Методическое пособие для студентов IV курса специальности «Фармация»




Скачать 173.72 Kb.
НазваниеМетодическое пособие для студентов IV курса специальности «Фармация»
Дата публикации18.06.2014
Размер173.72 Kb.
ТипМетодическое пособие
uchebilka.ru > Математика > Методическое пособие


ГУ «ДНЕПРОПЕТРОВСКАЯ МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ»


КАФЕДРА МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ИНФОРМАТИКИ

Методическое пособие для студентов IV курса специальности «Фармация», «Клиническая фармация»

по теме:

Исследование моделей многокомпонентных химических, фармацевтических и пищевых смесей на основе решения системы линейных алгебраических уравнений”

Составители: преп. Копацкая М.В.

ст. преп. Фоменко О.З.

ДНЕПРОПЕТРОВСК

2014

Цель работы: Ознакомится с математическими моделями многокомпонентных химических, фармацевтических и пищевых смесей. Научиться решать системы линейных алгебраических уравнений различными способами при помощи программы Mathcad.

^ Теоретическая часть
Отличительной чертой современного этапа развития естествознания является математизация, а использование математических моделей различных явлений и процессов — ее неотъемлемая часть. Применение математических методов в медицине и фармации приобрело такой размах, что было выделено в специальную научную дисциплину, называемую биометрикой. Кроме того, в последнее время особое внимание уделяется разработке вопросов доказательной медицины, основанной на применении современных информационных технологий.

Математические методы используются и в процессе производства различной продукции (в том числе и лекарственных препаратов), что позволяет проектировать создание оптимальных по ряду критериев (технологических, экономических, экологических, фармакологических) технологических процессов, контролировать качество получаемого сырья, выпускаемой продукции, настройки автоматических линий.
^ Ознакомимся с математической моделью многокомпонентной смеси.

Пусть M – масса смеси, а bi – процент содержания i-того компонента в смеси. Тогда для каждого компонента верно следующее выражение:
, где

q – количество компонентов фармацевтической смеси,

Xi – вес i-того компонента,

aij – процент содержания компонента i в веществе j.
Система таких уравнений и является математической моделью данной смеси.
Пример 1.

Определить, какое количество меланжа (смесь Н2О – 5%, НNO3 – 85%, Н24 – 10%), олеума24 – 100%) и отработки серной кислоты (смесь Н2О – 30%, Н24 – 70%) требуется для формирования 1,2 кг нитрующей смеси со следующими параметрами: Н2О – 25%, НNO3 – 15%, Н24 – 60%.
Составим уравнения материального баланса по каждому параметру смеси:
a11·X1 + a12·X2 + a13·X3 = b1·M баланс по воде;

a21·X1 + a22·X2 + a23·X3 = b2·M баланс по азотной кислоте;

a31·X1 + a32·X2 + a33·X3 = b3·M баланс по серной кислоте.
Здесь масса смеси М равна 1,2 кг.

Х1 – вес меланжа; Х2 – вес олеума; Х3 – вес отработки серной кислоты.
По исходным данным заполняем таблицу коэффициентов уравнений.

Таблица 1

№ п/п

1

2

3

Нитрующая

смесь

Вещество

Меланж

Олеум

Отработка H2SO4

Компоненты, %

H2O

5

0

30

25

HNO3

85

0

0

15

H2SO4

10

100

70

60

Вес, кг

X1

X2

X3

1,2


Используя таблицу 1 подставим коэффициенты в уравнения баланса:


a11 = 5

a12 = 0

a13 = 30

b1 = 25

a21 = 85

a22 = 0

a23 = 0

b2 = 15

a31 = 10

a32 = 100

a33 = 70

b3 = 60


5X1 + 0·X2 + 30X3 = 25·1,2

85X1 + 0·X2 + 0·X3 = 15·1,2

10X1 + 100X2 + 70X3 = 60·1,2
В результате этого получается следующая математическая модель:

5X1 + 30X3 = 30

85X1 = 18

10X1 +100X2+ 70X3 = 72
Решив данную систему уравнений, не трудно найти, что Х1 = 0,212 кг; Х2 = 0,023 кг и Х3 = 0,965 кг.
^ Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) требует отдельного обсуждения.
Способы решения систем линейных уравнений делятся на две группы:

  1. точные методы, представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы (решение систем с помощью обратной матрицы, правило Крамера, метод Гаусса и др.),

  2. итерационные методы, позволяющие получить решение системы с заданной точностью путем сходящихся итерационных процессов (метод итерации, метод Зейделя и др.).

Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются приближенными. При использовании итерационных методов, сверх того, добавляется погрешность метода.

Эффективное применение итерационных методов существенно зависит от удачного выбора начального приближения и быстроты сходимости процесса.

^ Решение матричных уравнений.

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х1, х2, …, хn:




(1)


В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричном виде

Ах = b,

(2)

где:




(3)

Матрица А, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении, называется матрицей системы; матрица-столбец b, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы. Матрица-столбец х, элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы.

Если матрица ^ А - неособенная, то есть детерминант (det A) не равен 0 то система (1), или эквивалентное ей матричное уравнение (2), имеет единственное решение.

В самом деле, при условии det^ A не равн 0 существует обратная матрица А-1. Умножая обе части уравнения (2) на матрицу А-1 получим:




(4)

Формула (4) дает решение уравнения (2) и оно единственно.
В программе Mathcad cистемы линейных уравнений удобно решать с помощью функции lsolve:

lsolve(А, b)

Возвращается вектор решения x такой, что Ах = b.

Аргументы:

А - квадратная, не сингулярная матрица.

b - вектор, имеющий столько же рядов, сколько рядов в матрице А.
На рисунке 1 показано решение системы трех линейных уравнений относительно трех неизвестных.



Рисунок 1.
Метод Гаусса.

Метод Гаусса, его еще называют методом Гауссовых исключений, состоит в том, что систему (1) приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей:






решение которой находят по рекуррентным формулам:



(5)

В матричной записи это означает, что сначала (прямой ход метода Гаусса) элементарными операциями над строками приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:



а затем (обратный ход метода Гаусса) эту ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых n столбцах получилась единичная матрица:

.

Последний (n + 1) столбец этой матрицы содержит решение системы (1).
В Mathcad прямой и обратный ходы метода Гаусса выполняет функция rref(A), дополнительные функции augment(A, В) и submatrix(A, ir, jr, ic, jc):

rref(A)

Возвращается ступенчатая форма матрицы А.
augment(A, В)

Возвращается массив, сформированный расположением A и В бок о бок. Массивы A и В должны иметь одинаковое число строк.
submatrix(A, ir, jr, ic, jc)

Возвращается субматрица, состоящая из всех элементов с ir по jr и столбцах с ic по jc. Удостоверьтесь, что ir jr и ic jc, иначе порядок строк и/или столбцов будет обращен.
На рисунке 2 показано решение системы линейных уравнений методом Гаусса:


Рисунок 2.
Метод итерации.

Пусть дана линейная система (1). Введя в рассмотрение матрицы (3), систему (1) коротко можно записать в виде матричного уравнения (2). Предполагая, что диагональные коэффициенты aij не равны 0 (i = 1, 2, …, n), разрешим первое уравнение системы (1) относительно х1, второе – относительно х2 и т. д. Тогда получим эквивалентную систему:




(6)

Где при i не равно j и αij = 0 при i = j (i, j = 1, 2, …, n).
Введя матрицы и , систему (6) можно записать в матричной форме x = β + α x, а любое (k + 1) приближение вычисляется по формуле

x(k+1) = β + α x (k).

(7)

Напишем формулы приближений в развернутом виде:




(7')


Приведем достаточное условие сходимости метода итераций.
Теорема: Процесс итерации для приведенной линейной системы (6) сходится к единственному ее решению, если какая-нибудь каноническая норма матрицы α меньше единицы, т.е. для итерационного процесса (7) достаточное условие есть



(8)


Следствие 1. Процесс итерации для системы (6) сходится, если:

1) < 1 (m-норма или неопределенная норма)

или

2) < 1 (l-норма или норма L1)

или

3) < 1 (k-норма или Евклидова норма).

Следствие 2. Для системы (1) процесс итерации сходится, если выполнены неравенства:



или

  1. ,

где штрих у знака суммы означает, что при суммировании пропускаются значения i=j, т. е. сходимость имеет место, если модули диагональных элементов матрицы А системы (1) или для каждой строки превышают сумму модулей недиагональных элементов этой строки, или же для каждого столбца превышают сумму модулей недиагональных элементов этого столбца.
Пример 2.

Пусть.

Имеем:

max(1+ 2 + 3, 4 + 5 + 6, 7 + 8 + 9) = max (6, 15, 24) = 24;

max(1+ 4 + 7, 2 + 5 + 8, 3 + 6 + 9) = max (12, 15, 18) = 18;

.

В Mathcad существуют специальные функции для вычисления норм матриц:

normi(A)

Возвращает неопределенную норму матрицы А.
norm1(A)

Возвращает L1, норму матрицы А.
normе(A)

Возвращает Евклидову норму матрицы А.
В качестве условия окончания итерационного процесса можно взять условие



ε - заданная погрешность приближенного решения х ≈ x(k +1).
Пример 3. Методом итераций решить систему уравнений (9).




(9)

Диагональные коэффициенты 100; 200; 100 системы (9) значительно преобладают над остальными коэффициентами при неизвестных, т.е., выполняется следствие 2.
Приведем эту систему к нормальному виду (6):


В матричной форме ее можно записать так:

.



Рисунок 3.

На рисунке 3 приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий дальнейшее решение этой системы.
^ Метод Зейделя.

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода итераций. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (k+1)-е приближения неизвестных x1, x2, …, xi - 1.

Пусть получена эквивалентная система (6). Выберем произвольно начальные приближения корней . Далее, предполагая, что k-ые приближения корней известны, согласно Зейделю будем строить (k+1)-е приближения корней по формулам:




(10)

Заметим, что указанные выше условия сходимости для простой итерации остается верной для итерации по методу Зейделя. Обычно метод Зейделя дает лучшую сходимость, чем метод простой итерации, но приводит к более громоздким вычислениям.
Пример 3. Методом Зейделя решить систему уравнений



Приведем эту систему к виду, удобному для итерации:



В качестве нулевых приближений корней возьмем:

Применяя процесс Зейделя, последовательно получим:




Результаты вычислений с точностью до четырех знаков приведены в таблице 2.

Таблица 2

Нахождение корней линейной системы методом Зейделя

i







0

1,2000

0,0000

0,000

1

1,2000

1,0600

0,9480

2

0,9992

1,0054

0,9991

3

0,9996

1,0001

1,0001

4

1,000

1,000

1,000

5

1,000

1,000

1,000

Точные значения корней: х1 = 1; х2 = 1; х3 = 1.

Другие способы решение систем уравнений в Mathcad

Mathcad дает возможность решать также и системы уравнений с большим количеством переменных. Максимальное число уравнений и переменных равно 50. Результатом решения системы будет численное значение искомого корня.

Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующее:

  • Задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему уравнений. Mathcad решает систему с помощью итерационных методов.

  • Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает Mathcad, что далее следует система уравнений.

  • Ввести уравнения и неравенства в любом порядке (используйте [Ctrl]= для печати символа =; между левыми и правыми частями неравенств может стоять любой из символов <, >, и ).

  • Ввети любое выражение, которое включает функцию Find, например: а:= Find(х,у).

Find(z1, z2, . . .)

Возвращает точное решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.

Ключевое слово ^ Given, уравнения и неравенства, которые следуют за ним, и какое-либо выражение, содержащее функцию Find, называют блоком решения уравнений.

Следующие выражения недопустимы внутри блока решения:

  • Ограничения со знаком .

  • Дискретный аргумент или выражения, содержащие дискретный аргумент в любой форме.

  • Неравенства вида a < b < c.

Блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга, каждый блок может иметь только одно ключевое слово ^ Given и имя функции Find.

Функция, которая завершает блок решения уравнений, может быть использована аналогично любой другой функции. Можно произвести с ней следующие три действия:

  • Можно вывести найденное решение, напечатав выражение вида:

Find(var1, var2,…) =.

  • Определить переменную с помощью функции Find:

a:= Find(x) - скаляр,

var:= Find(var1, var2,…) - вектор.

(Это удобно сделать, если требуется использовать решение системы уравнений в другом месте рабочего документа.)

  • Определить другую функцию с помощью Find

f(a, b, c, …) := Find(x, y, z, …).

(Эта конструкция удобна для многократного решения системы уравнений для различных значений некоторых параметров a, b, c,…, непосредственно входящих в систему уравнений.)

Сообщение об ошибке (Решение не найдено) при решении уравнений появляется, когда:

  • Поставленная задача может не иметь решения.

  • Для уравнения, которое не имеет вещественных решений, в качестве начального приближения взято вещественное число и наоборот.

  • В процессе поиска решения последовательность приближений попала в точку локального минимума невязки. Для поиска искомого решения нужно задать различные начальные приближения.

  • Возможно, поставленная задача не может быть решена с заданной точностью. Попробуйте увеличить значение TOL.


Пример 1 на рисунке 4 иллюстрирует решение системы уравнений в Mathcad.



Рисунок 4.
Символьное решение уравнений

В Mathcad можно быстро и точно найти численное значение корня с помощью функции root. Но имеются некоторые задачи, для которых возможности Mathcad позволяют находить решения в символьном (аналитическом) виде.

Решение уравнений в символьном виде позволяет найти точные или приближенные корни уравнения:

  • Если решаемое уравнение имеет параметр, то решение в символьном виде может выразить искомый корень непосредственно через параметр. Поэтому вместо того, чтобы решать уравнение для каждого нового значения параметра, можно просто заменять его значение в найденном символьном решении.

  • Если нужно найти все комплексные корни полинома со степенью меньше или равной 4, символьное решение даст их точные значения в одном векторе или в аналитическом или цифровом виде.


Команда^ Символы → Переменные → Вычислит позволяет решить уравнение относительно некоторой переменной и выразить его корни через остальные параметры уравнения. Чтобы решить уравнение символьно необходимо:

  • Напечатать выражение (для ввода знака равенства используйте комбинацию клавиш [Ctrl]=).

  • Выделить переменную, относительно которой нужно решить уравнение, щелкнув на ней мышью.

  • Выбрать пункт меню^ Символы → Переменные → Вычислит.

Нет необходимости приравнивать выражение нулю. Если Mathcad не находит знака равенства, он предполагает, что требуется приравнять выражение нулю.
Чтобы решить систему уравнений в символьном виде, необходимо выполнить следующее:

  • Напечатать ключевое слово Given.

  • Напечатать уравнения в любом порядке ниже слова Given. (Удостоверьтесь, что для ввода знака = используется [Ctrl]=)

  • Напечатать функцию Find, соответствующую системе уравнений.

  • Нажать [Ctrl]. (клавиша CTRL, сопровождаемая точкой). Mathcad отобразит символьный знак равенства → .

  • Щелкнуть мышью на функции Find.


Пример 2 на рисунке 4 иллюстрирует символьное решение системы уравнений в Mathcad.
^ Практическая часть


Задание 1

Основываясь на данных из примера 1 теоретической части пособия, рассчитать при помощи Mathcad, какое количество меланжа (смесь Н2О – 5%, НNO3 – 85%, Н2SО4 – 10%), олеума2SО4 – 100%) и отработки серной кислоты (смесь Н2О – 30%, Н2SО4 – 70%) требуется для формирования 1,2 кг нитрующей смеси со следующими параметрами: Н2О – 25%, НNO3 – 15%, Н2SО4 – 60%. Сохранить работу под именем «Z1_группа_фамилия».

Ход работы приведен на рисунке 5.



Рисунок 5.


Задание 2

Используя созданную в задании 1 математическую модель (в том же файле) провести расчеты по расходу меланжа, олеума и отработки серной кислоты для следующих параметров:

меланж: смесь Н2О – 8%, НNO3 – 83%, Н24 – 9%;

олеума: Н24 – 100%;

отработка Н2SО4: смесь Н2О – 24%, Н24 – 76%;

нитрующая смесь массой 2,4 кг: Н2О – 22%, НNO3 – 16%, Н24 – 62%.

Данные сохранить в файл «Z2_группа_фамилия».

Задание 3

Удалив из файла конкретные данные, решить систему уравнений в общем виде. То есть найти символьные значения корней Х1, Х2 и Х3. Данные сохранить в файл «Z3_группа_фамилия».

Контрольные вопросы


  1. Какие способы решения систем линейных уравнений вы знаете?

  2. Возможно ли получение точного результата решения системы уравнений?

  3. Опишите методику решения матричных уравнений.

  4. Какие функции MathCad используются при решении матричных уравнений?

  5. Опишите решение системы уравнений методом Гаусса.

  6. Какие функции MathCad используются при решении систем уравнений методом Гаусса?

  7. Что является достаточным условием сходимости метода итераций?

  8. Что такое неопределённая норма? Какая функция MathCad её вычисляет?

  9. Что такое норма L1?. Какая функция MathCad её вычисляет?

  10. Что такое Евклидова норма?. Какая функция MathCad её вычисляет?

  11. Каково условие окончания итерационного процесса?

  12. В чём заключается метод Зейделя?

  13. В каких случаях возможно появление сообщения об ошибке?

  14. В чём состоит способ символьного решения уравнений в MathCad?

  15. Как формируется модель многокомпонентной смеси в виде системы линейный алгебраических уравнений?

  16. Каково соотношение между количеством уравнений и количеством неизвестных в математической модели смени?

  17. Что является признаком невозможности физической реализации смеси?

  18. В каких случаях система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) имеет бесконечное число решений?

  19. В каких случаях система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) не имеет решений?

  20. Какую физическую интерпретацию имеют следующие элементы математической модели многокомпонентной смеси:

    1. неизвестные (Хi);

    2. коэффициенты при неизвестных (aij);

    3. правые части (bi)?


Использованная литература:
Зубов Н.Н. Математические методы и модели в фармацевтической науке и практике: руководство для провизоров и руководителей фармацевтических предприятий (организаций) / Н.Н. Зубов, С.З. Умаров, С.А. Бунин. - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2008. - 249 с.
Мартыненко В.Ф., Вялкова Г.М., Полесский В.А и др. Информационные технологии в управлении здравоохранением Российской Федерации. Учебное пособие. / Под. ред. академика РАМН Вялкова А.И. – М.: ГЭОТАР-Медиа, 2009. – 248 с.


Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Методическое пособие для студентов IV курса специальности «Фармация» iconМетодическое пособие по курсу «спортивная метрология»
Методическое пособие предназначено для студентов специальности «Спортивный менеджмент», преподавателей, аспирантов. В пособии рассматривается...

Методическое пособие для студентов IV курса специальности «Фармация» iconМетодическое пособие по выполнению курсового проекта для студентов-теплоэнергетиков...
Методическое пособие по выполнению курсового проекта для студентов-теплоэнергетиков специальности

Методическое пособие для студентов IV курса специальности «Фармация» iconУчебно-методическое пособие по патофизиологии для студентов ІІІ курса...
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов 3 курса фармацевтического факультета

Методическое пособие для студентов IV курса специальности «Фармация» iconУчебно-методическое пособие по патофизиологии для студентов ІІІ курса...
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов 3 курса стоматологического факультета

Методическое пособие для студентов IV курса специальности «Фармация» iconУчебно-методическое пособие по патофизиологии для студентов III курса...
...

Методическое пособие для студентов IV курса специальности «Фармация» iconУчебное пособие иркутск 2009 Печатается по решению редакционно-издательского...
Учебное пособие предназначено для студентов 3-4 курсов специальности «Менеджмент организации» лингвистического университета. Пособие...

Методическое пособие для студентов IV курса специальности «Фармация» iconУчебно-методическое пособие (для студентов дневной формы обучения...
Учебно-методическое пособие предназначено для того, чтобы помочь студентам начать использовать современное программное обеспечение...

Методическое пособие для студентов IV курса специальности «Фармация» iconУчебно-методическое пособие по патофизиологии для студентов ІІІ курса...
Учебно-методическое пособие утверждено на учебно-методическом заседании кафедры патофизиологии (протокол №9 от 30. 12. 11г)

Методическое пособие для студентов IV курса специальности «Фармация» iconМетодическое пособие по курсу «теория и методика физического воспитания и спорта»
Методическое пособие предназначено для студентов специальности «Спортивный менеджмент», преподавателей, аспирантов. В пособии рассматривается...

Методическое пособие для студентов IV курса специальности «Фармация» iconПособие по дисциплине «Теория механизмов и машин» для студентов дневной...
Методическое пособие по тмм «Структура механизмов» рассмотрено и рекомендовано к изданию и использованию в учебном процессе для студентов...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
uchebilka.ru
Главная страница


<