01 = 0,132; 13,2∙0,001 =0,0132.

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо:

1) сначала выполнить деление целой части дроби на это число;

2) поставить в полученном частном запятую;

3) выполнить затем деление числа, полученного присоединением к остатку первого знака дроби, и т.д.

Например,





1

6,

4

5

7







-

1

4







2,

3

5




-

2

4



















2

1



















-

3

5



















3

5






















0











(деление "уголком").

Деление одной десятичной дроби на другую сводится к делению де­сятичной дроби на натуральное число. Надо только в делимом и делите­ле перенести запятую вправо на столько знаков, сколько их было в де­лителе после запятой. Напомним, что перенос в десятичной дроби запя­той вправо на один, два, три и т.д. знака означает умножение этой дроби на 10, 100, 1000 и т.д. При этом частное от деления дробей не изменится, так как делимое и делитель умножаются на одно и то же число. Например,

4,551 : 1,23 = 455,1 : 123 = 3,7; 743,6 : 1,43 = 74360 : 143 = 520,

так как

455,1 |123 74360 |143

-369 |3,7 -715 | 520

861 286

-861 -286

0 0

Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д. сводится к ее умно­жению на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., т.е. к переносу запятой в этой дроби соответственно на один, два, три и т.д. знака влево.
Например, 385,3 : 100 =3,853; 2,77 : 10= 0,277; 0,5 : 1000 =0,0005.

Деление десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д. сводится к пере­носу запятой в этой дроби соответственно на один, два, три и т.д. знака вправо. Например, 5,323 :0,01 = 5,323 100 = 532,3; 0,027 : 0,001 = 27; 0,5 : 0,001 = 500.
  1   2   3

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

1 Натуральные числа Числа, появившиеся в результате счета, называются натуральными числами. Натуральные числа обозначают с помощью десяти знаков цифр iconКомплексні числа не є числами в елементарному значенні цього слова,...
Комплексне число позначається символом а + bі, де а І b дійсні числа, які називаються відповідно дійсною I уявною частинами комплексного...

1 Натуральные числа Числа, появившиеся в результате счета, называются натуральными числами. Натуральные числа обозначают с помощью десяти знаков цифр iconПлан работы межшкольного факультатива
Простые и составные числа. Проверка простоты числа, разложение числа на два множителя

1 Натуральные числа Числа, появившиеся в результате счета, называются натуральными числами. Натуральные числа обозначают с помощью десяти знаков цифр iconСмкэс-2004 удк 519. 711/. 72 Концептуальные основы группы преобразования грея
Отличительная особенность кодов Грея состоит в том, что в двоичном пространстве (или в двоичной системе счисления) при переходе от...

1 Натуральные числа Числа, появившиеся в результате счета, называются натуральными числами. Натуральные числа обозначают с помощью десяти знаков цифр iconЗадача Клад 15 Задача Равновеликие прямоугольники. 17
Простые и составные числа. Проверка простоты числа, разложение числа на два множителя. 9

1 Натуральные числа Числа, появившиеся в результате счета, называются натуральными числами. Натуральные числа обозначают с помощью десяти знаков цифр iconЛицей №100 Лицейская олимпиада 2011 года
Задание. (3 балла). На уроке математики Косте, Игорю и Денису надо было найти, и от числа. Костя не брал числа 35 и 18. Игорь не...

1 Натуральные числа Числа, появившиеся в результате счета, называются натуральными числами. Натуральные числа обозначают с помощью десяти знаков цифр iconУроку з математики для 5 класу у віршованій формі, мета якого активізації...
Тема урока: обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Натуральные числа и действия с ними»

1 Натуральные числа Числа, появившиеся в результате счета, называются натуральными числами. Натуральные числа обозначают с помощью десяти знаков цифр iconРефлексные коды, достоинства, области применения на примере кодов...
В простом двоичном коде при переходе от изображения одного числа к изображению соседнего старшего или младшего числа может происходить...

1 Натуральные числа Числа, появившиеся в результате счета, называются натуральными числами. Натуральные числа обозначают с помощью десяти знаков цифр iconЗадача 2 к лабораторной работе №7
Написать программу, которая в зависимости от введенного значения числа (переменная Х), выводит на экран квадрат введенного числа,...

1 Натуральные числа Числа, появившиеся в результате счета, называются натуральными числами. Натуральные числа обозначают с помощью десяти знаков цифр iconПрограмма по математике для абитуриентов на базе 11 классов
Целые числа. Рациональные числа. Их сложение, вычитание, умножение, деление. Сравнение рациональных чисел

1 Натуральные числа Числа, появившиеся в результате счета, называются натуральными числами. Натуральные числа обозначают с помощью десяти знаков цифр iconПрограмма по математике для абитуриентов на базе 9 классов
Целые числа. Рациональные числа. Их сложение, вычитание, умножение, деление. Сравнение рациональных чисел

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
uchebilka.ru
Главная страница


<