Скачать 141.47 Kb.
|
Журнал Нано-та Електронної Фізики Journal ofNano- and ElectronicPhysics Том ?№ ?, ?????(5cc) (2013) Vol. ?No ?, ?????(5pp) (2013) Обобщенное уравнение Фоккера-Планка для модифицированного уравнения Ландау-Лифшица с белым шумом Пуассона С.И. Денисов, Е.А. Бондарь Сумский государственный университет, ул. Римского-Корсакова, 2, 40007, Сумы, Украина (Получено–; в отредактированной форме –; опубликована online -) Исходя из модифицированного стохастического уравнения Ландау-Лифшица для магнитного момента наночастицы, взаимодействующего с белым шумом Пуассона, выведено обобщенное уравнение Фоккера-Планка. При получении этого уравнения используется интерпретация Ито стохастических уравнений и принимается во внимание тот факт, что магнитный момент под влиянием данного шума может мгновенно изменять свое направление. Анализ стационарного решения обобщенного уравнения Фоккера-Планка показал, что распределение свободного магнитного момента в случайном магнитном поле, имеющем характер белого шума Пуассона, не является равномерным. Эта особенность стационарного распределения проистекает вследствие использования интерпретации Ито стохастического уравнения Ландау-Лифшица. ^ : Стохастическое уравнение Ландау-Лифшица, Белый шум Пуассона, Исчисление Ито, Плотность вероятности, Обобщенное уравнение Фоккера-Планка.
1.Введение В последние годы особый интерес у специалистов, занимающихся исследованием наноматериалов и их физических свойств, вызывают магнитные наночастицы. Такой интерес обусловлен как широким их использованием во многих областях науки и техники, так и перспективами их потенциальных применений [1-3]. Например, магнитные наночастицы оксидов железа используют в технологиях разделения отходов, целенаправленной доставке лекарств, гипотермической обработке раковых клеток и т.д. С другой стороны, изучение магнитных свойств наноматериалов позволяет значительно расширить область их применения и эффективно использовать в средствах магнитной записи информации, сенсорах на эффекте гигантского магнетосопротивления, магнитных затворах, феррожидкостях и др. Вследствие внешних и внутренних флуктуаций, которые являются неотъемлемой частью реальных систем, динамика магнитного момента наночастицы является случайной. Во многих случаях для описания поведения магнитного момента может быть использовано стохастическое уравнение Ландау-Лифшица, в котором влияние флуктуаций учитывается посредством включения в эффективное магнитное поле дополнительного слагаемого с заданными статистическими свойствами. Обычно при изучении роли тепловых флуктуаций это слагаемое аппроксимируется зависящим от времени случайным вектором, компонентами которого являются независимые гауссовские белые шумы. В этом приближении динамика магнитного момента является марковской, а плотность вероятности какого-либо направления магнитного момента удовлетворяет дифференциальному уравнению Фоккера-Планка [4-6]. В частности, в рамках данного подхода изучены особенности магнитной релаксации в двухмерных ансамблях ферромагнитных наночастиц с магнитодипольным взаимодействием [7,8], свойства индуцированной намагниченности систем не взаимодействующих и взаимодействующих наночастиц в циркулярно-поляризованном магнитном поле [9-11], и зависимость среднего времени между последовательными переориентациями магнитного момента от характеристик этого поля [12]. Благодаря центральной предельной теореме [13] приближение гауссовского белого шума является вполне обоснованным, если соответствующий случайный процесс, порождающий этот шум, можно интерпретировать как результат большого числа случайных факторов, ни один из которых не является доминирующим. В противном случае при моделировании случайной динамики магнитного момента может быть использован подходящий для описания конкретной ситуации негауссовский белый шум. Из всего многообразия таких шумов особый интерес представляют белые шумы Леви и Пуассона. Поскольку первый порождается устойчивым процессом Леви, его важность проистекает из обобщенной центральной предельной теоремы, согласно которой только устойчивые распределения имеют область притяжения [14]. С другой стороны, белый шум Пуассона, представляющий собой случайную последовательность дельта-импульсов, распределенных по закону Пуассона, является удобной моделью для описания динамики систем, включая динамику магнитных моментов наночастиц, подверженных сильным, но кратковременным воздействиям. Цель данной работы – получить уравнение для плотности вероятности магнитного момента однодоменной наночастицы, находящейся в случайном магнитном поле, компоненты которого имеют характеристики белого шума Пуассона. Поскольку динамика магнитного момента оказывается довольно сложной, для решения этой проблемы мы использовали модифицированное уравнение Ландау-Лифшица. ^ Мы рассматриваем простейшую модель однодоменной ферромагнитной наночастицы, которая характеризуется магнитным моментом ![]() ![]() ![]() где γ(>0) – гиромагнитное отношение, α(>0) – параметр затухания, знак ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() для полярного ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() а величины ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В дальнейшем мы будем аппроксимировать компоненты ![]() ![]() где ![]() и ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Используя эти средние и формулы (6), можно показать, что ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() и полагаем, что независимые шумы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В данной работе изучается важный с точки зрения приложений случай, когда белый шум ![]() ![]() Здесь ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Поскольку вероятность ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() и ![]() Здесь, ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, система уравнений (5) с белым шумом Пуассона теперь полностью определена, и мы в состоянии найти отвечающее ей обобщенное уравнение Фоккера-Планка. ^ Определяем плотность вероятности ![]() ![]() ![]() ![]() где угловые скобки можно интерпретировать как усреднение по реализациям случайных функций ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Важно отметить, что усреднение в (13) производится по реализациям случайных функций ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() Теперь, используя (13) и (14), найдем производную ![]() ![]() ![]() и воспользовавшись свойствами дельта-функции, после ряда преобразований получаем искомое обобщенное уравнение Фоккера-Планка ![]() + ![]() + ![]() + ![]() ![]() Это уравнение, в отличие от обыкновенного уравнения Фоккера-Планка, является интегро-дифференциальным, что обусловлено скачкообразным характером изменения направления вектора магнитного момента под действием шума Пуассона. Как обычно, решение уравнения (16) должно быть нормировано, ![]() ![]() ^ Рассмотрим некоторые свойства решений обобщенного уравнения Фоккера-Планка (16). Прежде всего отметим, что плотность вероятности ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() тогда проинтегрированное уравнение (16) принимает вид ![]() ![]() Рассмотрим теперь простейший случай свободного магнитного момента, взаимодействующего лишь с пуассоновским шумом. В этом случае ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() которое с учетом соотношения ![]() сводится к виду ![]() Используя соотношение ![]() легко проверить, что интегральное уравнение (20) совместимо с условием нормировки ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 5.Выводы В рамках модифицированного уравнения Ландау-Лифшица впервые рассмотрена стохастическая динамика магнитного момента наночастицы, индуцированная белым шумом Пуассона. Используя интерпретацию Ито стохастических уравнений и скачкообразное изменение направления магнитного момента, мы вывели обобщенное уравнение Фоккера-Планка для плотности вероятности его ориентации. Анализ этого уравнения, основной особенностью которого является его интегральный характер, показал, что изменение плотности вероятности происходит с сохранением ее нормировки. Установлено также, что вследствие использования интерпретации Ито уравнения Ландау-Лифшица, стационарное распределение свободного магнитного момента не является равномерным. ^ with Poisson White Noise S.I. Denisov, O.O. Bondar Sumy State University, 2, Rimsky Korsakov Str., 40007Sumy, Ukraine Using the modified stochastic Landau-Lifshitz equation driven by Poisson white noise, we derive the generalized Fokker-Planck equation for the probability density function of the nanoparticle magnetic moment. In our calculations we employ the Ito interpretation of stochastic equations and take into account the fact that the magnetic moment direction can be changed by this noise instantaneously. The analysis of the stationary solution of the generalized Fokker-Planck equation shows that the distribution of the free magnetic moment in Poisson white noise is not uniform. This feature of the stationary distribution arises from using the Ito interpretation of the stochastic Landau-Lifshitz equation. Keywords: Stochastic Landau-Lifshitz equation, Poisson white noise, Probability density function, Generalized Fokker-Planck equation. ^ Ландау-Ліфшиця з білим шумом Пуассона С.І. Денисов, О.О. Бондар Сумський державний університет, вул. Римського-Корсакова, 2, 40007, Суми, Україна Виходячи з модифікованого стохастичного рівняння руху Ландау-Лівшиця для магнітного моменту наночастинки, що взаємодіє з білий шум Пуассона, виведено узагальнене рівняння Фоккера-Планка. При отриманні цього рівняння використано інтерпретацію Іто стохастичних рівнянь та прийнято до уваги той факт, що магнітний момент під впливом даного шуму може миттєво змінювати свій напрям. Аналіз стаціонарного рішення узагальненого рівняння Фоккера-Планка показав, що розподіл вільного магнітного моменту у випадковому магнітному полі, що має характер білого шуму Пуассона, не є рівномірним. Ця особливість стаціонарного розподілу виникає внаслідок використання інтерпретації Іто стохастичного рівняння Ландау-Ліфшиця. Ключові слова: Стохастичне рівняння Ландау-Ліфшиця, Білий шум Пуассона, Щільність ймовірності, Узагальнене рівняння Фоккера-Планка. ^
6.W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 2 (New York: Wiley, 1971).
7.S.I. Denisov, W. Horsthemke, P. Hänggi, Eur. Phys. J. B 68, 567 (2009). |
![]() | Даты вылета: 07. 06. 2013, 11. 06. 2013, 25. 06. 2013, 28. 06. 2013, 09. 07. 2013, 12. 07. 2013*, 06. 08. 2013*, 09. 08. 2013* | ![]() | Даты тура: 01. 05. 2013, 29. 05. 2013, 12. 06. 2013, 19. 06. 2013, 26. 06. 2013, 03. 07. 2013, 10. 07. 2013, 17. 07. 2013, 24. 07.... |
![]() | Заезды: 03. 09. 2013, 10. 09. 2013, 17. 09. 2013, 24. 09. 2013, 01. 10. 2013, 08. 10. 2013, 15. 10. 2013, 22. 10. 2013 | ![]() | Даты проведения тура: 22. 02. 2013-01. 03. 2013, 24. 03. 2013-31. 03. 2013, 31. 03. 2013-07. 04. 2013, 05. 04. 2013-12. 04. 2013 |
![]() | Даты выезда: 21. 06. 2013-01. 07. 2013; 14. 07. 2013-24. 07. 2013; 06. 08. 2013-16. 08. 2013; 29. 08. 2013-08. 09. 2013 | ![]() | Даты поездки: 27. 06. 2013, 08. 07. 2013, 18. 07. 2013, 29. 07. 2013, 08. 08. 2013, 19. 08. 2013, 29. 08. 2013, 09. 09. 2013, 19.... |
![]() | Даты выездов: 03. 07. 2013-12. 07. 2013; 26. 07. 2013-04. 08. 2013; 18. 08. 2013-27. 08. 2013; 10. 09. 2013-19. 09. 2013 | ![]() | Другие даты заездов этой круизной программы: 23. 05. 2013 16. 06. 2013 10. 07. 2013 03. 08. 2013 27. 08. 2013 20. 09. 2013 14. 10.... |
![]() | Даты выезда : 27. 04. 2013, 15. 06. 2013, 10. 08. 2013, 14. 09. 2013, 19. 10. 2013, 20. 12. 2013 | ![]() | Все даты: 11. 06. 2013, 21. 06. 2013, 02. 07. 2013, 12. 07. 2013, 23. 07. 2013, 02. 08. 2013, 13. 08. 2013, 23. 08. 2013, 03. 09.... |