Отношения сходства и различия




Скачать 133.03 Kb.
НазваниеОтношения сходства и различия
Дата публикации07.03.2014
Размер133.03 Kb.
ТипДокументы
uchebilka.ru > Математика > Документы
Все типы нечетких отношений в зависимости от свойств, которыми они обладают, могут быть разделены на три больших класса. В первый класс входят симметричные отношения, которые обычно характеризуют сходство или различие между объектами множества . Второй класс образуют антисимметричные отношения; они задают на множестве отношения упорядоченности, доминирования, подчиненности и т.п. Третий класс состоит из всех остальных отношений.

Отношения каждого класса, в свою очередь, могут быть разделены на подклассы в зависимости от выполнения условий рефлексивности и антирефлексивности.

Рефлексивные и симметричные отношения обычно называют отношениями сходства, толерантности, безразличия или неразличимости. В дальнейшем эти отношения будем называть отношениями сходства и обозначать буквой . Антирефлексивные и симметричные отношения называются отношениями различия и обозначаются буквой . Отношения сходства и отношения различия двойственны друг другу. Антисимметричные отношения, называемые предпорядками и обозначаемые буквой , в зависимости от выполнения условия рефлексивности или антирефлексивности делятся на нестрогие и строгие порядки.

Из отношений третьего класса, обозначаемых буквой , обычно выделяют лишь рефлексивные отношения, которые будут называться слабыми порядками.

На следующем уровне классификации из каждого класса отношений могут быть выделены отношения специального вида. Определяющим условием для них является условие транзитивности. Оно устанавливает связь между силой отношения для различных пар объектов из . Эта связь может быть очень слабой, а может накладывать достаточно сильные ограничения на возможные значения силы отношения между объектами из . Число отличающихся друг от друга условий транзитивности зависит от типа отношения, для которого они формулируются.

Условия транзитивности зависят от вида операций, с помощью которых они определяются. Наиболее общими условиями транзитивности являются условия, определяемые с помощью решеточных операций и в . Более частыми являются условия, определяемые с помощью дополнительных операций в и зависящих от конкретного вида . В этих случаях указывается вид соответствующего множества . Далее мы будем рассматривать нечеткие отношения, определенные на множестве .
^

Отношения сходства и различия


Симметричное и рефлексивное нечеткое отношение сходства является аналогом обычного отношения толерантности. Нечеткие отношения сходства обычно задаются с помощью матриц сходства, связи между объектами, либо с помощью неориентированных взвешенных графов. Матрицы сходства могут быть получены как в результате измерения некоторого физического параметра, так и в результате опроса экспертов, которые для каждой пары объектов из указывают их степень сходства в некоторой шкале сравнений.

Условие транзитивности для нечетких отношений сходства обычно формулируются в виде



которое при различных определениях операции композиции приводит к различным условиям транзитивности. Наиболее распространенными условиями транзитивности являются следующие:

  • ()-транзитивность



  • ()-транзитивность



  • ()-транзитивность



Наиболее интересными свойствами обладает ()-транзитивное отношение сходства , которое является обобщением обычного отношения эквивалентности. Это отношение называется нечетким отношением эквивалентности или отношением подобия. Нетрудно показать, что любой -уровень нечеткого отношения эквивалентности является обычным отношением эквивалентности и, следовательно, определяет разбиение множества объектов на непересекающиеся классы эквивалентности. Из вложенности -уровней нечеткого отношения следует и вложенность разбиений множества , соответствующих различным -уровням, причем с уменьшением происходит укрупнение классов эквивалентности -уровней. Таким образом, нечеткое отношение эквивалентности задает иерархическую совокупность разбиений множества на непересекающиеся классы эквивалентности.

Нечеткое отношение эквивалентности, в отличие от произвольного отношения сходства, определяет совокупность разбиений множества на классы эквивалентности, благодаря тому, что условие транзитивности накладывает дополнительно сильные ограничения на возможные значения степени принадлежности. В случае, когда , отношение сходства транзитивно тогда и только тогда, если для любых из трех чисел по крайней мере, два числа равны друг другу и по величине не превышают третье. Таким образом, нечеткое отношение эквивалентности обладает многими полезными свойствами из-за своего довольно специфического вида.

отношением различия называется симметричное и антирефлексивное нечеткое отношение. Отношение различия двойственно отношению сходства. В случае, когда , эти отношения могут быть получены друг из друга с помощью соотношения:



что можно записать в алгебраической форме как .

Ультраметрикой называется отношение различия, удовлетворяющее следующему неравенству:



Очевидно, что это условие двойственно условию ()-транзитивности. Понятие ультраметрики первоначально возникло и изучалось в кластерном анализе при исследовании свойств меры различия между объектами, определяющих естественное представление множества объектов в виде дерева разбиений. Представление ультраметрики с помощью системы вложенных друг в друга отношений эквивалентности было также известно в кластерном анализе, однако лишь в рамках теории нечетких отношений это представление получило естественное объяснение.

Метрикой называется отношение различия, удовлетворяющее неравенству треугольника:



От метрики обычно требуют выполнения условия сильной антирефлексивности. Метрика, удовлетворяющая лишь простому условию антирефлексивности, называется псевдометрикой. Двойственным по отношению к метрике является ()-транзитивное отношение сходства.

Двойственным условию ()-транзитивности является следующее условие:


^

Задачи нечеткой классификации


Пусть имеется набор фотографических портретов всех членов нескольких семей. Требуется разделить этот набор на группы так, чтобы в каждой оказались портреты членов только одной семьи. Пусть — функция принадлежности нечеткого бинарного отношения сходства на заданном наборе фотографий. Для каждой пары фотографий и значение есть субъективная оценка человеком степени сходства и . Это нечеткое отношение можно рассматривать как своего рода "экспериментальные данные", отражающие понимание человеком понятия "сходства" в данной задаче. Следующий этап — использование этих "данных" для требующейся классификации фотографий.

Заметим, что нечеткое отношение обладает естественными свойствами рефлексивности и симметричности. Оно называется одношаговым отношением, в том смысле, что описывает результаты лишь попарного сравнения портретов друг с другом. Для вводится -шаговое отношение следующим образом:



Это отношение является -арной композицией исходного "экспериментального" отношения и представляет собой в некотором смысле его уточнение. Нетрудно показать, что для любых выполняется цепочка неравенств



из которой следует, в частности, что для любых последовательность имеет предел при . Таким образом, существует предельное отношение сходства, определяемое равенством



Это предельное отношение является конечным результатом обработки результатов нечетких измерений и следующим образом используется для классификации.

Для произвольного числа () вводится обычное (не нечеткое) отношение :



Нетрудно показать, что для любого () есть отношение эквивалентности в , т.е. для любых выполняются обычные аксиомы эквивалентности

(1) рефлексивность,

(2) симметричность,

(3) транзитивность.

Заметим, что (3) есть следствие того, что предельное нечеткое отношение обладает свойством нечеткой транзитивности



Окончательный этап алгоритма классификации — разбиение множества на классы эквивалентности по полученному отношению .

Выбор величины порога в этом алгоритме осуществляется, исходя из условий начальной задачи. В приведенном выше примере с фотографиями этот выбор осуществляли следующим образом. Пусть имеется набор из 20 фотографий представителей 3 семей. Тогда величину выбирают так, чтобы в результате реализации алгоритма классификации получилось 3 класса эквивалентности по отношению .
^

Порядки и слабые порядки


Антисимметричное, транзитивное нечеткое отношение называется отношением упорядочения или порядком. Мы будем рассматривать только строгие порядки, т.е. порядки, для которых выполняется свойство антирефлексивности. Свойства нестрогих (рефлексивных)порядков во многом совпадают со свойствами строгих порядков.

Различные порядки отличаются друг от друга требованиями, предъявляемыми к условию транзитивности. Слабейшее из этих требований — условие ацикличности отношения строгого порядка , наиболее жесткие требования — условия линейной транзитивности и условие квазисерийности.

Если для отношения сходства условие транзитивности обычно записывают в виде и различные способы определения операции композиции позволяют задавать разные типы транзитивности, причем оказывается, что таких типов существует не так уж и много, то для отношения порядка условие транзитивности нечеткого отношения удобно записывать в виде, аналогичном условию транзитивности обычных порядков:



где — некоторая операция в . Оказывается, что из множества всех отношений порядка можно выделить значительное количество отличающихся друг от друга классов порядков специального вида, определяемых как способом задания операции в , так и способом записи условия транзитивности. Далее перечислим некоторые условия транзитивности, определяющие эти классы нечетких строгих порядков. Учитывая асимметричность отношения строгого порядка , будем полагать , если .

  • Ацикличность:



  • Слабая транзитивность:



  • Отрицательная транзитивность:



  • ()-транзитивность:



  • ()- транзитивность:



  • ()- транзитивность:



  • Сильная транзитивность:



  • Сверхсильная транзитивность:



  • Метрическая транзитивность:



  • Квазисерийность:



  • Ультраметрическая транзитивность:



В общем случае предполагается, что рассмотренные условия транзитивности определены для , хотя некоторые условия могут быть обобщены и на случай, когда является решеткой.

Условия ацикличности, слабой транзитивности и отрицательной транзитивности нечеткого отношения равносильны соответственно условиям ацикличности, транзитивности и отрицательной транзитивности обычного отношения , определяемого следующим образом:



Аналогичные свойства могут быть определены как -свойства для различных -уровней отношения .

В отличие от первых трех свойств, остальные свойства более специфичны для нечетких отношений и в большей мере учитывают согласованность силы отношения между элементами множества . Для этих свойств также могут быть сформулированы -свойства.

Частным случаем сильного порядка (порядка, удовлетворяющего условию сильной транзитивности) является метрический порядок. Для асимметричных отношений условие метрической транзитивности эквивалентно неравенству треугольника.

Условие квазисерийности определяет нечеткую квазисерию. Каждый -уровень нечеткой квазисерии является обыкновенной квазисерией, т.е. удовлетворяет условиям



Поскольку обычная квазисерия определяет разбиение множества на упорядоченные классы эквивалентности, нечеткая квазисерия определяет разбиение множества на упорядоченные классы эквивалентности на каждом -уровне. Эти разбиения вложены друг в друга; таким образом, нечеткая квазисерия определяет иерархию разбиений множества на упорядоченные классы эквивалентности.

Частным случаем метрических порядков, помимо квазисерии, является линейный порядок, определяемый условием линейной транзитивности. Линейный порядок при интерпретации как силы предпочтения альтернативы над альтернативой задает на множестве альтернатив некоторую аддитивную функцию полезности, которая может быть определена на , например, с помощью соотношения .

Ультраметрическая транзитивность построена по аналогии с метрической транзитивностью, однако для антисимметричных отношений она не эквивалентна ультраметрическому неравенству .

Между строгими порядками (асимметричными отношениями) и слабыми порядками (рефлексивными отношениями) существует тесная связь. Эти порядки могут быть получены друг из друга с помощью ряда преобразований.

Если на задана операция дополнения, т.е. такая унарная операция , что на выполняются тождества



то на множестве нечетких отношений может быть задана операция дополнения следующим образом:



и на множестве нечетких отношений будут выполняться тождества



Если на множестве нечетких отношений задана операция дополнения, то из отношения строгого порядка могут быть получены:

  • Отношение сходства

  • Отношение различия

  • Отношение слабого порядка

Транзитивностью отношения определяется тот или иной уровень транзитивности отношений и . В частности, если является нечеткой квазисерией, то определяемое им отношение является нечетким отношением эквивалентности, а отношение будет нечетким квазипорядком.

Нечеткие отношения порядка могут быть получены многими способами и допускают различную интерпретацию. Они могут выражать либо значение какого-либо физического параметра, характеризующего интенсивность доминирования над , либо усредненную по множеству критериев или индивидуумов силу предпочтения между объектами. Они могут быть получены с помощью шкалы сравнений, которой эксперты измеряют интенсивность предпочтений при попарных сравнениях альтернатив, могут выражать уверенность, возможность, вероятность доминирования и т.п.
^

Задачи нечеткого упорядочения


Любую задачу принятия решений можно сформулировать как задачу отыскания максимального элемента в множестве альтернатив с заданным в нем отношением предпочтения. Однако во многих реальных ситуациях в множестве альтернатив можно определить лишь нечеткое отношение предпочтения, т.е. указать для каждой пары альтернатив и лишь степени, с которыми выполняются предпочтения и . В таких случаях задача принятия решения становится неопределенной, поскольку неясно, что такое максимальный элемент для нечеткого отношения предпочтения. Для двух типов нечетких отношений можно предложить способы упорядочения элементов конечного множества, в котором задано нечеткое отношение. Способы эти сводятся к тому, что для каждого из рассматриваемых типов нечетких отношений строится некоторая функция (напоминающая функцию полезности), и элементы множества упорядочиваются по соответствующим им значениям этой функции.

Пусть — функция принадлежности бинарного нечеткого отношения в множестве (например, отношения нестрого предпочтения). Допустим, что рассматривается задача упорядочения элементов конечного множества . Упорядочение можно осуществлять по значениям следующей функции:



где , а функция



Для вычисления значений функции удобно пользоваться следующим равенством:



По отношению к этому упорядочению максимальным в множестве является элемент такой, что



Рассмотрим еще одну задачу упорядочения, иллюстрируемую следующим примером.

Требуется решить, кто из детей: старший сын , младший сын или дочь больше всего похож на отца . Заданы "результаты измерений": и взятые отдельно, похожи на отца со степенями и соответственно; и , взятые отдельно, похожи на отца со степенями и ; наконец, и , взятые отдельно, похожи на отца со степенями и .

Таким образом, в этой задаче, в отличие от предыдущей, имеется стандартный элемент (шаблон) для упорядочиваемого множества , т.е. элемент, обладающий свойствами, общими для всех элементов этого множества. Иначе говоря, если — нечеткое отношение в (например, отношение сходства), то



При наличии стандартного элемента для каждой пары элементов и множества задаются величины , , т.е. степени отношения (например, сходства) и , взятых отдельно, к . Упорядочение элементов множества с заданным таким способом нечетким отношением предлагается осуществлять в соответствии со значениями функции



Максимальным в смысле этого упорядочения является элемент такой, что



Для задачи о сходстве отца и детей значения этой функции таковы:



Отсюда вытекает, что наиболее похож на отца старший сын, затем следуют дочь и младший сын.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Отношения сходства и различия iconЕ. П. Ильина, О. А. Слабоспицкая Формы, метрики и свойства отношения...
Азателя, контекста решения и эталонов верификации. Предложен ряд форм отношения сходства и функции оценки для них. Исследованы свойства...

Отношения сходства и различия iconУрок 14 Тема: Разные и похожие. Different and Alike
Вы научитесь: сравнивать людей друг с другом, указывать на их различия и сходства

Отношения сходства и различия iconКакие этапы классического жизненного цикла вы знаете?
Укажите сходства и различия классического жизненного цикла и инкрементной модели

Отношения сходства и различия iconСимвол «великих вод» в романтической литературе
Ведущую роль в определении сходства и различия между ними, их природы и специфики, а также того места, которое каждое из этих понятий...

Отношения сходства и различия iconОсновные особенности древнегреческой и древнеримской цивилизаций и их культуры
Основная задача реферата – описать основные особенности древнегреческой и древнеримской культур, показать их взаимосвязь, выделить...

Отношения сходства и различия iconОб адекватности мер сходства при использовании качественных характеристик объектов
В данной работе рассматриваются некоторые логические аспекты построения мер сходства на базе нечетких качественных характеристик...

Отношения сходства и различия iconЦентрального комитета коммунистической партии советского союза
Производство. Средства производства и производственные отношения. Производственные отношения и отношения общения. Формы государства...

Отношения сходства и различия iconХорошие Отношения. Плохие Отношения
Задача: Помочь участникам понять, что они ценят в отношениях, и для них означает понятие положительные, «здоровые» отношения

Отношения сходства и различия iconСтатья Отношения, регулируемые гражданским законодательством
Гражданским законодательством регулируются товарно-денежные и иные основанные на равенстве участников имущественные отношения, а...

Отношения сходства и различия iconВ погоне за деньгами и властью, мы забываем, зачем строим семейные...
Тизер: Почему так сложно сохранить мирные отношения в семье? Чего мы не знаем или не хотим знать? Влияют ли наши привычки на отношения...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
uchebilka.ru
Главная страница


<