Предмет «Методы оптимизации» это предмет, который изучает экстремальные (оптимизационные) задачи. Основная проблема существование решений оптимизационных




НазваниеПредмет «Методы оптимизации» это предмет, который изучает экстремальные (оптимизационные) задачи. Основная проблема существование решений оптимизационных
страница1/8
Дата публикации10.02.2014
Размер1.29 Mb.
ТипДокументы
uchebilka.ru > Математика > Документы
  1   2   3   4   5   6   7   8
        1. ВВЕДЕНИЕ


Предмет «Методы оптимизации» – это предмет, который изучает экстремальные (оптимизационные) задачи. Основная проблема – существование решений оптимизационных задач, необходимые и достаточные признаки оптимальности, разработка численных (точных и приближенных) методов решения экстремальных задач. «Методы оптимизации» – неотъемлемая часть «Исследования операций» – предмета, изучающего математические модели задач принятия решений. Поэтому областью применения данного предмета являются математические модели экономических, технических, социальных и других задач принятия решений.

Дисциплина «Методы оптимизации» опирается на математический анализ, функциональный анализ, линейную алгебру, ЭВМ и программирование. Отдельные разделы требуют знания теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей и математической статистики.

Настоящий курс читается параллельно с курсом «Вариационное исчисление и методы оптимизации» для студентов четвертого курса по специальности 01.01. и отличается от последнего ориентацией на математические модели практических задач оптимизации.


При преобразованиях, проведенных ранее, учитываем системы уравнений (1.4.2.), (1.4.3.). Из этих преобразований получим, что



что и требовалось доказать.

Замечание. Пусть область



и множество - непусто. Тогда задачу об отыскании минимаксной оценки сводим к решению задачи оптимального управления системой (1.3.8.) с критерием качества

(1.4.7.)

решая которую прийдем к системе уравнений

(1.4.8.)

Можно также показать, что минимаксная оценка представима в виде

Где определяется из решения системы уравнений

(1.4.9.)

причем

Теорема 9. Пусть функционал область G имеет вид (1.4.1.). Тогда для минимаксной оценки справедливо представление , где (t) – решение уравнения
(1.4.10.)

При этом , (1.4.11.)

Где функция p(t) - решение уравнения Риккати:

(1.4.12.)
Доказательство. Согласно теореме 8, чтобы найти минимаксную оценку, нужно решить задачу оптимального управления системой

с квадратичным критерием качества (1.4.6.). Представим оптимальное управление в форме обратной связи. Известно, что для данного случая , где p(t) – решение уравнения (1.4.11.), а функция определяется из решения уравнения

(1.4.13.)

преобразуем выражение для минимаксной оценки:



Используя уравнения (1.4.10.), (1.4.13.), получаем



Так как

То из этих равенств получим

Учитывая, что получим (1.4.11.).

Замечание. Покажем, что вектор-функция , определяемая из решение системы уравнений (1.4.3.), является оценкой x(t) по наблюдениям за функцией вида (1.3.5.).

Пусть ρ(x) – функционал вида (1.3.14.):

(1.4.14.)

где k(s,t) – матричная функция, элементы которой непрерывны на интервале - непрерывная вектор-функция на интервале .

Теорема 10. Имеет место равенство .

При этом

Р(t) определяется из решения системы уравнений (1.4.2.).

Доказательство. Так как то

.

Здесь



где ;

.

Заметим, что
,

где - оценка вида (1.3.7.). Таким образом, получим неравенство

,

Учитывая , что ,

Получим требуемые соотношения.

Следствие. Пусть . Тогда

,

где определяется из решения уравнения (1.4.10.), Р(t) – из решения уравнения (1.4.12.).

Рассмотрим апостериорные минимаксные оценки. Пусть вектор принадлежит множеству G вида (1.4.1.) и наблюдается y(t) вида (1.3.5.).

Теорема 11. Апостериорная минимаксная оценка функционала l(x) совпадет с минимаксной. При этом .

Доказательство. Найдем .

Здесь .

Введем функцию как решение уравнения .

С помощью этой функции представим функционал в виде .

Заметим, что наибольшее и наименьшее значение функционала в области Gy достигаются на таких f0 и f1 , которые удовлетворяют соотношению

.

Рассмотрим функционал .

При фиксированном множителе Лагранжа μ решим задачу оптимально го управления системой (1.3.1.) с критерием качества Jμ(f), где в качестве уравнений рассмотрим функции .

Запишем оптимальные значения :

.

Здесь функция Рμ(t) определяется из решения системы уравнений

(1.4.15.)

Заметим, что функции можно представить соответственно в виде

,

где - решение системы уравнений (1.4.2.), (1.4.3.).

множитель Лагранжа μ определим из соотношения :

,

откуда ,

,

что и требовалось доказать.

Предложение 23. Имеет место соотношение . При этом

.

Где Р(x) определятся по формуле (1.3.14.).

Доказательство этой леммы можно получить, используя теорему 4 и предложение 19. Перейдем к оценке функционала l(x1), где x1(t) = x(t) + x2(t) и функции x(t) и x2(t) – решение уравнения (1.3.1.) и (1.3.18). Будем искать минимаксную среднеквадратическую оценку функционала l(x1). Пусть область G имеет вид (1.4.1.), а случайный вектор ξ0 и функции ξ(t), η(t) – некоррелированы.

М ξ0=0, М ξ(t)=0, М η(t)=0 , с корреляционными функциями S0, S1, S2 , которые принадлежат области К, причем .

Здесь R0, R1, R2 - положительно определенные матрицы и элементы матриц - непрерывны на .

Пусть - решение системы уравнений (1.4.2.), (1.4.3.) при .

Покажем тогда, что имеет место следующая теорема.
Теорема 12. Минимаксная среднеквадратическая оценка функционала l(x1) имеет вид

.
Интенсивное развитие современной науки и техники обусловило прогресс математической теории управления и расширения сферы ее применения. Такие разделы, как принцип максимума, метод динамического программирования, рекуррентная фильтрация непосредственно применяются в механике, экономике авиации, радиотехнике и т. п.

В последние годы получили развития новые направления теории управления, связанные с разработкой методов гарантированного оценивания управления системами с распределенными параметрами, которые расширяют область применения общей тории управления за счет решения различных задач механики сплошной среды, радиофизики, акустики, геофизики, оптики и др.

В данном учебном пособии изложены методы гарантированного оценивания и управления для линейных систем, описываемых как обыкновенными дифференциальными уравнениями, так и уравнениями с частными производными, которые лишь частично отражены в учебной литературе. Глава 1 посвящена задачам минимаксного наблюдения и управления для линейных алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведены общие результаты по минимаксным оценкам, доказательство теоремы типа разделения.

В главе 2 рассмотрен метод динамического программировании для решения задач синтеза параболическими и гиперболическими уравнениями: приведено решение задач стабилизации.

Применению метода моментов к решению задач управления с минимальной энергией, задач управляемости и задачи быстродействия посвящена глава 3.

Излагая различные методы оценивания и управления линейными системами, авторы не ставили своей целью изложить все подходы к решению задач оптимизации в их наиболее общей форме. В последние годы материал пособия использовался в различных спецкурсах на факультете кибернетики Киевского госуниверситета.

Список основных обозначений



- евклидово пространство размерности n;

x = (x1, x2, ……, xn) - точка ;

Ω - область в , ограниченная;

S, ∂Ω - граница области Ω;

Qt = {(x, t): xєΩ, tє(0,1)} – цилиндр в ;

φxi, φxixj (или , ) – производные (классические, обобщенные);

φt, , - производная по времени;

Lp(Ω), p1 – банахово пространство, состоящее из всех определенных и измеримых (по Лебегу) на Ω функций с конечной формой.

||φ||p,Ω = ()1/p . Норма L2(Ω) обозначается || ||L2(Ω), скалярное произведение - ( . , .).

- пространство Соболева по l в области Ω(m1 -целое число), т. е. пространство таких функций φ(x)єL2(Ω), что Dα φ єL2(Ω), 0≤|α|≤m,

где = {1, 2,………., n}, , |α| = α1 +n , αi целые числа. Пространство снабженное нормой

, является гильбертовым пространством со скалярным произведением





Подпространство, двойственное к отожествим с некоторым подпространством пространства распределения . Положим

Тогда ; - совокупность бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в Ω.

- подпространство пространства , плотным множеством в котором является ;

- подпространство , плотным множеством в котором являются все дважды непрерывно дифференцируемые в Ω функции , равные нулю на ;

- подпространство пространства , плотным множеством в котором являются гладкие функции, равные нулю вблизи S;

подпространство , элементы которого обращаются в нуль при t=T. Известно, что следы элементов определены на каждом сечении Ωt, цилиндра QT плоскостью t=t1 є[0,T], как функции на L2(Ωt), и меняются непрерывно по t в норме L2(Ω) с изменением t є [0,T].

  1   2   3   4   5   6   7   8

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Предмет «Методы оптимизации» это предмет, который изучает экстремальные (оптимизационные) задачи. Основная проблема существование решений оптимизационных iconРазвитие методов гладкой оптимизации в институте кибернетики
Ключевые слова: методы оптимизации, численные методы, экстремальные задачи, гладкая оптимизация, метод линеаризации

Предмет «Методы оптимизации» это предмет, который изучает экстремальные (оптимизационные) задачи. Основная проблема существование решений оптимизационных iconРеферат скачан с сайта allreferat wow ua Предмет и задачи психологии...

Предмет «Методы оптимизации» это предмет, который изучает экстремальные (оптимизационные) задачи. Основная проблема существование решений оптимизационных iconОптимизационные задачи разметки и их эквивалентные преобразования
С другой стороны, оптимизационные задачи разметки являются естественным обобщением задачи совместимости ограничений, которая является...

Предмет «Методы оптимизации» это предмет, который изучает экстремальные (оптимизационные) задачи. Основная проблема существование решений оптимизационных iconМикроскоп. Микроскопическое оборудование
Знать: Предмет, методы, задачи гистологии, методы изучения живых объектов, гистохимические, и другие методы исследований. Принципы...

Предмет «Методы оптимизации» это предмет, который изучает экстремальные (оптимизационные) задачи. Основная проблема существование решений оптимизационных iconПредмет, проблемы и методы исследования в психологии психологического...

Предмет «Методы оптимизации» это предмет, который изучает экстремальные (оптимизационные) задачи. Основная проблема существование решений оптимизационных iconПрограммы исследовательской работы Объект исследования процесс обучения...
Предмет исследования методы обучения ( методы организации и осуществления учебно-воспитательной деятельности; методы стимулирования...

Предмет «Методы оптимизации» это предмет, который изучает экстремальные (оптимизационные) задачи. Основная проблема существование решений оптимизационных iconЛекция 1 Тема: “Предмет, метод и задачи статистики”
Предмет статистики это финансовые отношения или производственные отношения которые статистика отражает

Предмет «Методы оптимизации» это предмет, который изучает экстремальные (оптимизационные) задачи. Основная проблема существование решений оптимизационных iconМикроскоп. Микроскопическое оборудование. Гистологическая техника
Знать: Предмет, методы, задачи гистологии, методы изучения живых объектов, гистохимические, и другие методы исследований. Принципы...

Предмет «Методы оптимизации» это предмет, который изучает экстремальные (оптимизационные) задачи. Основная проблема существование решений оптимизационных iconПредмет, цель и задачи курса
Теоретические основы курса, его актуальность. Базовые дисциплины курса и его связь со смежными дисциплинами. Содержание курса и его...

Предмет «Методы оптимизации» это предмет, который изучает экстремальные (оптимизационные) задачи. Основная проблема существование решений оптимизационных iconТема 1: Предмет экономико-математического моделирования
Тема 3: Математические методы и основные классы задач оптимизации

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
uchebilka.ru
Главная страница


<