Конспект лекций по дисциплине “Системы моделирования и обработки данных” для студентов специальности
Скачать 0.74 Mb.
|
^ :  Вы знакомы с понятием среднеквадратичного отклонения, связанным со вторым моментом:  На практике принято использовать не сам второй момент, а нормированную его величину R2 = m2/σ2. Дисперсия характеризует величину разброса экспериментальных данных относительно центра тяжести m1. Таким образом, по величине m2 можно судить о втором параметре геометрии распределения (см. рис. 3.2).
Третий центральный момент характеризует асимметрию (или скошенность) (см. рис. 3.3) вычисляется так:  На практике принято использовать не сам второй момент, а нормированную его величину R3 = m3/σ3.
Определяя знак R3, можно определить, есть ли асимметрия у распределения (см. рис. 3), а если есть (R3 ≠ 0), то в какую сторону. ^ (см. рис. 3.4) характеризует эксцесс (или островершинность) и вычисляется так:  Нормированный момент равен: R4 = m4/σ4.
Очень важным является выяснение того, на какое распределение более всего походит полученное экспериментальное распределение случайной величины. Оценка степени совпадения эмпирического закона распределения с теоретическим проводится в два этапа: определяют параметры экспериментального распределения и далее производят оценку по Колмогорову соответствия экспериментального распределения выбранному теоретическому. ^ Крайне важным является вопрос, сколько экспериментов следует сделать, чтобы можно было доверять снятым характеристикам. Если экспериментов недостаточно, то характеристика недостоверна. Обычно исследователь задает доверительную вероятность, то есть вероятность, с которой он готов доверять снятым характеристикам. Чем больше будет задана доверительная вероятность, тем больше экспериментов потребуется сделать. Итак, сейчас наша оценка будет основываться на центральной предельной теореме. ЦПТ утверждает, что значения вычисленной нами статистической характеристики будут распределены по нормальному закону, ni — число i-х исходов значения статистической характеристики в n экспериментах, pi = ni/n — частота i-го исхода. Если n –> ∞, то p –> P (частота p стремится к теоретической вероятности P) и эмпирические характеристики будут стремиться к теоретическим (см. рис. 7). Итак, согласно ЦПТ p будет распределена по нормальному закону c математическим ожиданием m и среднеквадратичным отклонением σ. Обозначим как ^ доверительную вероятность, то есть вероятность того, что частота p отличается от вероятности P не более, чем на ε. Тогда по теореме Бернулли:  Интервал ε называется доверительным с вероятностью Q. Смысл его в том, что: 1) с вероятностью Q все значения СВ попадут в этот интервал, или 2) в среднем Q всех значений СВ попадут в ДИ. Ф — интеграл от функции нормального закона распределения, интегральная функция Лапласа.  Выводы:
Необходимое количество статистических экспериментов n зависит от заданной точности (Q, ε) и характеристик процесса (частости p и разброса m2). Повышение требований по точности, плохие характеристики существенно повышают затраты на исследование модели, увеличивая число экспериментов. ^ Оценка качества показывает, насколько теоретические вычисления по построенной модели отклоняются от экспериментальных данных. Наличие связи двух переменных называется корреляцией. ^ Рассмотрим двумерную СВ. Для нее важным понятием является центральный момент порядка kl.  Очевидно, что  . Центральный момент порядка 11 называется корреляционным моментом двумерной СВ  . Величина  называется коэффициентом корреляции и играет важную роль в стат.обработке данных. Пусть, например, точечные эксп.данные аппроксимированы функцией. При каждом значении аргумента (рассм. Ф1П) имеем эксп. и теор. значения. Т.е. это можно рассм. как двумерную СВ. Коэф.крорреляции имеет то важное свойство, что в случае, когда обе переменные принимают при одном аргументе одно и то же значение, то  . Чем меньше различаются значения переменных при одном значении аргумента, тем ближе коэф.корреляции к 1. Чем больше различие, тем он ближе к нулю. Таким образом, коэф.корреляции – количественная мера точности приближения эксп.данных.  Пусть при х = 0, 1, 2: y = 0, 2, 4. Зависимость y=2x при заданных значениях х обесп. коэф.корреляции 1 с исх.данными. Пусть при х = 0, 1, 2: y = 0, 2, 6. По МНК находим, что y=3x-0,33.  Пусть при х = 0, 1, 2: y = 0, 2, 1. По МНК находим, что y=0,5x+0,5.  Коэф.корреляции можно использовать и при более чем одном аргументе. В этом случае ряд аргументов именяется на один обобщенный аргумент. ^  При r  1 имеет место тесная корреляция. При r0 процессы взаимно ортогональны, корреляции нет, процессы не связаны друг с другом. Например, для синуса и косинуса r0. Если r-1, то процессы связаны, но запаздывают друг относительно друга, т.е. процессы протекают в противофазе (синус и смещенный на пол-оборота синус). ^ Исследуется сила связи между прошлым и настоящим одного процесса. Для этого сигнал сравнивают с самим собой, сдвинутым во времени, и вычисляют коэффициент корреляции двух динамических рядов (см. п.2). ^ Есть ли периодичность в динамическом ряду, можно выяснить, проделав прямое преобразование Фурье и рассмотрев спектр исследуемого сигнала. Это будем рассматривать позже. ^ Формула  где K — это коэффициент ассоциаций, позволяет выяснить, имеется ли какая-либо связь между двумя признаками. Если данный коэффициент близок к единице, то в этом случае можно говорить о существовании такой связи. Пример. Попытаемся с помощью данной формулы выяснить: есть ли связь между ростом и весом человека? Пусть в нашем распоряжении имеются данные о весе и росте 500 человек:
По формуле: K = (304 · 67 – 17 · 112)/(304 · 67 + 17 · 112) = 0,83. Так как величина 0.83 близка к 1, то можно говорить о существовании определенной связи между весом и ростом. ^ На предыдущих лекциях мы рассматривали статические модели, то есть случай, когда один эксперимент не зависит от другого. Можно сказать, что система не обладала памятью. То есть, в какой бы момент времени мы ни измеряли значение выходной величины, при одинаковом значении входного сигнала результат был один и тот же. Если каждый раз значение на выходе, при одном и том же входном значении, разное, то есть зависит от того, в какой последовательности подавались входные значения, то мы имеем дело с динамической системой. Динамические системы, в отличие от статических, помнят свое прошлое состояние, то есть обладают памятью. Поэтому в записи модели динамических систем присутствует производная, связывающая прошлое состояние системы с настоящим. Чем большей памятью обладает система, тем больше состояний из прошлого влияют на настоящее, тем бóльшая степень старшей производной используется в записи модели. На входе и выходе черного ящика (рис. 5.1) имеются зависимости параметров X и Y от времени t. Задача состоит в том, чтобы адекватно определить черный ящик.
Графики зависимостей X(t) и Y(t) могут быть самыми разными, например, такими, как показано на рис. 5.2.
Поскольку моделирование систем подразумевает численные расчеты на компьютере, то аналоговый сигнал переводят в дискретный вид. Для этого с определенной частотой исходный сигнал дискретизируют, как показано на рис. 5.3.
По этим данным строят таблицу отсчетов (Δt = 0,1).
Совокупность значений переменной в таблице, упорядоченных во времени, часто называют динамическим рядом. Естественно, часть информации при такой операции теряется. Чем меньше расстояние между отсчетами, чем больше частота дискретизации, тем меньше потери информации. Частоту дискретизации принимают такой, чтобы не потерять высокочастотные составляющие в сигнале, отдельные пики и т.п. Любая динамическая система характеризуется рядом параметров. Обычно (чаще всего) параметрами называют коэффициенты при производных (первой, второй и т. д.) в записи модели. Чем большая степень старшей производной присутствует в записи модели, тем больший порядок динамической системы, тем глубже ее память, и тем больше коэффициентов (параметров) надо определить, чтобы идентифицировать систему. Как определить параметры динамической системы? Сначала нужно оценить порядок динамической системы: он совпадает со степенью наибольшей из производных Y по отношению к t. Допустим, что на вход системы, до этого находившейся в нулевых начальных условиях, подали единичный сигнал X(t), как показано на рис. 5.4.
Поясним смысл графика. При нулевых начальных условиях, если входной сигнал отсутствует, выходной сигнал равен нулю, и говорят, что система находится в покое. Если подать на вход единичный (пробный) сигнал и удерживать его на входе достаточно долго, то система на выходе попытается подчиниться ему, начнет отклоняться от нулевого состояния. Ожидается, что система на выходе должна дойти до значения kx, то есть увеличить сигнал x в k раз (k — коэффициент усиления входного сигнала). Но, как видно, происходит это не сразу, а с некоторой задержкой, сигнал на выходе нарастает постепенно, инерционно. Насколько инерционно реагирует система, зависит от параметра T. Система достигнет значения kx на выходе и будет держать этот сигнал, пока держится на входе единичный сигнал. Переход от нуля до kx происходит во времени. Переход — процесс динамический, то есть в сигнале присутствует изменение, которое описывается производной, и выход оказывается меньше входа на некоторую величину f: y = kx – f(dy/dt). Когда система достигнет на выходе значения kx, то изменений не будет, значение производной станет равной нулю: y = kx. y = kx — частный случай инерционного звена. Если на выходе будет наблюдаться экспоненциальный сигнал, то система будет называться системой первого порядка (или звеном первого порядка). Для ее описания достаточно одной производной (а в решении модели будет присутствовать один интеграл):  У такой системы два параметра — T и k. Заметим, что один интеграл у линейных динамических систем всегда «порождает» одну экспоненту, двойной интеграл — сумму двух экспонент, и так далее. Чтобы определить, является ли кривая экспонентой, в каждой ее точке проводится касательная до пересечения с линией установившегося уровня (на рис. 5.4 это линия y(t) = k); в случае, если кривая является экспонентой, величина T в любой точке будет постоянной. Определить ^ , используя график, можно еще так. Проведите линию, параллельную оси t на уровне 0,95k. Из точки, где эта линия пересечет экспоненту, опустите перпендикуляр на ось t. Отрезок от 0 до точки пересечения перпендикуляра с осью t будет равен 3T. T характеризует инерционность системы (память). При малой величине T система слабо зависит от предыстории и вход мгновенно заставляет измениться выход. При большом значении T система медленно реагирует на входной сигнал, а при очень большом значении T система выдает неизменный выходной сигнал, практически не реагируя на входные воздействия. Коэффициент k характеризует способность системы к усилению (при k < 1 — к ослаблению) уровня входного сигнала. Чтобы определить коэффициент k на графике, достаточно дождаться успокоения сигнала на выходе системы и вычислить отношение уровня выходного сигнала к уровню входного. Математически это означает, что все слагаемые, содержащие производные, равны нулю (система успокоилась, движения нет), а оставшееся слагаемое Y = k · X определяет значение k. Звено первого порядка Звено первого порядка обладает двумя параметрами: инерционностью ^ и коэффициентом усиления k = Y(t = ∞)/X. Чем больше производных учитывается в записи модели, тем со звеном большего порядка мы имеем дело, тем больше коэффициентов при производных следует определить. Введем понятие передаточной функции как модели динамической системы. По определению передаточная функция — это отношение выхода ко входу: W = Y/X. Передаточная функция звена первого порядка имеет вид: W = k/(Tp + 1), где «p» — символ дифференцирования, тождественно равный «d/dt». Символ «p» также называется алгебраизованным оператором дифференцирования. Тогда, используя определение передаточной функции, имеем: Y/X = k/(Tp + 1). Далее получим: (Tp + 1) Y = k X, или T dY/dt + Y = k X, Или, переходя к приближенному представлению производной, T ΔY/Δt + Y = k X. В разностном виде уравнение можно записать как T (Yi + 1 – Yi) + Yi Δt = k Xi Δt. Или, выразив настоящее через прошедшее: Yi + 1 = A Xi + B Yi. Здесь A = k Δt/T и B = 1 – Δt/T — весовые коэффициенты. A указывает на вес компоненты X, определяющей влияние внешнего мира на систему, B указывает на вес компоненты Y, определяющей память системы, влияние на ее поведение истории. В частности, если B = 0, то Yi + 1 = А Xi, и мы имеем дело с безынерционной системой Y = k · X, мгновенно реагирующей на входной сигнал и увеличивающей его в k раз. Если коэффициент B = 0.5, то есть 1 – Δt/T = 0.5 или Δt/T = 0.5, то получаем, что коэффициент A = k ·Δt/T = k 0.5 и, следовательно, Yi + 1 = 0.5 k Xi + 0.5 Yi. При постоянном (единичном) входном сигнале X будет получен график, как на рис. 5.5.
Экспонента, изображенная на графике, при большом n (в пределе n = ∞) стремится к значению входного (единичного) сигнала X, умноженного на коэффициент усиления k, что подтверждается расчетом: Yn + 1 = 0.5 k Xn + 0.5 Yn = 0.5 k Xn + 0.5 (0.5 k Xn – 1 + 0.5 Yn – 1) = = … = (0.51 + 0.52 + … + 0.5n + 1) k· X0 + 0.5n + 1 ·Y0 = 1 k X0. Напомним, что выражение (0.51 + 0.52 + … + 0.5n + 1) является геометрической прогрессией, сумма которой при n = ∞ равна 1. А стоящее при Y0 выражение 0.5n + 1 обращается в 0 при n = ∞. Если еще усилить влияние прошлого (B = 1), то система начнет интегрировать саму себя (выход подан на вход системы), добавляя все время входной сигнал, что соответствует экспоненциальному неограниченному росту выходного сигнала: Yi + 1 = А Xi + Yi. По смыслу это соответствует положительной обратной связи. При B = –1 имеем модель: Yi + 1 = А Xi – Yi, по смыслу соответствующую отрицательной обратной связи. Звено второго порядка (колебательное звено) Такие звенья описываются дифференциальным уравнением вида:  Если на вход звена подать единичную функцию Хэвисайда от времени 1[t], при нулевых начальных условиях системы, то реакция на выходе будет называться переходной функцией (или переходной характеристикой), которую часто обозначают как h(t). Сигнал 1[t] — это, в некотором смысле, эталонный испытательный сигнал. Существуют и другие эталонные испытательные сигналы. Например, бесконечный импульс нулевой длины (дельта-функция Дирака), гармонический сигнал, периодические прямоугольные импульсы. Преобразуем по Лапласу это уравнение: a0 p2 Y(p) + a1 p Y(p) + a2 Y(p) = b U(p) или, иначе: (a0 p2 + a1 p + a2) Y(p) = b U(p). Определим передаточную функцию звена:  Если записать уравнение без входного воздействия (нулевые входные воздействия U = 0) и сократить Y, то есть: T2p2 + 2ξTp + 1 = 0, то такое уравнение будет называться характеристическим, поскольку характеризует исключительно внутренние свойства звена. Обратите внимание, что в записи звена содержатся три параметра: 
В зависимости от величины ξ звенья второго порядка классифицируются по видам:
Апериодическое звено 2-го порядка (ξ≥1) Типичное поведение звена с такими параметрами показано на рис. 5.6. Апериодическое – так как колебательный режим не устанавливается (период колебаний равен бесконечности).
Колебательное звено 2-го порядка (0<ξ<1) В поведении звена присутствует колебательная составляющая. Именно за эту особенность поведения звено получило название колебательного (см. рис. 5.7 и рис. 5.8).
Из графиков видно, что с ростом ξ колебательность звена уменьшается, исчезая при ξ≥1. Консервативное звено 2-го порядка (ξ=0) Поведением звена являются незатухающие колебания (ξ = 0), см. рис. 5.9.
^ ФУРЬЕ-ПРЕДСТАВЛЕНИЯ (МОДЕЛЬ СИГНАЛА) Этот способ моделирования динамических систем исходит из того, что в любом сигнале присутствуют гармонические составляющие - гармоники. Гармоникой называется синусоида. Любая гармоника характеризуется тремя параметрами: 1) амплитуда; 2) частота; 3) начальная фаза. Например, гармоника  имеет амплитуду 2, циклическую частоту 3, начальную фазу 0,1. Начальная фаза зависит от того, в какой форме представить гармонику – синуса или косинуса. Синус смещен относительно косинуса на  , т.е.  . Поэтому та же гармоника может быть записана так:  . Непосредственным построением графиков легко убедиться, что это одна и та же функция. Однако амплитуда и частота не зависят от формы записи гармоники (т.к. синус и косинус отличаются только фазой). Амплитуда характеризует максимальное отклонение от нуля, циклическая частота – сколько периодов укладывается в 2π секунд (не следует путать с технической частотой, показывающей, сколько периодов укладывается в одну секунду). Циклическая частота измеряется в рад/с, техническая – Гц. В данном случае циклическая частота = 3, т.к. в 2π секунд укладывается 3 периода. Элементарная синусоида  имеет циклическую частоту 1, т.к. за 2π укладывается ровно 1 период. В зависимости от частоты гармоники нумеруют (первая, вторая и так далее). Первая гармоника имеет наименьшую частоту (наибольший период). Вторая – в 2 раза бóльшую частоту, третья – в 3 раза бóльшую, и т.д. Как правило амплитуды гармоник убывают с ростом частоты. Сумма всех гармоник составляет модель сигнала. Пусть, например, в некотором сигнале присутствует сумма трех гармоник: 3cos(t) + 2cos(3t) + 0,5 cos(5t). Это значит, что в сигнале присутствует первая гармоника с амплитудой 3, третья гармоника с амплитудой 2, пятая гармоника с амплитудой 0,5. Сам суммарный сигнал выглядит так, как показано на рис. 6.1.
Спектр этого сигнала показан на рис. 6.2. Спектр – это распределение каких-то свойств по показателям. Ясно, что в нашем примере больший вес (амплитуду) в сигнале имеет первая гармоника, наименьший вес имеет пятая гармоника.
Любой сигнал, сколь сложен бы он ни был, может быть представлен суммой гармоник. Более простой сигнал представляется меньшим числом гармоник, более сложный — бóльшим. Быстро меняющийся сигнал, содержащий резкие пики, имеет в своем составе гармоники высоких порядков. Чем больше гармоник представлено в модели сигнала, тем модель отражает реальный сигнал. Пусть задан некий сигнал X(t) (рис. 6.3).
Определимся со временем рассмотрения сигнала: если сигнал периодический, то время рассмотрения равно периоду p сигнала; если сигнал непериодический, то периодом сигнала считается все время его рассмотрения. В случае периодического сигнала выполняют его преобразование к ряду Фурье по след.формулам:
Ai и Bi — это амплитуды соответствующих гармоник, присутствующих в сигнале; i — номер гармоники. Формулы их расчета называются формулами Эйлера-Фурье, а сам ряд – рядом Фурье. Значение 2π ·i/p = ωi — это циклическая частота i-ой гармоники. Частота i-й гармоники связана с частотой первой гармоники простым соотношением: ωi = i·ω1. Отметим важную особенность данного способа представления: вместо всего сигнала во всех его подробностях достаточно хранить вектор чисел, представляющих амплитуды составляющих его гармоник: (A0, A1, A2, …, B1, B2, …). То есть эти числа полностью характеризуют исходный сигнал, так как по ним периодический сигнал можно полностью восстановить рядом Фурье:  А0/2 – это среднеинтегральное значение функции сигнала. По смыслу это среднее значение, но так как оно рассчитано в течение всего периода, то называется среднеинтегральным. Например, среднеинтегральное значение функции равно 0. Ряд Фурье можно записать более сжато:  ,где  - начальная фаза п-й гармоники, - полная амплитуда п-й гармоники,Знак «+» берется при  , знак «-» берется при  . Это представление более удобно, т.к. амплитуда  характеризует не синус и косинус по отдельности, а полную амплитуду гармоники. Амплитуды используются при обработке сигнала в модели динамической системы. Изображение амплитуд на графике в зависимости от номера гармоники (частоты) называется спектром сигнала (рис. 6.4). Спектр показывает, насколько присутствует в сигнале соответствующая составляющая. Спектр — это частотная характеристика сигнала.
Здесь сигнал представлен в частотной области. Всегда по формулам Эйлера-Фурье можно перейти из временнóй области в частотную, а по формуле ряда Фурье – из частотной области во временнýю. В какой области (частотной или временной) работать с сигналом в отдельный момент, решают из соображений удобства, наглядности и экономии вычислений. Заметим, что емкие с точки зрения вычислений операции интегрирования и дифференцирования сигнала во временной области заменяются на операции алгебраического сложения и умножения в частотной области, что с вычислительной точки зрения реализуется намного точнее и быстрее. Система чисел Сп и φп является полной характеристикой сигнала (рис. 6.5). С - это амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), φ — фазо-частотная характеристика (ФЧХ).
В случае с системой «S и φ» обратное преобразование Фурье имеет вид:  Поясним на рис. 6.6 и рис. 6.7 смысл коэффициентов A и B разных гармоник. Эти коэффициенты — амплитуды синусов и косинусов соответствующих частот (гармоник). Во временной области графически они соответствуют размаху гармонических колебаний (рис. 6 и рис. 7); в частотной — высоте спектральной полоски на соответствующей частоте (рис. 4).
Смысл чисел Сi и φi разъяснен на рис. 8.
|
Похожие:
 | Конспект лекций предназначен для самостоятельного изучения студентами теоретической части курса “Физико-механические методы обработки”... | | Конспект лекций по дисциплине «Автоматизированный электропривод» (для студентов 4 курса всех форм обучения специальности 090603 –... |
| Конспект лекций предназначен для самостоятельного изучения студентами теоретической части курса “ Статистика в машиностроении ” (для... | | Опорный конспект лекций по дисциплине «Деньги и кредит» для студентов специальности 03050801. “Финансы и кредит” и специальности... |
| | Методические указания к лабораторным работам по курсу «Системы моделирования и обработки данных» (для студентов всех форм обучения... | |
| Конспект лекций в схемах по дисциплине «Управление персоналом» (для студентов 5 курса направления подготовки 0502 “Менеджмент” специальности... | | Опорный конспект лекций и вопросов для самостоятельного изучения по дисциплине «Экономика предприятия» для студентов специальности... |
| Конспект лекций по дисциплине «Организация производства и маркетинг» для студентов 3 курса специальностей 090600 – «Электротехнические... | | Министерство образования и науки украины восточноукраинский государственный университеТ |