Предмет «Методы оптимизации» это предмет, который изучает экстремальные (оптимизационные) задачи. Основная проблема существование решений оптимизационных

ВВЕДЕНИЕ Предмет «Методы оптимизации» – это предмет, который изучает экстремальные (оптимизационные) задачи. Основная проблема – существование решений оптимизационных задач, необходимые и достаточные признаки оптимальности, разработка численных (точных и приближенных) методов решения экстремальных задач. «Методы оптимизации» – неотъемлемая часть «Исследования операций» – предмета, изучающего математические модели задач принятия решений. Поэтому областью применения данного предмета являются математические модели экономических, технических, социальных и других задач принятия решений. Дисциплина «Методы оптимизации» опирается на математический анализ, функциональный анализ, линейную алгебру, ЭВМ и программирование. Отдельные разделы требуют знания теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей и математической статистики. Настоящий курс читается параллельно с курсом «Вариационное исчисление и методы оптимизации» для студентов четвертого курса по специальности 01.01. и отличается от последнего ориентацией на математические модели практических задач оптимизации. При преобразованиях, проведенных ранее, учитываем системы уравнений (1.4.2.), (1.4.3.). Из этих преобразований получим, что что и требовалось доказать. Замечание. Пусть область и множество - непусто. Тогда задачу об отыскании минимаксной оценки сводим к решению задачи оптимального управления системой (1.3.8.) с критерием качества (1.4.7.) решая которую прийдем к системе уравнений (1.4.8.) Можно также показать, что минимаксная оценка представима в виде Где определяется из решения системы уравнений (1.4.9.) причем Теорема 9. Пусть функционал область G имеет вид (1.4.1.). Тогда для минимаксной оценки справедливо представление , где (t) – решение уравнения (1.4.10.) При этом , (1.4.11.) Где функция p(t) - решение уравнения Риккати: (1.4.12.) Доказательство. Согласно теореме 8, чтобы найти минимаксную оценку, нужно решить задачу оптимального управления системой с квадратичным критерием качества (1.4.6.). Представим оптимальное управление в форме обратной связи. Известно, что для данного случая , где p(t) – решение уравнения (1.4.11.), а функция определяется из решения уравнения (1.4.13.) преобразуем выражение для минимаксной оценки: Используя уравнения (1.4.10.), (1.4.13.), получаем Так как То из этих равенств получим Учитывая, что получим (1.4.11.). Замечание. Покажем, что вектор-функция , определяемая из решение системы уравнений (1.4.3.), является оценкой x(t) по наблюдениям за функцией вида (1.3.5.). Пусть ρ(x) – функционал вида (1.3.14.): (1.4.14.) где k(s,t) – матричная функция, элементы которой непрерывны на интервале - непрерывная вектор-функция на интервале . Теорема 10. Имеет место равенство . При этом Р(t) определяется из решения системы уравнений (1.4.2.). Доказательство. Так как то . Здесь где ; . Заметим, что , где - оценка вида (1.3.7.). Таким образом, получим неравенство , Учитывая , что , Получим требуемые соотношения. Следствие. Пусть . Тогда , где определяется из решения уравнения (1.4.10.), Р(t) – из решения уравнения (1.4.12.). Рассмотрим апостериорные минимаксные оценки. Пусть вектор принадлежит множеству G вида (1.4.1.) и наблюдается y(t) вида (1.3.5.). Теорема 11. Апостериорная минимаксная оценка функционала l(x) совпадет с минимаксной. При этом . Доказательство. Найдем . Здесь . Введем функцию как решение уравнения . С помощью этой функции представим функционал в виде . Заметим, что наибольшее и наименьшее значение функционала в области Gy достигаются на таких f0 и f1 , которые удовлетворяют соотношению . Рассмотрим функционал . При фиксированном множителе Лагранжа μ решим задачу оптимально го управления системой (1.3.1.) с критерием качества Jμ(f), где в качестве уравнений рассмотрим функции . Запишем оптимальные значения : . Здесь функция Рμ(t) определяется из решения системы уравнений (1.4.15.) Заметим, что функции можно представить соответственно в виде , где - решение системы уравнений (1.4.2.), (1.4.3.). множитель Лагранжа μ определим из соотношения : , откуда , , что и требовалось доказать. Предложение 23. Имеет место соотношение . При этом . Где Р(x) определятся по формуле (1.3.14.). Доказательство этой леммы можно получить, используя теорему 4 и предложение 19. Перейдем к оценке функционала l(x1), где x1(t) = x(t) + x2(t) и функции x(t) и x2(t) – решение уравнения (1.3.1.) и (1.3.18). Будем искать минимаксную среднеквадратическую оценку функционала l(x1). Пусть область G имеет вид (1.4.1.), а случайный вектор ξ0 и функции ξ(t), η(t) – некоррелированы. М ξ0=0, М ξ(t)=0, М η(t)=0 , с корреляционными функциями S0, S1, S2 , которые принадлежат области К, причем . Здесь R0, R1, R2 - положительно определенные матрицы и элементы матриц - непрерывны на . Пусть - решение системы уравнений (1.4.2.), (1.4.3.) при . Покажем тогда, что имеет место следующая теорема. Теорема 12. Минимаксная среднеквадратическая оценка функционала l(x1) имеет вид . Интенсивное развитие современной науки и техники обусловило прогресс математической теории управления и расширения сферы ее применения. Такие разделы, как принцип максимума, метод динамического программирования, рекуррентная фильтрация непосредственно применяются в механике, экономике авиации, радиотехнике и т. п. В последние годы получили развития новые направления теории управления, связанные с разработкой методов гарантированного оценивания управления системами с распределенными параметрами, которые расширяют область применения общей тории управления за счет решения различных задач механики сплошной среды, радиофизики, акустики, геофизики, оптики и др. В данном учебном пособии изложены методы гарантированного оценивания и управления для линейных систем, описываемых как обыкновенными дифференциальными уравнениями, так и уравнениями с частными производными, которые лишь частично отражены в учебной литературе. Глава 1 посвящена задачам минимаксного наблюдения и управления для линейных алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведены общие результаты по минимаксным оценкам, доказательство теоремы типа разделения. В главе 2 рассмотрен метод динамического программировании для решения задач синтеза параболическими и гиперболическими уравнениями: приведено решение задач стабилизации. Применению метода моментов к решению задач управления с минимальной энергией, задач управляемости и задачи быстродействия посвящена глава 3. Излагая различные методы оценивания и управления линейными системами, авторы не ставили своей целью изложить все подходы к решению задач оптимизации в их наиболее общей форме. В последние годы материал пособия использовался в различных спецкурсах на факультете кибернетики Киевского госуниверситета. Список основных обозначений - евклидово пространство размерности n; x = (x1, x2, ……, xn) - точка ; Ω - область в , ограниченная; S, ∂Ω - граница области Ω; Qt = {(x, t): xєΩ, tє(0,1)} – цилиндр в ; φxi, φxixj (или , ) – производные (классические, обобщенные); φt, , - производная по времени; Lp(Ω), p1 – банахово пространство, состоящее из всех определенных и измеримых (по Лебегу) на Ω функций с конечной формой. ||φ||p,Ω = ()1/p . Норма L2(Ω) обозначается || ||L2(Ω), скалярное произведение - ( . , .). - пространство Соболева по l в области Ω(m1 -целое число), т. е. пространство таких функций φ(x)єL2(Ω), что Dα φ єL2(Ω), 0≤|α|≤m, где = {1, 2,………., n}, , |α| = α1 +厖+αn , αi целые числа. Пространство снабженное нормой , является гильбертовым пространством со скалярным произведением Подпространство, двойственное к отожествим с некоторым подпространством пространства распределения . Положим Тогда ; - совокупность бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в Ω. - подпространство пространства , плотным множеством в котором является ; - подпространство , плотным множеством в котором являются все дважды непрерывно дифференцируемые в Ω функции , равные нулю на ; - подпространство пространства , плотным множеством в котором являются гладкие функции, равные нулю вблизи S; подпространство , элементы которого обращаются в нуль при t=T. Известно, что следы элементов определены на каждом сечении Ωt, цилиндра QT плоскостью t=t1 є[0,T], как функции на L2(Ωt), и меняются непрерывно по t в норме L2(Ω) с изменением t є [0,T].

Похожие:

	Развитие методов гладкой оптимизации в институте кибернетики Ключевые слова: методы оптимизации, численные методы, экстремальные задачи, гладкая оптимизация, метод линеаризации		Реферат скачан с сайта allreferat wow ua Предмет и задачи психологии...
	Оптимизационные задачи разметки и их эквивалентные преобразования С другой стороны, оптимизационные задачи разметки являются естественным обобщением задачи совместимости ограничений, которая является...		Микроскоп. Микроскопическое оборудование Знать: Предмет, методы, задачи гистологии, методы изучения живых объектов, гистохимические, и другие методы исследований. Принципы...
	Предмет, проблемы и методы исследования в психологии психологического...		Программы исследовательской работы Объект исследования процесс обучения... Предмет исследования методы обучения ( методы организации и осуществления учебно-воспитательной деятельности; методы стимулирования...
	Лекция 1 Тема: “Предмет, метод и задачи статистики” Предмет статистики это финансовые отношения или производственные отношения которые статистика отражает		Микроскоп. Микроскопическое оборудование. Гистологическая техника Знать: Предмет, методы, задачи гистологии, методы изучения живых объектов, гистохимические, и другие методы исследований. Принципы...
	Предмет, цель и задачи курса Теоретические основы курса, его актуальность. Базовые дисциплины курса и его связь со смежными дисциплинами. Содержание курса и его...		Тема 1: Предмет экономико-математического моделирования Тема 3: Математические методы и основные классы задач оптимизации