Курсовая работа Тема: «Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне»




Скачать 83.95 Kb.
НазваниеКурсовая работа Тема: «Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне»
Дата публикации13.12.2013
Размер83.95 Kb.
ТипКурсовая
uchebilka.ru > Математика > Курсовая
Реферат скачан с сайта allreferat.wow.ua


Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Санкт-Петербургский Государственный Технологический Институт (Технический Университет)Кафедра Факультет VIIIПрикладной Курс IIМатематики Группа 891 Дисциплина: Информатика – 2 Курсовая работа Тема: «Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне» Руководитель: Поляков В.О. Исполнитель: Солнцев П.В. Санкт-Петербург 2001 ВведениеВ решении любой прикладной задачи можно выделить три основных этапа: - построение математической модели исследуемого объекта - выбор способа и алгоритма решения полученной модели - численная реализация алгоритмаЦель данной работы – на примере исследования распределения температуры втонком цилиндрическом стержне освоить основные методы приближённыхвычислений, приобрести практические навыки самостоятельных исследований,существенно опирающихся на использование методов прикладной математики. Содержание1. Постановка задачи 1. Физическая модель 2. Математическая модель2. Обработка результатов эксперимента 1. Задача регрессии. Метод наименьших квадратов. 2. Гипотеза об адекватности модели задачи регрессии3. Нахождение коэффициента теплоотдачи ? 1. Вычисление интеграла методом трапеций 2. Вычисление интеграла методом парабол (Симпсона)4. Вычисление времени Т0 установления режима 1. Решение уравнения комбинированным методом 2. Решение уравнения методом итерраций5. Решение краевой задачи (метод малого параметра)6. Заключение Литература 1. Постановка задачи 1. Физическая модель В ряде практических задач возникает необходимость исследованияраспределения температуры вдоль тонкого цилиндрического стержня,помещённого в высокотемпературный поток жидкости или газа. Это исследованиеможет проводиться либо на основе обработки эксперимента (измерениетемпературы в различных точках стержня), либо путём анализа соответствующейматематической модели. В настоящей работе используются оба подхода. Тонкий цилиндрический стержень помещён в тепловой поток с постояннойтемпературой ?, на концах стержня поддерживается постоянная температура ?0. 1.2 Математическая модель Совместим координатную ось абсцисс с продольной осью стержня с началомв середине стержня. Будем рассматривать задачу (распределения температурыпо стержню) мосле момента установления режима Т0. Первая математическая модель использует экспериментальные данные, приэтом измеряют температуру Ui стержня в нескольких точках стержня скоординатами xi. Результаты измерения Ui рассматривают как функциюрегрессии и получают статистики. Учитывая чётность U(x) можно искать её ввиде многочлена по чётным степеням x (ограничимся 4-ой степенью этогомногочлена). (1.1) Задача сводится к отысканию оценок неизвестных параметров, т.е.коэффициентов a0 , a1 и a2 , например, методом наименьших квадратов. Вторая математическая модель, также использующая экспериментальныеданные, состоит в применении интерполяционных формул и может употребляться,если погрешность измерений температуры Ui пренебрежимо мала, т.е. можносчитать, что U(xi)=Ui Третья математическая модель основана на использовании законатеплофизики. Можно доказать, что искомая функция U(x) имеет вид: (1.2) где ? - коэффициент теплопроводности, ? - коэффициент теплоотдачи, D –диаметр стержня, ? - температура потока, в который помещён стержень. Ищем U(x) как решение краевой задачи для уравнения (1.2) с граничнымиусловиями: (1.3) на отрезке [-L|/2;L/2], где L – длина стержня, ?0 - постояннаятемпература, поддерживаемая на концах стержня. Коэффициент теплопроводности ? зависит от температуры: (1.4) где ?0 - начальное значение коэффициента теплопроводности, ?? -вспомогательный коэффициент. Коэффициент теплоотдачи ? вычисляют по формуле: (1.5) т.е. как среднее значение функции за некоторый отрезок времени от 0 до Т, здесь ?0 - значение ? при tстремящемся к бесконечности, b – известный коэффициент. Время Т0, по истечении которого распределение температуры в стержнеможно считать установившимся определяется по формуле: (1.6) где а – коэффициент температуропроводности, ? - наименьшийположительный корень уравнения: (1.7) Задание курсовой работы Вариант № 136Исходные данные:1. L = 0.0386 м2. D = 0,00386 м3. ? ’ 740 оС4. ?0 ’ 74 оС5. ?0 ’ 141,85 (Вт/м*К)6. ?? ’ 2,703*10-47. ? ’ 6,789*10-78. ?0 ’ 3,383*102 (Вт/м2*К)9. ? ’ 218 оС10. А = 3,043*10-5 (м2/с) 11|X, м |U, oC ||0 |353 ||0,00386 |343 ||0,00772 |313 ||0,01158 |261 ||0,01544 |184 ||0,01930 |74 | 2. Обработка результатов эксперимента. 2.1 Задача регрессии. Метод наименьших квадратов. Ищем функцию регрессии в виде (1.1). Оценки коэффициентов находим спомощью МНК, при этом наименьшими будут оценки, обеспечивающие минимумквадратов отклонений оценочной функции регрессии от экспериментальныхзначений температуры; суммирование ведут по всем экспериментальным точкам,т.е. минимум величины S: (2.1) В нашем случае необходимым т достаточным условием минимума S будут: Где k = 0, 1, 2. (2,2) Из уравнений (2.1) и (2.2) получаем: (2.3) Сумма Система (2.3) примет вид: (2.4) В результате вычислений получаем Sk и Vj. Обозначим матрицукоэффициентов уравнения (2.4) через “p”: Методом Гаусса решаем систему (2.4) и найдём обратную матрицу p-1. Врезультате получаем: Подставляя в (2.1) найденные значения оценок коэффициентов ак, находимминимальное значение суммы S: Smin=0.7597 При построении доверительных интервалов для оценок коэффициентовопределяем предварительно точечные оценки. Предполагается, что экспериментальные значения xi измерены спренебрежимо малыми ошибками, а случайные ошибки измерения величины Uiнезависимы и распределены по нормальному закону с постоянной дисперсией ?2,которая неизвестна. Для имеющихся измерений температуры Ui неизвестнаядисперсия оценивается по формуле: Где r – число степеней свободы системы, равное разности междуколичеством экспериментальных точек и количеством вычисляемых оценоккоэффициентов, т.е. r = 3. Оценка корреляционной матрицы имеет вид: Оценки дисперсий параметров оценок коэффициентов найдём по формулам: Где Sk – минор соответствующего диагонального элемента матрицынормальной системы; ? - главный определитель нормальной системы. В нашем случае: S0=3.5438 10-22 S1=-8.9667 10-14 S2=6.3247 10-7 Откуда: Найденные оценки коэффициентов распределены по нормальному закону, т.к.линейно зависят от линейно распределённых экспериментальных данных Ui. Известно, что эти оценки несмещённые и эффективные. Тогда случайныевеличины: Имеют распределения Стьюдента, а r = 3. Выбираем доверительную вероятность ?=0,9 и по таблице Стьюдента находимкритическое значение ?? равное 2,35, удовлетворяющее равенству: Доверительные интервалы для коэффициентов: (2.4*) В нашем случае примут вид: 2.2 Проверка статистической гипотезы об адекватности модели задачи регрессии. Имеется выборка объёма n экспериментальных значений (xi;Ui).Предполагаем, что ошибки измерения xi пренебрежимо малы, а случайные ошибкиизмерения температур Ui подчинены нормальному закону с постояннойдисперсией ?2. Мы выбрали функцию регрессии в виде: Выясним, нельзя ли было ограничиться многочленом второго порядка, т.е.функцией вида: (2.5) C помощью МНК можно найти оценки этих функций и несмещённый оценкидисперсии отдельного измерения Ui для этих случаев: Где r1 = 4 (количество точек – 6, параметра – 2). Нормальная система уравнений для определения новых оценок коэффициентовфункции (2.5)с помощью МНК имеет вид: (2.7) Решая эту систему методом Гаусса, получим: (2.8) Чем лучше функция регрессии описывает эксперимент, тем меньше для неёдолжна быть оценка дисперсии отдельного измерения Ui, т.к. при плохомвыборе функции в дисперсию войдут связанные с этим выбором дополнительныепогрешности. Поэтому для того, чтобы сделать выбор между функциями U(x) иU(1)(x) нужно проверить значимость различия между соответствующими оценкамидисперсии, т.е. проверить гипотезу: Н0 – альтернативная гипотеза Т.е. проверить, значимо ли уменьшение дисперсии при увеличении степенимногочлена. В качестве статического критерия рассмотрим случайную величину, равную: (2.9) имеющую распределение Фишера с(r ; r1) степенями свободы. Выбираемуровень распределения Фишера, находим критическое значение F*?,удовлетворяющее равенству: p(F>F*?)=? В нашем случае F=349.02, а F*?=10,13. Если бы выполнилось практически невозможное соотношение F>F?, имевшеевероятность 0,01, то гипотезу Н0 пришлось бы отклонить. Но в нашем случаеможно ограничиться многочленом , коэффициенты в котором неодинаковы. 3. Нахождение коэффициента теплопроводности ?. Коэффициент ? вычислим по формуле (1.5), обозначим: (3.1) Определим допустимую абсолютную погрешность величины интеграла I,исходя из требования, чтобы относительная погрешность вычисления ? непревосходила 0,1%, т.е.: (3.2) Т.к. из (3.1) очевидно, что ?>?0, то условие (3.2) заведомо будетвыполнено, если: (3.3) Т.е. в качестве предельно допустимой абсолютной погрешности вычисленияинтеграла I возьмём ?’0,001Т (3.4) Т=218 оС, следовательно, ?’0,218 оС. 3.1 Вычисление интеграла I методом трапеции Использование теоретической оценки погрешности Для обозначения требуемой точности количества частей n, на которыенужно разбить отрезок интегрирования [0;T] определяется по формуле: , где M2’[f”(t)], t e [0;T], f(t)=e-bt3 Учитывая формулу (3.4) получаем: (3.5) Дифференцируя f(t), получим: А необходимое условие экстремума: f”(t)-f’’’(t)=0, откуда получаем: Далее вычисляем значения f’’(t) при t=t1, t=t2, t=0 и t=T, получаем: f’’(t1)=1.5886 10-4 f’’(t2)=-1.6627 10-4 f’’(0)=0 f’’(T)=7.4782 10-6 Итак: M2’1,5886 10-4, откуда n=25.66; принимаем N=26. Далее вычислим интеграл I: Погрешность вычисления ?: 3.2 Вычисление интеграла I методом парабол При расчётах будем использовать теоретическую оценку погрешности спомощью правила Рунге. Для обеспечения заданной точности количество частейn, на которое следует разделить интервал интегрирования можно определить поформуле: , откуда: Нахождение М4 можно провести аналогично нахождению М2 в предыдущемпункте, но выражение для fIV(t) имеет довольно громоздкий вид. Поэтомуправило Рунге – наиболее простой способ. Обозначим через In и I2n значение интеграла I, полученное при разбиениипромежутка интегрирования соответственно на n и 2n интервалов. Есливыполнено равенство: |I2n-In| = 15? (*1), то |I-I2n|=? Будем , начиная с n=2, удваивать n до тех пор, пока не начнётвыполняться неравенство (*1), тогда: (3.6) Согласно формуле парабол (3.7): Результаты вычислений сведём в таблицу:|n |In |I2n ||4 |102.11 | ||8 |101.61 |0.5017 | По формуле (3.7) I = 101,61 что в пределах погрешности совпадает созначением, полученным по методу трапеций|n=8 |n=4 ||ti (8) |y8 |ti (4)|y4 ||0 |1 |0 |1 ||27.25 |0.9864 | | ||54.5 |0.8959 |54.5 |0.8959 ||81.75 |0.6901 | | | 1090.4151|136.25 |0.1796 | | | 163.50.0514|190.75 |0.0089874 | | | 2180.00088179 4. Вычисление времени Т0 установления режима 4.1 Решение уравнения комбинированным методомВремя установления режима определяется по формулам (1.6) и (1.7). Проведём сначала отделение корней. Имеем y = ctg(x) и y = Ax. Приведёмуравнение к виду: аx sin(x)-cos(x) = 0. Проведём процесс отделения корня.|F(x) |-1 |-0.6285 |0.4843 ||x |0.01 |0.05 |0.1 | т.е. ? с [0.01;0.05] Убедимся, что корень действительно существует и является единственнымна выбранном интервале изоляции. f(a) f(b)<0 – условие существования корня выполняется f’(x) на [a;b] – знакопостоянна: f’(x)>0 – условие единственности такжевыполняется. Проведём уточнение с погрешностью не превышающей ?’10-4 Строим касательные с того конца, где f(x) f”(x)>0 f”(x)=(2A+1)cos(x) – а x sin(x). f”(x)>0 на (a;b), следовательнокасательные строим справа, а хорды слева. Приближение корня по методукасательных: по методу хорд: Вычисление ведём до того момента, пока не выполнится условие: Результаты вычислений заносим в таблицу:|n |an |bn |f(an) |f(bn) ||0 |0.05 |0.1 |-0.6285 |0.4843 ||1 |0.07824 |0.08366 |-0.0908 |0.0394 ||2 |0.08202 |0.08207 |-9.1515 10-4 |3.7121 10-4 ||3 |0.08206 |0.08206 |-8.4666 10-8 |3.4321 10-8 | Т0 = 72,7176 секунд. 4.2 Решение уравнения комбинированным методом Приведём f(x) = 0 к виду x = ?(x). Для этого умножим обе части напроизвольное число ?, неравное нулю, и добавим к обеим частям х: X = x - ? f(x) ?(x) ’ x - ? аx sin(x) + ? cos(x) В качестве ? возьмём: где М = max [f’(x)] на [a;b], а m = min [f’(x)] на [a’b] В силу монотонности f’(x) на [a;b] имеем m = f’(а), М = f’(b). Тогда ?’ 0,045. Приближение к корню ищем по следующей схеме: Вычисление ведём до тех пор, пока не выполнится условие: (q = max |?’(x)| на [a’b]) ?’(x) на [a’b] монотонно убывает, поэтому максимум его модулядостигается на одном из концов. ?’(0,05) = 0,3322 ?’(0,1) = -0,3322, следовательно, q =0.3322 < 1. В этом случае выполняется условие сходимости и получаетсяпоследовательность:|i |xi |?( xi) |? xi ||0 |0.075 |0.082392 |0.00739 ||1 |0.082392 |0.082025 |0.000367 ||2 |0.082025 |0.08206 |3.54 10-5 ||3 |0.08206 |0.082057 |3.33 10-6 ||4 |0.082057 |0.082057 |3.15 10-7 | Итак, с погрешностью, меньшей 10-4, имеем: Т0 = 72,7176 с. , ? ’ 0.03142 5. Решение краевой задачи Используем метод малого параметра. Краевую задачу запишем в виде: (5.1) Введя новую переменную y = (U - ?0)/(? - ?0), запишем (5.1) в виде: (5.2) ? ’ ??(? - ?0) ’0.18, L/2 =0.0193. В качестве малого параметра возьмём?. Тогда, подставив y(x) в уравнение (5.2) и перегруппировав члены приодинаковых степенях ?, получим: (5.3) Ограничимся двумя первыми членами ряда: Из (5.2) и (5.3) находим общее решение уравнения для y0: где y0 с тильдой – частное решение данного неоднородного уравнения;y(1) и y(2) – линейно независимые решения однородного уравнения. Корни уравнения: y0общ = 1 + c1ch(px)+c2sh(px), где p = 0.01953 Константы найдём из граничных условий: откуда с1 = 0, с2 = -0,57; т.е. имеем функцию: y0 = 1 - 0.57 sh(px) Общее решение: Частное решение: Дифференцируя и подставляя в уравнение, получим:А1 = 0; А2 = -0,1083; В1 = 0; В2 = 17,1569; Тогда общее решение для y1 имеет вид: с3 = 0; с4 = 0,0462 Перейдя к старой переменной U, получим: ?0 ’ 0; ?1 ’ -374.11; ?2 ’ -12.9863; ?3 ’ 2057 Итоговое уравнение: Пользуясь этой формулой, составим таблицу значений функции U(x):|x |U(x) |U ||0 |352.9075 |353 ||0.0019 |350.4901 | ||0.0039 |343.1972 |343 ||0.0058 |330.9053 | ||0.0077 |313.4042 |313 ||0.0097 |290.391 | ||0.0116 |261.4598 |261 ||0.0135 |226.0893 | ||0.0154 |1836255 |184 ||0.0174 |133.2579 | ||0.0193 |74 |74 | Используя данную таблицу, строим график функции U(x). [см. приложение 1] 6. Заключение Решение задачи на ЭВМ при помощи вычислительной системы ManhCad 7.0 дало результаты (функцию распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне), полученные по решению практического задания и обработкой эксперимента (функции регрессии), которые практически (в пределах погрешности) совпадают с экспериментальными значениями. Литература 1. Методические указания «Методы приближённых вычислений. Решение нелинейных уравнений» (ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1983) 2.Методические указания «Приближённые методы ислисления определённых интегралов» (ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1986)Методические указания «Изучение распределения температуры в тонкомцилиндрическом стержне»(ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1988) Приложение 1-----------------------[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic]

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Курсовая работа Тема: «Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне» iconКурсовая работа по схемотехнике тема: «полупроводниковые датчики температуры»

Курсовая работа Тема: «Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне» iconКурсовая работа тема: «Исследование эмпирической зависимости»

Курсовая работа Тема: «Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне» iconЛабораторная работа №2 Исследование стратегий распределения и освобождения памяти
Вывести карту распределения памяти, для каждой загруженной в память программы определить адрес и имя родительского процесса

Курсовая работа Тема: «Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне» iconКурсовая работа По курсу: «Основы теории управления» Тема: «Исследование...
Исследование системы программного регулирования скорости вращения рабочего органа шпинделя

Курсовая работа Тема: «Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне» iconКурсовая работа «комплексное исследование рынка печатающих устройств\...
Продавая машину, подыскивая работу, собирая средства на благотворительные нужды или пропагандируя идею, мы занимаемся маркетингом....

Курсовая работа Тема: «Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне» iconКурсовая работа по дисциплине «Системный анализ и исследование операций»

Курсовая работа Тема: «Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне» iconКурсовая работа по дисциплине экономика предприятия на тему «Прибыль...
Прибыль предприятия: структура ее образования, распределения и использования в условиях рынка

Курсовая работа Тема: «Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне» iconКонтрольные вопросы по курсу “Теория вероятностей”
Законы распределения дискретной случайной величины (ряд распределения, многоугольник распределения, функция распределения)

Курсовая работа Тема: «Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне» iconКонтрольные вопросы по дисциплине “ теория вероятностей и математическая статистика”
Законы распределения дискретной случайной величины (ряд распределения, многоугольник распределения, функция распределения)

Курсовая работа Тема: «Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне» iconЛабораторная работа №5
При изменении температуры проводника изменяется его сопротивление. Зависимость сопротивления металлических проводников от температуры...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
uchebilka.ru
Главная страница


<