Международний соломонов университет экономический факультет в. П. Туров элементы линейной алгебры и аналитической геометрии (методическое пособие)




НазваниеМеждународний соломонов университет экономический факультет в. П. Туров элементы линейной алгебры и аналитической геометрии (методическое пособие)
страница1/14
Дата публикации12.04.2013
Размер2.14 Mb.
ТипМетодическое пособие
uchebilka.ru > Математика > Методическое пособие
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14



МЕЖДУНАРОДНИЙ СОЛОМОНОВ УНИВЕРСИТЕТ

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

В.П.Туров

элементы линейной алгебры и аналитической геометрии


(методическое пособие)















  • Киев 2002

содержание



ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ41. МНОЖЕСТВА41.1 Операции над множествами51.2 Отображения62. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА72.1 Примеры линейных пространств82.2 Размерность, базис, координаты.92.2.1 Линейная зависимость92.2.2 Некоторые замечания102.2.3 Размерность и базис112.3 Примеры122.4 Изоморфизм линейных пространств132.5 Подпространства142.6 Примеры подпространств153. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ173.1 Действия над матрицами183.2 Определители193.3 Свойства определителей213.4 Примеры233.5 Обратная матрица233.6 Ранг прямоугольной матрицы244. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ264.1 Действия над операторами274.2 Примеры линейных операторов284.3 Линейные уравнения294.4 Матрица линейного оператора304.5 Примеры324.6 Переход к новому базису334.7 Собственные значения и собственные векторы линейного оператора355. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ375.1 Случай квадратной матрицы (система порядка nґn)395.1.1 Метод обратной матрицы405.1.2 Правило Крамера415.2 Метод Гаусса. Случай невырожденной квадратной матрицы.425.2.1 Прямой ход метода Гаусса435.2.2 Обратный ход455.3 Случай прямоугольной матрицы (системы порядка mґn)465.3.1 Прямой ход465.3.2 Обратный ход485.4 Пример решения неопределенной системы495.5 Определение ранга матрицы515.6 Нахождение собственных векторов52

6. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА И ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ546.1 Базисы в евклидовом пространстве566.2 Точки в евклидовом пространстве586.2.1 Сферы и шары596.2.2 Замечание о размерностях606.3 Плоскости в пространстве626.3.1 Неединственность выбора параметров. Каноническая форма уравнения плоскости636.3.2 Геометрический смысл параметров уравнения плоскости646.3.3 Плоскости и линейные функционалы666.3.4 Сводка формул: плоскость676.4 Прямые в пространстве686.4.1 Геометрический смысл параметров уравнения прямой686.4.2 Прямая, проходящая через две заданные точки696.4.3 Сводка формул: прямая в пространстве696.5 Прямые на плоскости706.6 Векторное и смешанное произведение. Площади и объемы726.6.1 Смешанное произведение и вычисление объемов746.7 Квадратичные формы766.8 Задачи и решения796.8.1 Плоскости и прямые796.8.2 Векторы, длины, объемы826.8.3. Квадратичные формы86

принятые обозначения

$ – существует

" – все, всякий, любой, для всех, для любого

L, M, N – множества, линейные пространства; Lk (Xm,Yn) линейные пространства размерности k (m,n)

R – множество вещественных чисел

О – из, элемент, содержится

' – содержит

: – такой, что

Ю – влечёт, следует,  - логическое «и»

Ы – эквивалентно. Эквивалентность двух условий означает, что совпадают их множества истинности: АЫВ означает АЮВ и ВЮА

▄ – завершение формулировки, доказательства или замечания





{ } – совокупность, набор, система

a,b,g – вещественные числа

a,b,c…x,y – векторы, элементы линейного пространства

A, B, C – операторы, ^ A, B, C – матрицы

– сумма по индексу i от 1 до n

1. Множества


Множество, элемент, принадлежит первичные неопределяемые понятия. Множеством называют всякую совокупность (набор) объектов, выделенных любым образом. Множества состоят из элементов. В частности, элементами множеств могут быть другие множества. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается .

Подмножество – множество M называется подмножеством множества K (обозначается M K), если всякий элемент M является одновременно элементом K: (M K) Ы (xОM Ю xОK) . Как видно из определения, каждое множество является своим подмножеством. Кроме того, полагается по определению, что пустое множество является подмножеством любого множества. Таким образом, всякое множество имеет два тривиальных подмножества: само множество и пустое множество; все прочие подмножества называются нетривиальными.
^

1.1 Операции над множествами


Над множествами определены две основные операции – объединение и пересечение.

Объединением множеств M и N называется множество K = M N, содержащие все элементы, которые принадлежат хотя бы одному, из множеств M и N , и только такие элементы: x О M N Ы

Пересечением множеств M и N называется множество K = M N, содержащие все элементы, которые принадлежат одновременно обоим множествам M и N, и только такие элементы: x О M N Ы

Операции объединения и пересечения коммутативны (переместительный закон) и ассоциативны (сочетательный закон), в силу последнего они определены не только для двух, но и для любого числа множеств:





Имеет место и дистрибутивность (распределительный закон)



В силу сходства свойств операций, объединение называют также сложением множеств, а пересечение – умножением множеств. 1

Операции объединения и пересечения очевидным образом связаны с логическими операциями. А именно, множество истинности для операции “{” (логическое “и”, например, “четный и положительный”) образуется как пересечение множеств, для элементов которых каждое из условий, объединенных символом “{”, справедливо в отдельности. Соответственно, множество истинности для системы условий, связанных символом “ ” (логическое “или”), образуется как объединение соответствующих множеств, на которых справедливы отдельные условия, входящие в систему2.

1.2 Отображения


Пусть есть множество X состоящее из элементов x (X ' x) и множество Y состоящее из элементов y (Y ' y). Если любым способом каждому x О X поставлен в соответствие единственный y ОY , то мы говорим, что на X определена функция со значениями в Y; этот факт обозначается y = f(x), или x y. Термины “отображение” и “оператор” имеют тот же смысл. Множество X называется множеством аргументов (прообразов), а множество Y – множеством значений (образов). Вообще говоря, не предполагается, что каждый y ОY имеет прообраз – такой x О X, что f (x) = y. Также не требуется, чтобы разным x О X соответствовали различные y ОY. Если оба эти требования выполнены, т.е. если всякий y ОY имеет прообраз, и различным x соответствуют разные y, то мы говорим, что между множествами X и Y установлено взаимно однозначное соответствие.3 В этом случае на Y можно определить функцию со значениями в X, которая каждому y ОY ставит в соответствие его (единственный!) прообраз в X , такая функция называется обратной функцией (обратным оператором, обратным отображением) и обозначается f 1(y)


  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Международний соломонов университет экономический факультет в. П. Туров элементы линейной алгебры и аналитической геометрии (методическое пособие) iconБугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с

Международний соломонов университет экономический факультет в. П. Туров элементы линейной алгебры и аналитической геометрии (методическое пособие) iconЭлементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Проекция вектора на ось. Прямоугольная декартова система координат в пространстве

Международний соломонов университет экономический факультет в. П. Туров элементы линейной алгебры и аналитической геометрии (методическое пособие) iconЭлементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Эквивалентность двух условий означает, что совпадают их множества истинности: АÛВ означает

Международний соломонов университет экономический факультет в. П. Туров элементы линейной алгебры и аналитической геометрии (методическое пособие) iconД. В. Беклемишев, Курс аналитической геометрии и линейной алгебры,...

Международний соломонов университет экономический факультет в. П. Туров элементы линейной алгебры и аналитической геометрии (методическое пособие) iconМеждународный Соломонов Университет Экономический факультет История...

Международний соломонов университет экономический факультет в. П. Туров элементы линейной алгебры и аналитической геометрии (методическое пособие) iconМеждународный Соломонов Университет Экономический факультет Основные...

Международний соломонов университет экономический факультет в. П. Туров элементы линейной алгебры и аналитической геометрии (методическое пособие) iconДревние патриархи Международный Соломонов Университет Экономический...

Международний соломонов университет экономический факультет в. П. Туров элементы линейной алгебры и аналитической геометрии (методическое пособие) iconЭлементы линейной алгебры

Международний соломонов университет экономический факультет в. П. Туров элементы линейной алгебры и аналитической геометрии (методическое пособие) iconТема Элементы линейной алгебры
Решите систему линейных уравнений тремя способами: а по формулам Крамера; б с помощью обратной матрицы; в методом Гаусса

Международний соломонов университет экономический факультет в. П. Туров элементы линейной алгебры и аналитической геометрии (методическое пособие) iconМетодическое пособие Киев-2003 Система интеграции новостей из сети...
Назначение данного пособия ознакомить пользователей (как реальных, так и потенциальных) с системой интеграции новостей InfoStream,...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
uchebilka.ru
Главная страница


<