Конспект лекций по дисциплине “Системы моделирования и обработки данных” для студентов специальности

^ 8. УТОЧНЕННЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА Метод Эйлера для расчета дифференциальных уравнений имеет небольшую точность расчета. Как было показано ранее, точность расчета у него зависит от размера шага линейно, зависимость точности от шага — первой степени. То есть, чтобы увеличить точность в 10 раз, надо уменьшить шаг в 10 раз. На практике интересуются более совершенными методами. Вопрос стоит так: можно ли увеличить точность на порядок, но при этом сэкономить на количестве вычислений? Да, такие методы есть. Модифицированный метод Эйлера имеет точность второго порядка. В методе Эйлера производная берется в начале шага и по ней прогнозируется движение системы на конец шага, считая, что во время шага производная неизменна. То есть в течение всего шага производная считается той, какой она была в самом начале шага. Это основной источник неточности. Улучшение метода состоит в том, что берется производная не в начале шага, а как промежуточное или среднее на разных участках одного шага. В разных вариантах метода вычисляют несколько производных в разных частях шага и усредняют их. Конечно, в этом случае число вычислений увеличивается, — но не в десятки раз, — а вот точность возрастает на порядок, в этом и состоит выигрыш. Пусть, как и прежде, требуется решить уравнение y' = f(x, y, t). Идея уточненного метода Эйлера состоит в том, что производную вычисляют не в i-ой точке, а между двумя соседними точками: i и i + 1. Данная процедура состоит из следующих шагов: в точке i вычисляют значение производной: f(xi, yi, t); делают пол-шага и вычисляют значение функции на середине отрезка: yi + 1/2 = yi + f(xi, yi, t) · Δt/2; в точке i + 1/2 вычисляют производную: f(xi + 1/2, yi + 1/2, t + Δt/2); делается полный шаг из точки i в точку i + 1 по значению уточненной производной: yi + 1 =yi + f(xi + 1/2, yi + 1/2, t + Δt/2) · Δt; значение t увеличивается: t := t + Δt. Вся процедура повторяется сначала. Данный метод обладает точностью Ο2(h), то есть на порядок выше, чем метод Эйлера, при увеличении числа вычислений всего в 2 раза. На рис. 8.1 показано, какой будет ошибка ε (расхождение между реальным и вычисленным теоретическим значением), если шаг делается по значению производной, вычисленной в точке i, как это делается в методе Эйлера. Эта ошибка может быть достаточно велика! Рис. 8.1. Движение реальной и расчетной системы по методу Эйлера и расхождение между ними (ошибка) На рис. 8.2 показано, как по значению производной, вычисленной в точке i, делается полшага до точки t + Δt/2 (направление производной показано линией A). И в точке t + Δt/2 вычисляют новую производную. Касательная в точке t + Δt/2 будет другой — линия B. Ее наклон равен производной в точке t + Δt/2. ^ Рис. 8.2. Уточнение значения производной внутри шага расчета Далее переносят линию B обратно в точку t. Это соответствует тому, что из точки t снова делается, — но уже полный, — шаг Δt до точки t + Δt по направлению, соответствующему линии C (рис. 14.3). Линия C параллельна B. То есть значение производной в точке t берется искусственно равным производной в точке t + Δt/2. Ошибка расчета (см. ε1) во многих случаях при этом уменьшается. Рис. 8.3. Движение реальной системы и системы, рассчитанной модифицированным методом Эйлера, и расхождение между ними (ошибка). На рисунке для сравнения показан результат, вычисленный по методу Эйлера Существует другой вариант модифицированного метода Эйлера, когда производную для того, чтобы сделать шаг из точки i, берут не в i-ой точке и не в i + 1/2, а как среднее арифметическое двух производных: производной в точке i (направление производной показано на рис. 8.4 линией A) и производной в точке i + 1 (направление производной показано линией B). Направление «средней» производной показано линией C. Рис. 8.4. Расчет движения системы по среднему значению производной на шаге ^ ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. Математическая модель 2. Факторы и параметры 3. Основные задачи моделирования 4. Классификация моделей 5. Адекватность модели 6. Линейная одномерная модель 7. Линейная множественная модель 8. Сущность метода наименьших квадратов 9. Вычисление статистики в конце 10. Вычисление статистики в процессе вычисления (по рекурсивным соотношениям) 11. Вычисление статистики в классовых интервалах 12. Средне значение и дисперсия 13. Асимметрия 14. Эксцесс 15. Сущность центральной предельной теоремы 16. Коэффициент корреляции 17. Коэффициент корреляции двух динамических рядов 18. Связь двух признаков 19. Основные понятия о динамических системах 20. Уравнение динамической системы 21. Звено первого порядка 22. Звено второго порядка (колебательное звено) 23. Ряд Фурье 24. Спектр сигнала 25. Модель динамической системы в виде Фурье-представления 26. Амплитудно-частотная характеристика 27. Метод Эйлера численного расчета динамических систем ^ ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК 1. Молчанов А.Н. Моделирование и проектирование сложных систем. - К.: Выща шк., 1968.- 359 с. 2. Седов Л.Н. Методы подобия и размерностей в механике. - М.: Наука., 1981.- 448 с. 3. Шенк Х. Теория инженерного эксперимента. - М.: Мир, 1972. - 381 с. 4. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. - К.: Техника, 1975. -776 с. 5. Свешников А.А. Прикладные методы теори случайных функций. - М.: Наука, 1968. - 463с. 6. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс: Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1988. - 128 с. 7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1977. – 832 с. 8. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2-х т. – М.: Наука, 1966. Т.1. – 552 с. 9. Бабаков И.М. Теория колебаний. – М.: Дрофа, 2004. – 591 с. 10. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. – М.:Наука. - 1981. СОДЕРЖАНИЕ ^ ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ КУРСА 4 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ КУРСА 5 1. Основные понятия о моделировании 5 2. Линейные регрессионные модели 11 3. Фиксация и обработка статистических результатов 15 4. Оценка качества модели 21 5. Динамические системы 23 6. Модель динамической системы в виде Фурье-представления (модель сигнала) 30 7. Построение модели динамической системы в виде дифференциальных уравнений и расчет ее методом Эйлера 36 8. Уточненный метод Эйлера 49 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 55 ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК 56 КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по дисциплине “Системы моделирования и обработки данных” (для студентов специальности 7.090202 «Технология машиностроения» всех форм обучения) Составитель: Чернышев Е.А., асс.

Похожие:

	Конспект лекций по дисциплине Физико-механические методы обработки... Конспект лекций предназначен для самостоятельного изучения студентами теоретической части курса “Физико-механические методы обработки”...		Конспект лекций по дисциплине «Автоматизированный электропривод» Конспект лекций по дисциплине «Автоматизированный электропривод» (для студентов 4 курса всех форм обучения специальности 090603 –...
	Конспект лекций по дисциплине “Статистика в машиностроении ” для студентов специальности Конспект лекций предназначен для самостоятельного изучения студентами теоретической части курса “ Статистика в машиностроении ” (для...		Конспект лекций по дисциплине «Деньги и кредит» Опорный конспект лекций по дисциплине «Деньги и кредит» для студентов специальности 03050801. “Финансы и кредит” и специальности...
	Конспект лекций по дисциплине информационные и телекоммуникационные...		Методические указания к лабораторным работам по курсу «Системы моделирования и обработки данных» Методические указания к лабораторным работам по курсу «Системы моделирования и обработки данных» (для студентов всех форм обучения...
	Конспект лекций в схемах по дисциплине «управление персоналом» Конспект лекций в схемах по дисциплине «Управление персоналом» (для студентов 5 курса направления подготовки 0502 “Менеджмент” специальности...		Конспект лекций и вопросов для самостоятельного изучения по дисциплине «Экономика предприятия» Опорный конспект лекций и вопросов для самостоятельного изучения по дисциплине «Экономика предприятия» для студентов специальности...
	Конспект лекций по дисциплине «Организация производства и маркетинг» Конспект лекций по дисциплине «Организация производства и маркетинг» для студентов 3 курса специальностей 090600 – «Электротехнические...		Конспект лекций по дисциплине “ основы защиты информации” для направления... Министерство образования и науки украины восточноукраинский государственный университеТ