Нестандартные методы решения показательных уравнений

Тема урока: Нестандартные методы решения показательных уравнений Профильный уровень. Цель урока: знакомство с нестандартными методами решения показательных уравнений; создание условий для развития и самореализации учащихся; удовлетворение запросов и потребностей школьника; усвоение продуктивных знаний, умений; развитие потребности пополнять знания на протяжении всей жизни; способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств и культуры мышления, характерных для математической деятельности; воспитание интереса к математическим исследованиям. Обеспечение: компьютер, презентация по теме, сообщение учащихся: Использование области знаний и области определения при решении показательных уравнений. Использование монотонности функций при решении показательных уравнений. Решение показательных уравнений, содержащих взаимно-обратные функции. Решение однородных показательных уравнений. Решение уравнений, содержащих четные функции. Использование ограниченности функций при решении показательных уравнений. Тип урока: Форма урока: урок – семинар Ход урока. Актуализация опорных знаний. Учитель. Часто в процессе решения уравнений невозможно или нецелесообразно пользоваться стандартными методами. Тогда можно воспользоваться нестандартными приемами исследовательского характера. Часто при этом используют свойства функций. Так как мы сегодня будем решать показательные уравнения, то полезно повторить определение и свойства показательной функции: Какая функция называется показательной? () Перечислите ее свойства при Перечислите их при Что такое D(f)? E(f)? Какая функция называется монотонной (возрастающей, убывающей)? Какая функция называется четной (нечетной)? Иногда нестандартный подход приводит к неожиданно простому и оригинальному и, естественно, более рациональному способу решения. Работая в группах по определенной теме, вы познакомитесь с некоторыми нестандартными приемами решения показательных уравнений. Как показала подготовка к уроку, работа вызвала у многих из вас интерес к математическим исследованиям, расширила ваши познания в решении показательных уравнений. Каждая группа подготовила отчет о проделанной работе и сейчас мы выслушаем сообщения учащихся, обменяемся приобретенным опытом. Сообщение учащихся. Решение уравнений. Применение области определения и области значений функции. Рассмотрим уравнение вида и – области значений функций и . Если области значений имеют общие элементы, то уравнение может иметь корни, если же , то уравнение корней не имеет. Аналогично для и . Пример 1. Следовательно, – корень уравнения. Пример 2. Следовательно . Поэтому уравнение корней не имеет. 2. Использование свойств монотонных функций. Если функция возрастает (убывает) и , то уравнение имеет 1 корень. Пример 1. – возрастает как сумма возрастающих функций на ; , следовательно, уравнение имеет 1 корень. Проверкой убеждаемся, что это 2: – корень уравнения. Пример 2. Решить уравнение возрастает как произведение возрастающих функций на ; Значит, уравнение имеет 1 корень. – корень уравнения. 3. Решение уравнений, содержащих четные функции Чтобы найти решения уравнения где функция четная (или нечетная), достаточно решить уравнение при и потом объединить полученные корни с противоположными числами. Проверке подлежит один из противоположных корней. Пример 1. и – четная как разность четных функций: и Решим это уравнение при Имеем: 0 – корнем уравнения не является. Присоединим противоположные числа: и . Ответ: ; ; . Пример 2. – четная: , так как Найдем корни при По теореме Виета 1) 2) Учитывая четность функций , присоединим к данным корням Ответ: ; . 4. Использование ограниченности функций. Ограниченность функций и при решении уравнения в некоторых случаях имеет определяющую роль: Решения системы будут решениями уравнения корней не имеет Пример 1. Следовательно, данное уравнение равносильно системе решив первое уравнение, получим , , Проверкой убеждаемся, что не является корнем второго уравнения, а – его корень. Следовательно, решение системы, а значит, и данного уравнения Ответ: Пример 2. Решить уравнение следовательно, уравнение корней не имеет. 5. Решение показательных уравнений, содержащих взаимные функции. Это уравнение вида Решаются заменой , где , которая приводит к дробно-рациональному уравнению. При решении иногда необходимо помнить верно неравенство . Тогда легко сделать вывод относительно уравнений: и т.д. Очевидно, что корней они не имеют. Особый интерес представляют уравнения, которые содержат показательные функций с сопряженными иррациональными основаниями: Рассмотрим примеры: № 1. № 2. № 3. № 4. № 5. Легко заметить, что основания показательных функций, входящих в уравнения, являются обратными числами. Поэтому, заменив первое слагаемое на t, а второе на , снова получим дробнорациональное уравнения. Покажет это на примере. Пример 1. Решение. Пусть тогда . Имеем 2. Ответ: 6. Решение однородных показательных уравнений. Уравнения вида , где сумма показательных функций с одним и тем же показателем, умноженных на какие либо коэффициенты, например: № 1. № 2. № 3. и т.п. Пример 1. , оно не имеет корней, так как при любом x Пример 2. Т.к. то Получим 1. 2. Ответ: Пример 3. Корней нет, т.к. Подведение итогов. Вы прослушали выступление одноклассников. Познакомились с довольно интересным и необычным подходом к решению показательных уравнений; более того, сами проявили активное участие в решении уравнений. Сейчас мы с вами оценим выступления каждого отвечающего тайным голосованием. У вас список выступавших. Ваша задача оценить каждого. Кроме того в этот список можно внести фамилии самых активных, на ваш взгляд участников семинара. Предварительные (мои) оценки участников семинара таковы… Окончательная оценка будет выставлена с учетом ваших поправок и пожеланий. Следующий урок это урок – практикум по данной теме. Желающие углубить свои знания по математике, могут подготовиться к нему, решив следующие задания.

Похожие:

	Урок по алгебре в 10 классе на тему «Решение показательных уравнений,... Цель : рассмотреть способы решения показательных уравнений, неравенств и их систем		Практическая работа № Тема : Нахождение решений уравнений и систем уравнений Цель: Освоить графический метод для решения уравнений и систем уравнений, научиться решать уравнения с одним неизвестным с помощью...
	Решение нелинейных уравнений с помощью функции Методы решения нелинейных уравнений. Метод бисекции (деления отрезка пополам) (л1)		Методы решения Можно выделить три метода решения обыкновенных дифференциальных уравнений: точные, приближенные и численные
	Конспект урока по алгебре Тема: «Графический метод решения систем уравнений с двумя переменными» Образовательные: – повторение понятий: функция, график функции, решение системы уравнений с двумя переменными, закрепление и усовершенствование...		• Решение нелинейных уравнений Пакет оптимизации (Optimization Toolbox) — это библиотека функ­ций, расширяющих возможности системы matlab по численным вычислениям...
	Законам органического роста подчиняется Слайд 1 Показательная функция. “Функционально графические методы решения уравнений и неравенств”		5. Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса Система линейных уравнений. Определитель решения системы. Исследование линейной системы 2-ух уравнений с 2-мя неизвестными
	Институт проблем регистрации информации нан украины Рассмотрены алгоритмы решения некоторых типов неоднородных линейных дифференциальных уравнений в коммутативных гиперкомплексных числовых...		Алгоритм Гаусса для решения систем линейных уравнений Здесь описан алгоритм решения системы линейных уравнений с помощью так называемого метода Гаусса. Программу вы можете скачать разделе...