1. 1 Операции над комплексными числами




Скачать 89.16 Kb.
Название1. 1 Операции над комплексными числами
Дата публикации19.12.2013
Размер89.16 Kb.
ТипДокументы
uchebilka.ru > Математика > Документы

Введение


Данное методическое пособие предназначено для учащихся старших классов школы и студентов первого курса, увлекающихся геометрией, графикой и физикой. В этом пособии я постараюсь максимально просто раскрыть тему движения пространств R2(двумерное пространство) и R3(трехмерное пространство) при помощи аппарата комплексных чисел и кватернионов, а также закрепить теорию на практике путём реализации графических приложений на языке C++ с использованием графической библиотеки OpenGL.
  1. Комплексные числа


Множество комплексных чисел есть расширение множества вещественных чисел, и обозначается буквой . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма. Число x называют вещественной частью комплексного числа, а y мнимой его частью. Пишут Rez = x, Imz = y.



Мнимую и вещественную часть комплексного числа можно интерпретировать как координаты точки на плоскости.













Рис. 1. Вещественная и мнимая части числа

Любую точку на плоскости можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов и , т.е.
^

1.1 Операции над комплексными числами


Комплексные числа можно складывать и вычитать:







Определим умножение комплексных чисел:









Произведение любых двух комплексных чисел определяется по закону дистрибутивности:



Не сложно показать, что свойства умножения (коммутативность: ; ассоциативность: ; дистрибутивность по отношению к сложению: ) выполняются очевидным образом.

Для ясности докажем одно свойство . Для упрощения доказательства примем , тогда:



Очевидность остальных свойств предлагается подтвердить самостоятельно.

Комплексное число называется сопряженным числу . Сопряженное число есть отображение относительно оси x(вещественной оси).





Рис. 2. Комплексное число и сопряженное ему



Т.е. при умножении на сопряженное число мы избавляемся от мнимой части и получаем вещественное число.

Модуль от комплексного числа определяется следующим образом:



Соответственно:



Введём операцию деления комплексных чисел как операцию обратную умножению. Число называют частным и (), если . Умножив обе части уравнения на сопряжённое , получим , отсюда



Т.е. операцию деления мы определили через умножение комплексных чисел.

Имея теорию, изложенную выше, легко доказать истинность следующих соотношений:

















Для примера докажем истинность соотношения :



Перепишем данное неравенство через определения модуля комплексного числа:



Возведем обе части неравенства в квадрат:





Сократим подобные слагаемые в левой и правой частях, разделим обе части неравенства на 2 и раскроем скобку под корнем:



Снова возведем обе части неравенства в квадрат:









В ходе эквивалентных преобразований мы получили нуль в левой части и квадрат вещественного числа справа. А любое вещественное число в квадрате может быть больше нуля либо равно нулю, т.е. мы показали, что правая часть неравенства больше либо равна левой.

Также это соотношение можно доказать несколько другим путем:






^

1.2 Применение комплексных чисел для изучения движений эвклидовой плоскости.


Комплексные числа – математический аппарат для описания движений плоскости.

Форму записи комплексного числа в виде называют алгебраической. Но иногда удобнее представлять комплексные числа в тригонометрической форме.













Рис. 3. Комплексное число ,

Определение. Аргумент не равного нулю комплексного числа равен углу поворота от положительной полуоси O1 в сторону положительной мнимой полуоси Oi, т.е. против часовой стрелки, до направления комплексного числа. Изменение угла в этом направлении считается положительным, а в обратном (против часовой стрелки) отрицательным.

Синусом угла называется отношение

Косинусом угла называется отношение

Приведём к виду и, приняв, получим:



Это и есть тригонометрическая форма записи комплексного числа или представление комплексного числа в полярной системе координат.

Применим теперь комплексные числа для изучения движений евклидовой плоскости. Рассмотрим комплексное число . Рассмотрим преобразование «прибавление комплексного числа », переводящее каждую точку в точку . Данное преобразование смещает каждую точку в направлении на величину равную .

Данное преобразование сохраняет расстояние между точками:



Если аргументы и совпадают, то изменяется на величину :



На этом весь интерес данного преобразования заканчивается, и мы переходим к одному из интереснейших преобразований, а именно преобразование «умножение на комплексное число », переводящее каждую точку в точку , где , .

Теорема. Преобразование умножения на комплексное число с модулем единица является поворотом плоскости .

Доказательство. Рассмотрим комплексное число . Вычислим модуль комплексного числа, в которое перейдет , после преобразования.



Следовательно, любой вектор переходит в вектор такой же длины. А также расстояния между двумя концами векторов (между точками) сохраняется:



Т.е. преобразование умножения на комплексное число с модулем единица сохраняет длины.

А теперь давайте зададимся вопросом, сохраняется ли ориентация плоскости при умножении на комплексное число или нет. Но сначала нужно определить, что есть ориентация, а для этого нам потребуется формула площади параллелограмма.

Пусть на эвклидовой плоскости с ортонормированными координатами {(X, Y)}, т.е. каждую точку на плоскости можно выразить в виде линейной комбинации базисных векторов, углы между которыми равны 90 градусов(π/2) и их длины равны единице, имеется параллелограмм. и вектора задающие параллелограмм.











Рис. 4. Ориентация плоскости парой векторов и параллелограмм образованный ими

Теорема. Площадь параллелограмма, заданного векторами и , является линейной функцией от вектора:



Доказательство. , где h = высота, опущенная к стороне . Теперь запишем как сумму 2х векторов, получим



Площадь нужно считать со знаком «плюс», если поворот от к – осуществляется в направлении вращения от первой координатной полуоси ко второй, т.е. против часовой стрелки. И со знаком «минус», если поворот от к – в противоположную сторону.

Также линейность площади параллелограмма от первого вектора означает, что:



Эти два простых факта содержат в скрытом виде всю «теорию определителей».

Возьмем базис . Тогда векторы и можно представить в виде:



Вычисляем площадь параллелограмма . Вследствие линейности получаем сумму четырех слагаемых:



Здесь , т.к. параллелограмм, натянутый на эту пару является вырожденным в прямую. По той же причине . , но , т.к. направление вращения от к – по часовой стрелки. Следовательно, площадь параллелограмма равна:



Это число называется определителем приведенной ниже квадратной матрицы состоящей из четырёх компонент векторов и называется она матрицей параллелограмма:



Вернемся к вопросу, которым мы задались: сохраняется ли при умножении на ориентация? Если площадь образа параллелограмма положительна, то ориентация сохраняется, а если отрицательна, то ориентация основного (а значит и любого) параллелограмма меняется. Образы векторов и :



Следовательно, матрица параллелограмма-образа имеет вид:



Определитель этой матрицы (при ) положителен, т.к. :



Следовательно, умножение на ненулевое комплексное число сохраняет ориентацию плоскости умножаемых чисел.

Также эта матрица является матрицей вращения вокруг оси Z, но об этом чуть позже.

Теперь интересно узнать, на кокой угол повернется вектор при его умножении на ? Возьмем простейший не нулевой вектор и вычислим, на какой угол он повернется после преобразования.

Берем , тогда умножение на переведёт его в . Т.е. вектор после преобразования повернулся на угол .

Следствие. Умножение на комплексное число , такое что , является поворотом на угол, равный .

Теорема. При умножении комплексных чисел их аргументы складываются:



Доказательство. Выше уже доказано, что вектор при умножении на поворачивается на угол . Но поскольку умножение на есть поворот, то на такой угол поворачивается и любой вектор .

Обозначим , тогда . Это приводит к тригонометрическим тождествам, которые нас в школе заставляли зазубривать и принимать на веру.

Пусть , тогда:



Т.к. , то . Аналогично . Поэтому для вещественных и мнимых частей произведения получаем старые добрые школьные формулы:





Формула умножения комплексных чисел легко запоминается, а тригонометрических формул в ней содержится очень много, что все их запомнить очень сложно, да и не нужно по большому счету, если помнить, как получить ту или иную формулу.

Т.е. при умножении одного комплексного числа на другое их аргументы складываются, то при возведении комплексного числа в степень , где – любое натуральное число, то получим еще одно интересное соотношение:



Из этой формулы следует:



Откуда получаем:





И так далее, путем раскрытия скобок получаем полезные, достаточно часто используемые формулы.

Так же легко доказать, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются. :



Теперь мы в состоянии определить еще одну операцию над комплексными числами, а именно корень n-й степени, где n – натуральное число и .

Корнем n-й степени из числа называется такое число , если . Обозначают . Пусть , тогда по определению:



Отсюда . Следовательно, . Здесь , – арифметическое значение корня из положительного вещественного числа.

Таким образом, корень n-й степени из комплексного числа , имеет различных значений.

Теперь, как и обещал, вернусь к разговору о матрице вращения. Теперь мы знаем, что умножение на комплексное число , такое что , является поворотом плоскости на угол, равный . А также знаем матрицу параллелограмма-образа. И теперь зная все это, можно записать последнее соотношение.

Чтобы повернуть точку с координатами на угол , достаточно выполнить следующую операцию:



Зная, что . Получим матрицу вращения вокруг оси Z в общепринятом виде:



Вот собственно и все. Теория движений эвклидовой плоскости на этом исчерпывается и далее начинается адаптация данной теории к применению ее на практике.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

1. 1 Операции над комплексными числами iconЛабораторная работа №3 (весенний семестр) Тема: Операции над нечеткими...
Рассматривается выполнение операций над нечеткими числами с треугольным представлением. Вследствие того, что исходные числа и результат...

1. 1 Операции над комплексными числами iconОперации над нечеткими числами с использованием уровневых множеств
Рассматривается метод выполнения монотонных (возрастающих или убывающих) операций над нечеткими числами. Действия осуществляются...

1. 1 Операции над комплексными числами iconЛабораторная работа №4 (весенний семестр) Тема: Операции над нечеткими...
Рассматривается метод выполнения монотонных (возрастающих или убывающих) операций над нечеткими числами. Действия осуществляются...

1. 1 Операции над комплексными числами iconРеферат скачан с сайта allreferat wow ua
Синтез управляющего автомата операции умножения младшими разрядами вперед со сдвигом множимого над числами в форме с фиксированной...

1. 1 Операции над комплексными числами iconРассмотрим математические вопросы, связанные с шифрами, использующие...
Рассмотрим математические вопросы, связанные с шифрами, использующие операции с целыми числами. Обозначим n – множество натуральных...

1. 1 Операции над комплексными числами iconУрок2-3 Арифметические операции с числами
Тип, как мы уже говорили, задает размер переменной, от размера зависит диапазон значений. От типа переменной зависит как мы ею будем...

1. 1 Операции над комплексными числами iconОперанды и операции
Арифметические операции, операции отношения и логические операции, операция присвоения, поразрядные операции, операции () и []

1. 1 Операции над комплексными числами iconТема. «Действия над числами, записанными в разных системах счисления»

1. 1 Операции над комплексными числами iconМ І н І стерствоосв І т и І наукиУкра ї н и
Натуральні числа І нуль. Читання І запис натуральних чисел. Порівняння натуральних чисел. Дії над натуральними числами

1. 1 Операции над комплексными числами iconОсновные операции над матрицами

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
uchebilka.ru
Главная страница


<