Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений




Скачать 155.82 Kb.
НазваниеТождественные преобразования показательных и логарифмических выражений
Дата публикации18.12.2013
Размер155.82 Kb.
ТипКурсовая работа
uchebilka.ru > Математика > Курсовая работа
Реферат скачан с сайта allreferat.wow.ua


Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений

Приднестровский государственный университет им. Т.Г. Шевченко Физико-математический факультет Кафедра математического анализа и методики преподавания математики КУРСОВАЯ РАБОТА на тему: «Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений» Работу выполнила: студентка _______ группы физико-математического ф-та _________________________ Работу проверила: _________________________ Тирасполь, 2003г. Содержание: Введение……………………………………………………………………2 Глава 1. Тождественные преобразования и методика преподавания вшкольном курсе алгебры и начала анализа……………………………………..4 §1. Формирование навыков применения конкретных видовпреобразований…………………………………………………………………………….4 §2. Особенности организации системы знаний при изучениитождественных преобразований .…….………………………….………..………….5 §3. Программа по математике ……………………………………….11 Глава 2. Тождественные преобразования и вычисления показательных илогарифмических выражений……………………………...…………………13 §1. Обобщение понятия степени……………………………………..13 §2. Показательная функция…………………………………………..15 §3. Логарифмическая функция……………………………………….16 Глава 3. Тождественные преобразования показательных и логарифмическихвыражений напрактике..........................................................................19 Заключение………………………………………………………………..24 Список использованной литературы…………………………………….25Введение В данной курсовой работе будет рассмотрено тождественныепреобразования показательной и логарифмической функции, рассмотренаметодика преподавания их в школьном курсе алгебры и начала анализа. Первая глава данной работы описывает методику преподаваниятождественных преобразований в школьном курсе математики, так же включаетпрограмму по математике в курсе «Алгебры и начала анализа» с изучениемпоказательной и логарифмической функции. Вторая глава рассматривает непосредственно саму показательную илогарифмическую функции, их основные свойства, используемые притождественных преобразованиях. Третья глава – решение примеров и задач с использованием тождественныхпреобразований показательной и логарифмической функции. Изучение различных преобразований выражений и формул занимаетзначительную часть учебного времени в курсе школьной математики. Простейшиепреобразования, опирающиеся на свойства арифметических операций,производятся уже в начальной школе и в IV–V классах. Но основную нагрузкупо формированию умений и навыков выполнения преобразований несет на себекурс школьной алгебры. Это связано как с резким увеличением числа иразнообразия совершаемых преобразований, так и с усложнением деятельностипо их обоснованию и выяснению условий применимости, с выделением иизучением обобщенных понятий тождества, тождественного преобразования,равносильного преобразования, логического следования. Культура выполнения тождественных преобразований развивается так же,как и культура вычислений, на основе прочных знаний свойств операций надобъектами (числами, векторами, многочленами и т. д.) и алгоритмов ихвыполнения. Она проявляется не только в умении правильно обосноватьпреобразования, но и в умении найти кратчайший путь перехода от исходногоаналитического выражения к выражению, наиболее соответствующему целипреобразования, в умении проследить за изменением области определенияаналитических выражений в цепочке тождественных преобразований, в быстротеи безошибочности выполнения преобразований. Обеспечение высокой культуры вычислений и тождественных преобразованийпредставляет важную проблему обучения математике. Однако эта проблемарешается еще далеко не удовлетворительно. Доказательство этому –статистические данные органов народного образования, в которых ежегодноконстатируются ошибки и нерациональные приемы вычислений и преобразований,допускаемые учащимися различных классов при выполнении контрольных работ.Это подтверждается и отзывами высших учебных заведений о качествематематических знаний и навыков абитуриентов. Нельзя не согласиться свыводами органов народного образования и вузов о том, что недостаточновысокий уровень культуры вычислений и тождественных преобразований всредней школе является следствием формализма в знаниях учащихся, отрыватеории от практики.Глава 1. Тождественные преобразования и методика преподавания в школьном курсе алгебры и начала анализа. §1. Формирование навыков применения конкретных видов преобразований. Система приемов и правил проведения преобразований, используемая наэтапе начал алгебры, имеет очень широкую область приложений: онаиспользуется в изучении всего курса математики. Однако именно в силу своеймалой специфичности эта система нуждается в дополнительных преобразованиях,учитывающих особенности структуры преобразуемых выражений и свойства вновьвводимых операций и функций. Освоение соответствующих видов преобразованийначинается с введения формул сокращенного умножения. Затем рассматриваютсяпреобразования, связанные с операцией возведения в степень, с различнымиклассами элементарных функций – показательных, степенных, логарифмических,тригонометрических. Каждый из этих типов преобразований проходит этапизучения, на котором внимание сосредоточивается на усвоении их характерныхособенностей. По мере накопления материала появляется возможность выделить и общиечерты всех рассматриваемых преобразований и на этой основе ввести понятиятождественного и равносильного преобразований. Следует обратить внимание на то, что понятие тождественногопреобразования дается в школьном курсе алгебры не в полной общности, атолько в применении к выражениям. Преобразования разделяются на два класса:тождественные преобразования – это преобразования выражений, и равносильные– преобразования формул. В случае, когда возникает потребность в упрощенииодной части формулы, в этой формуле выделяется выражение, которое и служитаргументом применяемого тождественного преобразования. Соответствующийпредикат при этом считается неизменным. Что касается организации целостной системы преобразований (синтез), тоосновная её цель состоит в формировании гибкого и мощного; аппарата,пригодного для использования в решении разнообразных учебных заданий. В курсе алгебры и начал анализа целостная система преобразований, восновных чертах уже сформированная, продолжает постепенносовершенствоваться. К ней также добавляются некоторые новые видыпреобразований, однако они только обогащают ее, расширяют ее возможности,но не меняют ее структуру. Методика изучения этих новых преобразованийпрактически не отличается от применяемой в курсе алгебры. §2. Особенности организации системы заданий при изучении тождественных преобразований. Основной принцип организации любой системы заданий – предъявление ихот простого к сложному с учетом необходимости преодоления ученикамипосильных трудностей и создания проблемных ситуаций. Указанный основнойпринцип требует конкретизации применительно к особенностям данного учебногоматериала. Для описания различных систем заданий в методике математикииспользуется понятие цикла упражнений. Цикл упражнений характеризуетсясоединением в последовательности упражнений нескольких аспектов изучения иприемов расположения материала. По отношению к тождественнымпреобразованиям представление о цикле может быть дано следующим образом. Цикл упражнений связан с изучением одного тождества, вокруг которогогруппируются другие тождества, находящиеся с ним в естественной связи. Всостав цикла наряду с исполнительными входят задания, требующиераспознавания применимости рассматриваемого тождества. Изучаемое тождествоприменяется для проведения вычислений на различных числовых областях.Учитывается специфика тождества; в частности, организуются связанные с нимобороты речи. Задания в каждом цикле разбиты на две группы. К первой относятсязадания, выполняемые при первоначальном знакомстве с тождеством. Они служатучебным материалом для нескольких идущих подряд уроков, объединенных однойтемой. Вторая группа упражнений связывает изучаемое тождество с различнымиприложениями. Эта группа не образует композиционного единства – упражненияздесь разбросаны по различным темам. Описанная структура цикла относится к этапу формирования навыковприменения конкретных видов преобразований. На заключительном этапе – этапесинтеза циклы видоизменяются. Во-первых, объединяются обе группы заданий,образующие «развернутый» цикл, причем из первой группы исключаются наиболеепростые по формулировкам или по сложности выполнения задания. Оставшиесятипы заданий усложняются. Во-вторых, происходит слияние циклов, относящихсяк различным тождествам, в силу чего повышается роль действий пораспознаванию применимости того или иного тождества. Отметим особенности циклов заданий, связанных с тождествами дляэлементарных функций. Эти особенности обусловлены тем, что, во-первых,соответствующие тождества изучаются в связи с изучением функциональногоматериала и, во-вторых, они появляются позже тождеств первой группы иизучаются с использованием уже сформированных навыков проведениятождественных преобразований. Каждая вновь вводимая элементарная функция резко расширяет областьчисел, которые могут быть обозначены и названы индивидуально. Поэтому впервую группу заданий циклов должны войти задания на установление связиэтих новых числовых областей с исходной областью рациональных чисел.Приведем примеры таких заданий.Пример 1. Вычислить: [pic][pic] [pic] Рядом с каждым выражением указано тождество, в циклах по которым могутприсутствовать предлагаемые задания. Цель таких заданий – в освоенииособенностей записей, включающих символы новых операций и функций, и вразвитии навыков математической речи. Значительная часть использования тождественных преобразований,связанных с элементарными функциями, приходится на решение иррациональных итрансцендентных уравнений. В циклы, относящиеся к усвоению тождеств, входяттолько наиболее простые уравнения, но уже здесь целесообразно проводитьработу по усвоению приема решения таких уравнений: сведение его путемзамены неизвестного к алгебраическому уравнению. Последовательность шагов при этом способе решения такова: а) найти функцию [pic], для которой данное уравнение [pic] представимов виде [pic]; б) произвести подстановку [pic] и решить уравнение [pic]; в) решить каждое из уравнений [pic], где [pic] – множество корнейуравнения [pic]. При использовании описанного способа зачастую шаг б) выполняется внеявном виде, без введения обозначения для [pic]. Кроме того, ученикизачастую предпочитают из различных путей, ведущих к нахождению ответа,выбирать тот, который быстрее и проще приводит к алгебраическому уравнению. Пример 2. Решить уравнение [pic]. Первый способ: [pic] [pic] Второй способ: а) [pic] б) [pic] [pic] [pic] в) [pic] [pic] Здесь видно, что при первом способе шаг а) сложнее, чем при втором.Первым способом «труднее начать», хотя дальнейший ход решения значительнопроще. С другой стороны, у второго способа имеются достоинства, состоящие вбольшей легкости, большей отработанности в обучении сведения калгебраическому уравнению. Для школьного курса алгебры типичны задания, в которых переход калгебраическому уравнению осуществляется даже еще проще, чем в данномпримере. Основная нагрузка таких заданий относится к выделению шага в) каксамостоятельной части процесса решения, связанного с использованием свойствизучаемой элементарной функции. Пример 3. Решить уравнение: а) [pic]; б) [pic]. Эти уравнения сводятся к уравнениям: а) [pic] или [pic]; б) [pic] или[pic]. Для решения этих уравнений требуется знание лишь простейших фактов опоказательной функции: ее монотонность, область значений. Как и заданиепредыдущего примера, уравнения а) и б) можно отнести к первой группе циклаупражнений на решение квадратно-показательных уравнений. Таким образом, приходим к классификации заданий в циклах, относящихсяк решению трансцендентных уравнений, включающих показательную функцию: 1) уравнения, сводящиеся к уравнениям вида [pic] и имеющие простой,общий по форме ответ: [pic]; 2) уравнения, сводящиеся к уравнениям [pic], где [pic] – целое число,или [pic], где [pic]; 3) уравнения, сводящиеся к уравнениям [pic] и требующие явного анализаформы, в которой записано число [pic]. Аналогично можно классифицировать задания и для других элементарныхфункций. Значительная часть тождеств, изучаемых в курсах алгебры и алгебры иначал анализа, доказывается в них или, по крайней мере, поясняется. Этасторона изучения тождеств имеет большое значение для обоих курсов,поскольку доказательные рассуждения в них с наибольшей четкостью истрогостью проводятся именно по отношению к тождествам. За пределами этогоматериала доказательства обычно менее полны, они не всегда выделяются изсостава применяемых средств обоснования. В качестве опоры, на которой строятся доказательства тождеств,используются свойства арифметических операций. Воспитательное воздействие вычислений и тождественных преобразованийможет быть, направлено на развитие логического мышления, если только отучащихся будут систематически требоваться обоснования вычислений итождественных преобразований, на развитие функционального мышления, чтодостигается различными путями. Совершенно очевидно значение вычислений итождественных преобразований в развитии воли, памяти, сообразительности,самоконтроля, творческой инициативы. Запросы бытовой, производственной вычислительной практики требуютформирования у учащихся прочных, автоматизированных навыков рациональныхвычислений и тождественных преобразований. Эти навыки вырабатываются впроцессе любой вычислительной работы, тем не менее, необходимы специальныетренировочные упражнения в быстрых вычислениях и преобразованиях. Так, если на уроке предполагается решение логарифмических уравнений сиспользованием основного логарифмического тождества [pic], то полезно вплан урока включить устные упражнения на упрощение или вычисление значенийвыражений: [pic], [pic], [pic]. Цель упражнений всегда сообщается учащимся.В ходе выполнения упражнения может возникнуть необходимость потребовать отучащихся обоснований отдельных преобразований, действий или решения всейзадачи, даже если это не планировалось. Там, где возможны различные способырешения задачи, желательно всегда ставить вопросы: «Каким способом решаласьзадача?», «Кто решил задачу другим способом?» Понятия тождества и тождественного преобразования, они явно вводятся вкурсе алгебры VI класса. Само определение тождественных выражений не можетбыть практически использовано для доказательства тождественности двухвыражений, и понять, что сущность тождественных преобразований состоит вприменении к выражению определений и свойств тех действий, которые указаныв выражении, или в прибавлении к нему выражения, тождественно равного 0,или в умножении его на выражение, тождественно равное единице. Но, дажеусвоив эти положения, учащиеся часто не понимают, почему указанныепреобразования позволяют утверждать, что исходное и полученное выражениетождественны, т.е. принимают одинаковые значения при любых системах(наборах) значений переменных. Важно так же добиться, что бы учащиеся хорошо понимали, что такиевыводы тождественных преобразований, являются следствиями определений исвойств соответствующих действий. Аппарат тождественных преобразований, накопленный в предшествующиегоды, в VI классе расширяется. Это расширение начинается введениемтождества, выражающего свойство произведения степеней с одинаковымиоснованиями: [pic], где [pic], [pic] – целые числа. §3. Программа по математике. В школьном курсе «Алгебра и начала анализа» учащиеся систематическиизучают показательную и логарифмическую функции и их свойства,тождественные преобразования логарифмических и показательных выражений и ихприменение к решению соответствующих уравнений и неравенств, знакомятся сосновными понятиями, утверждениями. В XI классе на уроки алгебры уходит по 3 часа в неделю, всегополучается 102 часа в год. На изучение показательной, логарифмической истепенной функции по программе уходит 36 часов. В программу входит рассмотрение и изучение следующих вопросов: Понятие о степени с рациональным показателем. Решение иррациональныхуравнений. Показательная функция, её свойства и график. тождественныепреобразования показательных выражений. Решение показательных уравнений инеравенств. Логарифм числа. Основные свойства логарифмов. Логарифмическаяфункция, её свойства и график. Решение логарифмических уравнений инеравенств. Производная показательной функции. Число [pic] и натуральныйлогарифм. Производная степенной функции. Основной целью раздела изучения показательной и логарифмическойфункции является ознакомление учащихся с показательной, логарифмической истепенной функцией; научить учащихся решать показательные и логарифмическиеуравнения и неравенства. Понятия корня [pic]-ой степени и степени с рациональным показателемявляются обобщением понятий квадратного корня и степени с целымпоказателем. Следует обратить внимание учащихся, что рассматриваемые здесьсвойства корней и степеней с рациональным показателем аналогичны темсвойствам, которыми обладают изученные ранее квадратные корни и степени сцелыми показателями. Необходимо уделить достаточно времени отработкесвойств степеней и формированию навыков тождественных преобразований.Понятие степени с иррациональным показателем вводится на наглядно-интуитивной основе. Этот материал играет вспомогательную роль ииспользуется при введении показательной функции. Изучение свойств показательной, логарифмической и степенной функциипостроено в соответствии с принятой общей схемой исследования функций. Приэтом обзор свойств дается в зависимости от значений параметров.Показательные и логарифмические неравенства решаются с опорой на изученныесвойства функций. Характерной особенностью курса являются систематизация и обобщениезнаний учащихся, закрепление и развитие умений и навыков, полученных вкурсе алгебры, что осуществляется как при изучении нового материала, так ипри проведении обобщающего повторения.Глава 2. Тождественные преобразования и вычисления показательных и логарифмических выражений §1. Обобщение понятия степени. Определение: Корнем [pic]-ой степени из чиста [pic] называется такоечисло, [pic]-я степень которого равна [pic]. Согласно данному определению корень [pic]-ой степени из числа [pic] –это решение уравнения [pic]. Число корней этого уравнения зависит от [pic]и [pic]. Рассмотрим функцию [pic]. Как известно, на промежутке [pic] этафункция при любом [pic]возрастает и принимает все значения из промежутка[pic]. По теореме о корне уравнение [pic] для любого [pic] имеетнеотрицательный корень и при том только один. Его называют арифметическимкорнем [pic]-ой степени из числа [pic] и обозначают [pic]; число [pic]называют показателем корня, а само число [pic] – подкоренным выражением.Знак [pic] называют так же радикалом. Определение: Арифметическим корнем [pic]-ой степени из числа [pic]называют неотрицательное число, [pic]-я степень которого равна [pic]. При четных [pic] функция [pic] четна. Отсюда следует, что если [pic],то уравнение [pic], кроме корня [pic], имеет также корень [pic]. Если[pic], то корень один: [pic]; если [pic], то это уравнение корней не имеет,поскольку четная степень любого числа неотрицательна. При нечетных значениях [pic] функция [pic] возрастает на всей числовойпрямой; её область значений – множество всех действительных чисел. Применяятеорему о корне, находим, что уравнение [pic]имеет один корень при любом[pic]и, в частности, при [pic]. Этот корень для любого значения[pic]обозначают [pic]. Для корней нечетной степени справедливо равенство [pic]. В самом деле,[pic], т.е. число –[pic] есть корень [pic]-й степени из [pic]. Но такойкорень при нечетном [pic] единственный. Следовательно, [pic]. Замечание 1: Для любого действительного [pic] [pic] Замечание 2: Удобно считать, что корень первой степени из числа [pic]равен [pic]. Корень второй степени из числа [pic] называют квадратнымкорнем, а корень третьей степени называют кубическим корнем. Напомним известные свойства арифметических корней [pic]-ой степени. Для любого натурального [pic], целого [pic] и любых неотрицательныхцелых чисел [pic] и [pic] справедливы равенства: 1. [pic] 2. [pic] 3. [pic] 4. [pic] 5. [pic]. Степень с рациональным показателем. Выражение [pic] определено для всех [pic] и [pic], кроме случая [pic]при [pic]. Напомним свойства таких степеней. Для любых чисел [pic], [pic] и любых целых чисел [pic] и [pic]справедливы равенства: [pic] [pic] [pic] Отметим так же, что если [pic], то [pic] при [pic] и [pic] при [pic]. Определение: Степенью числа [pic] с рациональным показателем [pic],где [pic] – целое число, а [pic] – натуральное [pic], называется число[pic]. Итак, по определению [pic]. При сформулированном определении степени с рациональным показателемсохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей(разница заключается в том, что свойства верны только для положительныхоснований). §2. Показательная функция. Определение: Функция, заданная формулой [pic] (где [pic], [pic]),называется показательной функцией с основанием [pic]. Сформулируем основные свойства показательной функции. 1. Область определения – множество [pic] действительных чисел. 2. Область значений – множество [pic] всех положительных действительных чисел. 3. При [pic] функция возрастает на всей числовой прямой; при [pic] функция убывает на множестве [pic]. График функции [pic] (рис. 1) Рис. 1 4. При любых действительных значениях [pic] и [pic] справедливы равенства [pic] [pic] [pic] Эти формулы называют основными свойствами степеней. Можно так же заметить, что функция [pic] непрерывна на множестведействительных чисел. §3. Логарифмическая функция. Определение: Логарифмом числа [pic] по основанию [pic] называетсяпоказатель степени, в которую нужно возвести основание [pic]. Что быполучить число [pic]. Формулу [pic] (где [pic], [pic] и [pic]) называют основнымлогарифмическим тождеством. При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающиеиз свойств показательной функции: При любом [pic] ([pic]) и любых положительных [pic] и [pic] выполненыравенства: 1. [pic] 2. [pic] 3. [pic] 4. [pic] 5. [pic] для любого действительного [pic]. Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразованиявыражений, содержащих логарифмы. Например, часто используется формулаперехода от одного основания логарифма к другому: [pic]. Пусть [pic] – положительное число, не равное 1. Определение: Функцию, заданную формулой [pic] называют логарифмическойфункцией с основанием [pic]. Перечислим основные свойства логарифмической функции. 1. Область определения логарифмической функции – множество всехположительных чисел [pic], т.е. [pic]. 2. Область значений логарифмической функции – множество всехдействительных чисел. 3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при[pic]) или убывает (при [pic]). График функции [pic] (рис. 2) Рис. 2 Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковоеоснование, симметричны относительно прямой [pic] (рис. 3). Рис. 3Глава 3. Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений на практике. Задание 1.Вычислите: 1.1) [pic]; 1.2) [pic]; 1.3) [pic];1.4) [pic];1.5) [pic].Решение: 1.1) [pic][pic]; 1.2) [pic]; 1.3) [pic][pic]; 1.4) [pic][pic][pic]; 1.5) [pic][pic][pic][pic]. Ответ: [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]. Задание 2.Упростите выражения: 2.1) [pic]; 2.2) [pic]; 2.3) [pic].Решение: 2.1) [pic][pic]; 2.2) [pic][pic][pic]; 2.3) [pic][pic][pic][pic] Ответ: [pic]; [pic]; [pic]. Задание 3.Найдите значение выражения: 3.1) [pic]; 3.2) [pic]; 3.3) [pic]; 3.4)[pic].Решение: 3.1) [pic][pic]; 3.2) [pic][pic]; 3.3) [pic][pic]; 3.4) [pic][pic][pic]. Ответ: [pic]; [pic]; [pic]; [pic]. Задание 4.Прологарифмируйте по основанию [pic] выражение: 4.1) [pic] при [pic]; 4.2) [pic] при [pic], [pic], [pic].Решение: 4.1) [pic][pic]; 4.2) [pic][pic]. Ответ: [pic]; [pic]. Задание 5.Найдите [pic], если: 5.1) [pic]; 5.2) [pic].Решение: 5.1) [pic] [pic] [pic] [pic][pic][pic]; 5.2) [pic] [pic] [pic] [pic]. Ответ: [pic]; [pic]. Задание 6.Известно, что [pic]. Найти [pic].Решение: [pic][pic][pic][pic]. Ответ: [pic]. Задание 7.Решите уравнения: 7.1) [pic]; 7.2) [pic]; 7.3) [pic].Решение: 7.1) [pic] [pic][pic]; 7.2) [pic][pic][pic][pic][pic][pic], так как [pic], то [pic], получаем, что [pic]; 7.3) [pic][pic][pic]. Ответ: [pic], [pic]; [pic]; [pic], [pic].Заключение В данной курсовой работе по теме «Тождественные преобразованияпоказательных и логарифмических выражений» мною было рассмотрено введениеданного материала в обучение в школьном курсе алгебры и начала анализа. Тема тождественных преобразований, в общем, является одной из частоиспользуемых в вычислениях и решении различных задач. Поэтому опреобразованиях начинают говорить уже с начала средней школы при изученииматематики. Рассмотрела методы формирования навыков у учеников при изученииданного материала. Так же представила программу по математике изучениякурса показательной и логарифмической функции в курсе «Алгебры и началаанализа». В работе были приведены задания, разные по сложности и по содержанию,с использованием тождественных преобразований. Данные задания могут бытьиспользованы для проведения контрольных или самостоятельных работ проверкизнаний учащихся. Курсовая работа, по моему мнению, выполнена в рамках методикипреподавания математики в средне образовательных учреждениях и может бытьиспользована как наглядное пособие для учителей школ, а так же длястудентов дневного и заочного отделений.Список использованной литературы: 1. Алгебра и начала анализа. Под ред. Колмогорова А.Н. М.: Просвещение, 1991г. 2. Программа для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика 5–11 кл. М.: Дрофа, 2002г. 3. И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. Факультативный курс по математике (решение задач). Уч. пособие для 11 кл. М.: Просвещение, 1991г. 4. В.А. Оганесян и др. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика; Учебное пособие для студентов физико- математического факультета педагогических институтов. -2-е издание переработано и дополнено.М.: Просвещение ,1980г. 5. Черкасов Р.С., Столяр А.А. Методика преподавания математики в средней школе. М.: Просвещение, 1985г. 6. Журнал "Математика в школе".

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений iconПлан проведения консультаций для подготовки к егэ по математике. (1 группа)
Применение обобщенного метода интервалов при решении показательных и логарифмических неравенств

Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений iconУрок алгебры в профильном 11 классе по теме «Решение систем показательных...
«Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть...

Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений iconНестандартные методы решения показательных уравнений
Использование области знаний и области определения при решении показательных уравнений

Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений iconУрок по алгебре в 10 классе на тему «Решение показательных уравнений,...
Цель : рассмотреть способы решения показательных уравнений, неравенств и их систем

Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений iconСтепень с рациональным показателем
Сформировать умения учащихся применять свойства степени с рациональным показателем для преобразования выражений. Развивать логическое...

Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений iconЛекция 15. Регулярные выражения Регулярные выражения. Пространство...
Регулярные выражения и языки. Теория регулярных выражений. Практика применения регулярных выражений. Разбор текстов и поиск по образцу....

Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений iconУважаемые коллеги !
В наши дни на планете Земля происходят стремительные преобразования, меняются условия жизни людей на родной планете. Эти преобразования...

Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений iconПеревод фразеологических единиц
Англиийский язык имеет тысячелетнюю историю. За это время в нем накопилось большое количество выражений, которые люди нашли удачными,...

Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений iconПлан-конспект урока алгебры в 7 классе по теме: Формулы сокращенного умножения
«Формулы сокращенного умножения», рассмотрение их использования для упрощения выражений, решения уравнений, вычисления значений выражений,...

Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений iconСредства удаленного сбора информации на промышленных объектах
Приведенная погрешность преобразования  0,1% (от верхнего предела преобразования)

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
uchebilka.ru
Главная страница


<