2 Основные понятия теории вероятностей и математической статистики

Статистические методы. ТВ и МС ч.2.

2 Основные понятия теории вероятностей и математической статистики

Специалисты по качеству, занимая соответствующие должности на предприятиях, обладают определенным уровнем образования. И если выбранная ими специальность была связана с техническими терминами то естественно в этом образовании было уделено внимание курсу под названием «Теория вероятностей и математическая статистика».

Из всего богатства и разнообразия понятий, идей, и методов скрывающихся за этим названием, наиболее важными понятиями являются два базовых - это

• 
  математическое ожидание или средне, и
  
• 
  среднее квадратическое отклонение или стандартное отклонение.
  

2.1 Математическое ожидание или среднее

Начнем с мысленного эксперимента, самого простого на первый взгляд. Это монета. То есть, будем подбрасывать монету вверх и регистрировать результат появления решки или орла после того как монета упадет. Возможность появления решки или орла, во все времена, предполагается одинаковой или равновероятной. Рассматривать значение математического ожидания или среднего, в этом примере, на первый взгляд не имеет смысла но это только на первый взгляд. Обозначим через «0» и «1» соответственно стороны монеты и вычислим среднее значение:

= (0+1) / 2 = 0,5 .

Очевидно, что значение =0.5 не выпадет никогда. Но об этом немного позже.

Рассмотрим еще один пример но уже несколько сложнее. Кубик с пронумерованными гранями от 1 до 6. Также считается, что все значения равновероятны. И также вычислим среднее:

= (1+2+3+4+5+6) / 6 = 3,5. Также, очевидно что значение = 3,5 не может быть результатом испытания, так как нет стороны кубика обозначенной таким числом. Может сложится впечатление, что мало информативный параметр. На самом деле всё немного сложнее, нужно только набраться терпения.

Теперь, давайте еще больше усложним наш мысленный эксперимент. Попробуем бросать два кубика. Результатом отдельного опыта, или другими словами событием, будем считать сумму выпавших значений на первом и втором кубике. Следовательно, минимальное значение события m=2, на обоих кубиках выпало по «1», а максимальное значение события М=12, на обоих кубиках выпало по «6».Рассмотрим все возможные варианты.

Событие варианты появления событий число вариантов частота появления события

2 (1+1). 1 1/36

3 (1+2); (2+1). 2 2/36

4 (1+3); (2+2); (3+1). 3 3/36

5 (1+4); (2+3); (3+2); (4+1). 4 4/36

6 (1+5); (2+4); (3+3); (4+2); (5+1). 5 5/36

7 (1+6); (2+5); (3+4); (4+3); (5+2); (6+1). 6 6/36

8 (2+6); (3+5); (4+4); (5+3); (6+2). 5 5/36

9 (3+6); (4+5); (5+4); (6+3). 4 4/36

10 (4+6); (5+5); (6+4). 3 3/36

11 (5+6); (6+5). 2 2/36

12 (6+6). 1 1/36

всего вариантов 36 сумма частот=1

Для вычисления среднего (математического ожидания) в этом случае воспользуемся следующей формулой:

= . (1.1)

Где: An - значение случайной величины (событие); Pn - вероятность (частота появления) события со значением случайной величины An, причем необходимо, чтобы было выполнено условие ( нормировки):

= 1. (1.2)

N - количество значений случайной величины.

В рассматриваемом случае, роль значений случайной величины An играют значения событий. То есть An принимает целочисленные значения от «2», «3», «4» и т.д. до «12». Роль вероятностей Pn выполняют частоты появления соответствующих событий. Заметим что условие (2.4) выполнено. Проведем вычисления.

= 23*2/36+4*3/36+5*4/36+6*5/36+7*6/36+8*5/36+9*4/36+10*3/36+11*2/36+12*1/36.

=7.

Интуитивно, по виду таблицы, можно было бы предположить именно это значение в качестве среднего. Однако, в силу того, что на практике столь прозрачные примеры встречаются крайне редко, в практической деятельности используется формула (1.1) при условии (1.2).

Рассмотрим еще несколько примеров вычислений среднего на практике.

Пусть имеем три одинаковые партии шестерен (количество деталей в каждой партии одинаково). Вычислим среднее значение уровня несоответствия в совокупности всех партий если известно, что уровень несоответствий (брака) для партий измерен и равен

q1 = 1%; q2 = 5%; q3 = 3%.

Тогда среднее значение уровня несоответствий в совокупности

qср = q1 * 1/3 + q2 *1/3 + q3 * 1/3 = 3%. (1.3) Анализируя последнее выражение относительно формулы (1.1) можно утверждать, что в данном случае значениями случайной величины являются значения уровня несоответствий qn Частота или вероятность Pn появления несоответствующей детали в совокупности будет равна 1/3, поскольку все три партии одинаковы по количеству деталей в них и следовательно условие нормировки (1.2) выполнено

1/3+1/3+1/3=1.

Усложним задачу. Пусть, теперь мы имеем партии с различным числом деталей n1, n2, n3 (могут быть различные производительности линий, участков и пр.). И пусть

n1 / n2 / n3 = k1 / k2 / k3 ;

причем

k1 = 2; k2 =10; k3 = 2.

Тогда, чтобы вычислить среднюю величину несоответствий необходимо учитывать частоту появления детали из каждой партии.

Нетрудно показать, что

р1 = k1 /( k1 + k2 + k3 )= n1 /(n1 + n2 + n3 ) = 2/14;

р2 = k2 /( k1 + k2 + k3 )= n2 /(n1 + n2 + n3 ) = 10/14;

р3 = k3 /( k1 + k2 + k3 )= n3 /(n1 + n2 + n3 ) = 2/14;

где р1, р2, р3 суть частоты (вероятности) появления в совокупности детали соответственно из первой, второй и третьей партии. Условие (1.2) выполнено

р1 + р2 + р3 = 1.

Тогда

qср = q1 * р1 + q2 * р2 + q3 * р3 = 4,14%. (1.4)

Теперь попробуем учесть другой фактор. Пусть отобранные партии изготавливались в разные смены: 1-я и 2-я партии - в первую смену, а 2-я партия - во вторую смену. Пусть в первую смену выпускается 76%, а во вторую 24% деталей.

Вычислим сначала средний уровень несоответствий по первой смене qср(1), учитывая то, что объемы 1-й и 3-й партий выпущенных в эту смену одинаковы.

1-я смена:

qср(1) = q1 * 1/2+ q3 * 1/2 = 2%.

2-я смена:

qср(2) = q2 * 1 = 5%.

Теперь вычислим средний уровень несоответствий с учетом указанных выше объемов сменного выпуска (V) соблюдая условие нормировки (1.2).

V1 =0,76; V2 =0,24.

qср = qср(1) * V1 + qср(2) * V2 .

Или

qср = q1 * w1 + q2 * w2 + q3 * w3 = 1*(0,76*1/2)+5*0,24+3*(0,76*1/2)=2.72% (1.5)

где

w1 = 0,38; w2 = 0,24; w3 = 0,38.

А можно ли учесть сразу и производительность линий и сменный выпуск? Можно:

qср = q1 * a1 + q2 * a2 + q3 * a3 . (1.6) Учитывая условие нормировки (1.2):

a1 + a2 + a3 = 1,

где

a1 = р1 * w1 /(р1 * w1 + р2 * w2 + р3 * w3 ) = 0,151;

a2 = р2 * w2 /(р1 * w1 + р2 * w2 + р3 * w3 ) = 0,754;

a3 = р3 * w3 /(р1 * w1 + р2 * w2 + р3 * w3 ) = 0,095.

Тогда

qср = 1 * 0,151 + 5 * 0,754 + 3 * 0,095 = 4,206%.

Таким образом мы получили четыре значения qср

По формуле (1.3)

qср = q1 * 1/3 + q2 *1/3 + q3 * 1/3 = 3%.

Средний уровень несоответствий для трех выбранных одинаковых партий.

По формуле (1.4)

qср = q1 * р1 + q2 * р2 + q3 * р3 = 4,14%.

Средний уровень несоответствий по трем суммарно работающим линиям с учетом их производительности.

По формуле (1.5)

qср = q1 * w1 + q2 * w2 + q3 * w3=2.72%

Средний уровень несоответствий по двум сменам с учетом их различного вклада в общий объем выпуска.

По формуле (1.6)

qср = q1 * a1 + q2 * a2 + q3 * a3 = 4,206%.

Средний уровень несоответствий в суммарном потоке с учетом двух факторов: различных технологических линий и разных рабочих смен.

Если нас интересует средний уровень несоответствий по всему объему выпускаемых деталей, поступающих на сборку, то, по видимому, последний результат ближе всего к истине, поскольку мы в данном случае имеем дело с выборочными данными, по которым можем получить всего лишь оценку истинного среднего.

Резюме.

Если мы хотим усреднить несколько численных данных случай ной величины ^ An и если есть несколько факторов , , , каждый из которых определяет свою пропорцию (частоту или вероятность) вхождения исходных данных в общий результат

₁, ₂, ₃ . . . _n;

₁, ₂, ₃ . . . _n;

₁, ₂, ₃ . . . _n,

то среднее с учетом всех трех факторов, вычисляется по формуле (1.1) где





чтобы удовлетворить условие нормировки (1.2). Аналогично строится формула для 4-х и более факторов.

^ 2.2 Среднее по гистограмме и распределению


Рис 1 Гистограмма результатов измерений диаметра поршневого пальца.

По горизонтальной оси X отложены отклонения в микронах от номинального значения диаметра, равного 18,000 мм. А по вертикальной оси отложено количество измерений, попавших в соответствующий интервал на оси х, например, столбик соответствующий значению Х=-2, имеет высоту 8, что соответствует 8 пальцам, диаметры которых имеют отклонения от "-3" до "-1" мкм.

Давайте определим, какое среднее значение диаметра пальцев выдает этот технологический процесс. Конечно, можно взять исходные измерения и честно вычислить среднее по формуле (1.1). Но если мы уже имеем гистограмму, то можно поступить проще. Давайте считать, что у нас есть:

1 измерение со значением "-10", т.е. Х1 = -10; к1 = 1;

2 измерения со значением "-8 ", т.е. X2 = -8; к2 = 2;

10 измерений со значением "-6". т.е. Х3 = - 6; к3 = 10

и так далее. Тогда можно усреднить измеренные значения "-10" ,"-8", "-6" и т.д. с весами, пропорциональными высотам соответствующих столбиков гистограммы. Т.е. воспользуемся общей формулой (1.1) с условием нормировки (1.2). Число столбиков будет равно К, причем К, естественно, меньше общего числа измерений, обычно К = .



Коэффициенты
иногда называют относительными частотами


= -3,9 (мкм). (2.1)
соответствующих значений для Хi (i=1, 2,..., K). Значение Хср вычисляется по формулe:
Является ли результат (2.9) точным, совпадет ли он с усреднением по начальным исходным данным? Определенная погрешность здесь, конечно, имеется. Она связана с тем, что вместо исходных измерений, лежащих, например, в интервале от "-7" до "-5" мкм, мы взяли общее для них значение середины интервала "-6", но сохранили число измерений "10", попавших в этот интервал. Однако при большом числе интервалов погрешность такого вычисления становится практически незначимой, а сами вычисления упрощаются.

Нам этот прием будет полезен еще и с методологической точки зрения: при усреднении каждое из усредняемых значений входит в результат с весом, равным относительной частоте этого значения (см. формулу (2.1))