Решение 1) Составим математическую модель задачи. Пусть искомый план выпуска, где план выпуска продукции вида Р1, план выпуска продукции вида Р2, план выпуска продукции вида Р3,

РЕШЕНИЕ 1) Составим математическую модель задачи. Пусть – искомый план выпуска, где – план выпуска продукции вида Р1, – план выпуска продукции вида Р2, – план выпуска продукции вида Р3, – план выпуска продукции вида Р4. Ограничения на сырьевые ресурсы предприятия (первого, второго, третьего и четвёртого видов) дают условия , , , . Прибыль предприятия составит . Таким образом, мы пришли к задаче линейного программирования: при ограничениях: . 2) Приведём условие к каноническому виду для решения симплекс-методом. Для этого добавим неотрицательные переменные и минимизируем целевую функцию: , . Экономический смысл переменных – избыток ресурсов первого, второго, третьего и четвёртого видов при оптимальном плане производства. 3) Решаем задачу симплекс-методом. ^ Нулевая итераци��. Заполним начальную таблицу. N ит. Хб. Сб. -2 -3 -5 -3 0 0 0 0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 0 X5 0 2,5 0,5 1,5 0,5 1 0 0 0 400 800/3 X6 0 0,5 1,5 0,5 1 0 1 0 0 150 300 X7 0 0 0 0 5 0 0 1 0 400 X8 0 5 0 2,5 1 0 0 0 1 500 200 2 3 5 3 0 0 0 0 0 Начальным опорным планом (решением) берём вектор . Все оценки свободных переменных . Это означает, что данное решение не является оптимальным. Поскольку во всех столбцах с положительными оценками есть положительные элементы, то нельзя утверждать, что задача не имеет оптимального решения. Таким образом, необходимым и возможным есть переход к новой симплекс-таблице. ^ Первая итераци��. Для этого среди положительных оценок выберем наибольшую, это . Она относится к третьему столбцу, который является разрешающим. Вычисляем элементы последнего столбца по формуле . Среди положительных значений наименьшим является в четвёртой строке (разрешающая строка). Таким образом, элемент в рамке является разрешающим. Это означает, что переменную мы выводим из базиса, а вместо неё вводим . По стандартным симплекс-формулам пересчитываем таблицу. N ит. Хб. Сб. -2 -3 -5 -3 0 0 0 0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X5 0 -0,5 0,5 0 -0,1 1 0 0 -0,6 20 40 X6 0 -0,5 1,5 0 0,8 0 1 0 -0,2 50 100/3 X7 0 0 0 0 5 0 0 1 0 400 X3 -5 2 0 1 0,4 0 0 0 2/5 200 -8 3 0 1 0 0 0 -2 -1000 Существуют оценки свободных переменных . Это означает, что данное решение не является оптимальным. Поскольку во всех столбцах с положительными оценками (второй и четвёртый) есть положительные элементы, то нельзя утверждать, что задача не имеет оптимального решения. Таким образом, необходимым и возможным есть переход к новой симплекс-таблице. ^ Вторая итераци��. Для этого среди положительных оценок выберем наибольшую, это . Она относится ко второму столбцу, который является разрешающим. Вычисляем элементы последнего столбца по формуле . Среди положительных значений наименьшим является во второй строке (разрешающая строка). Таким образом, элемент в рамке является разрешающим. Это означает, что переменную мы выводим из базиса, а вместо неё вводим . По стандартным симплекс-формулам пересчитываем таблицу. N ит. Хб. Сб. -2 -3 -5 -3 0 0 0 0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 2 X5 0 -1/3 0 0 -11/30 1 -1/3 0 -8/15 10/3 X2 -3 -1/3 1 0 8/15 0 2/3 0 -2/15 100/3 X7 0 0 0 0 5 0 0 1 0 400 X3 -5 2 0 1 0,4 0 0 0 2/5 200 -7 0 0 -0,6 0 -2 0 -8/5 -1100 Видим, что все оценки свободных переменных неположительны. Таким образом, план является оптимальным. Поскольку переменные были вспомогательными, то решением задачи является , т.е. , , , . Целевая функция при этих значениях достигает минимума , или . 4) При оптимальном плане производства наблюдается избыток сырья первого и третьего вида, поскольку в последней симплекс-таблице нулевые оценки в индексной строке имеют переменные Х5 иХ7. Останется неизрасходованное сырьё первого вида в объёме единиц и третьего вида в объёме 400 единиц. 5) Построим двойственную задачу. Для этого исходную задачу приведём к следующему виду: , . Матрица системы: , столбец свободных членов , строка коэффициентов целевой функции . При построении двойственной задачи матрица транспонируется, столбец свободных членов и строка коэффициентов меняются местами, для целевой функции при этом ищется максимум. Двойственная задача: , Поскольку исходная задача имеет решение, то и двойственная задача тоже имеет решение, причём оптимальные значения целевых функций одинаковы: (по первой теореме двойственности). Это означает, что . Найдём решение двойственной задачи, используя решение исходной. По второй теореме двойственности оптимальные решения исходной и двойственной задачи удовлетворяют условиям дополняющей нежёсткости. Отличным от нуля компонентам решения Х отвечают неравенства двойственной задачи, которые достигаются. Нулевым компонентам решения Х отвечают строгие неравенства двойственной задачи. У нас , , поэтому второе и третье неравенства двойственной задачи достигаются: Поскольку , ,то первое и четвёртое неравенства двойственной задачи строгие: Таким образом, мы получили: Решая эту систему, получаем решение двойственной задачи: При этом . Дадим экономическую интерпретацию полученных результатов. В последней симплексной таблице рамкой обведена двойственная задача. N ит. Хб. Сб. -2 -3 -5 -3 0 0 0 0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 2 X5 0 -1/3 0 0 -11/30 1 -1/3 0 -8/15 10/3 X2 -3 -1/3 1 0 8/15 0 2/3 0 -2/15 100/3 X7 0 0 0 0 5 0 0 1 0 400 X3 -5 2 0 1 0,4 0 0 0 2/5 200 -7 0 0 -0,6 0 -2 0 -8/5 -1100 Двойственные оценки (с обратным знаком) сырья первого, второго, третьего и четвёртого типов находятся в индексной строке: , , , Вторая и четвёртая оценки положительны, это означает, что второй и четвёртый вид сырья при оптимальном плане производства используются полностью. Первая и третья оценка нулевые, это значит, что эти виды сырья расходуются не полностью. Увеличение запасов сырья второго вида на 1единицу приведёт к тому, что появится возможность составить новый оптимальный план, по которому доход увеличится на 2 руб. Этот эффект будет получен за счёт увеличения выпуска изделия Р2 на ед. Остатки сырья первого типа при этом сократятся на ед. Увеличение запасов сырья четвёртого вида на 1 ед. приведёт к тому, что появится возможность составить новый оптимальный план, по которому доход увеличится на руб. Этот эффект будет получен за счёт увеличения выпуска изделия Р3 на ед. и одновременного сокращения выпуска изделия Р2 на ед. Остатки сырья первого типа при этом уменьшатся на ед. За счёт увеличения запасов сырья первого или третьего типа на 1 ед. увеличить выручку не удастся. Это приведёт лишь к увеличению остатков сырья первого или третьего типа на 1 кг. На практике запасы сырья надо менять так, чтобы добавленная продукция составляла целое число, т.е. в данной задаче изменение запасов сырья должно быть кратно 15 ед.

Похожие:

	1: Элементы линейной алгебры Предприятие специализируется по выпуску продукции трех видов P1, P2, и P3; при этом использует сырье трех типов: S1, S2 и норма и...		Рисунок 4 Отверстие длдя выпуска Диаметры выпускного и переливного отверстий для установки выпуска и перелива водосливной арматуры на приборах всех типов должны быть...
	Предприятие может выпускать n наименований изделий (j = ). Для этого... Известна норма затрат каждого вида ресурса на единицу каждого вида изделия aij (I =; j = ). Известна также величина прибыли от реализации...		Название организации Частота выпуска новой продукции (вывода новых услуг) и/или обновления существующих линеек продукции
	Планирование выпуска продукции в условиях рынка. Разработка ассортиментной политики предприятия Разработка оптимального состава выпускаемой продукции по номенклатуре изделий предполагает определение состава наименований изделий...		Тема доклада Не лучше обстоят дела и в других странах СНГ. Например, в России уровень дефектности производства продукции в 1000 раз выше чем среднеевропейский....
	Анализ показателей выпуска продукции Основной задачей промышленных пред­приятий является наиболее полное обеспече­ние спроса населения высококачественной продукцией....		Задача1 (задача оптимального использования ресурсов) Составить экономическую модель задачи оптимального использования ресурсов (4 вида ресурсов, 2 вида продукции)
	Задача1 (задача оптимального использования ресурсов) Составить экономическую модель задачи оптимального использования ресурсов (4 вида ресурсов, 2 вида продукции)		Задача1 (задача оптимального использования ресурсов) Составить экономическую модель задачи оптимального использования ресурсов (4 вида ресурсов, 2 вида продукции)