Плоская задача теории упругости
Скачать 131.63 Kb.
|
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Плоская задача включает в себя плоскую деформацию и обобщенное плоское напряженное состояние.
Плоская деформация представляет собой такое напряженно-деформированное состояние, когда все перемещения точек тела происходят параллельно одной плоскости  .Такое состояние испытывают призматические или цилиндрические тела, высота которых (длина тела) существенно превышает размеры основания. Нагрузка при этом приложена только на гранях параллельно основаниям и не меняется вдоль высоты (длины) тела. В качестве примеров можно привести тело плотины или массивной подпорной стенки (рис. 5, а), длинного катка (рис. 5, б), балки большой ширины сечения (рис. 5, в).  Рис. 5 Поскольку перемещения являются функциями только двух переменных  ,  ,  ,из формул Коши следует, что  ,  ,  ,а остальные деформации также являются функциями только переменных  и  : ,  ,  . (40)При из третьей формулы закона Гука (24) следует ,откуда  .С учетом (41) остальные ненулевые деформации приводятся к такому виду:  , , .Вводя в этих выражениях новые упругие постоянные  ,  , (42)получаем:  (43)С учетом (40) и (43) на основании формул закона Гука в обратной форме (31) заключаем, что напряжения, так же, как перемещения и деформации, являются функциями только переменных и: (44)Основные уравнения теории упругости при плоской деформации упрощаются. Так, из трех дифференциальных уравнений равновесия (1) остаются два:  (45)Так как основания тела свободны от нагрузки, а на боковых поверхностях направляющий косинус нормали  , то из трех условий на поверхности (3) остаются также два: (46)Из шести формул Коши (19) остаются три:  (47)Шесть условий сплошности Сен-Венана (21), (22) сводятся к одному:  . (48)Как было показано раньше, из шести деформаций ненулевыми остаются только три. Соответственно обобщенный закон Гука с учетом упругих постоянных (42) выражается тремя формулами (43).
Обобщенное плоское напряженное состояние характеризуется отсутствием нормальных напряжений на площадках, параллельных одной из координатных плоскостей ( ).Такое напряженное состояние появляется в тонких пластинках, нагрузка к которым приложена только на боковой поверхности силами, параллельными основаниям и равномерно распределенными по толщине пластинки (рис. 6).  Рис. 6 Поскольку основания пластинки свободны от нагрузки, то на них  . Из-за малой толщины пластинки можно полагать, что по всей ее толщине.По тем же причинам можно считать  ,  , а остальные напряжения постоянными по толщине пластинки: ;  ;  . (49)Таким образом, все ненулевые напряжения являются функциями только координат и , а ; (50); . (51)Из третьей формулы закона Гука (24) следует, что  ,т.е. основания пластинки будут искривляться. Таким образом, формулы закона Гука принимают вид:  (52)а  .Формулы (52) отличаются от формул закона Гука для плоской деформации (43) только упругими постоянными. Остальные соотношения плоской деформации: условия равновесия (45), условия на поверхности (46), формулы Коши (47) и условие сплошности (48) сохраняют свой вид и для обобщенного плоского напряженного состояния. Это обстоятельство позволяет объединить обе задачи в одну – плоскую задачу теории упругости. Кстати, пластинку можно рассматривать как призматическое тело, высота которого (толщина пластинки) мала по сравнению с размерами основания. В таком случае при одинаковых условиях загружения призматических тел (только на боковых поверхностях нагрузкой, параллельной основаниям и не меняющейся вдоль высоты тела) для тел с высотой, значительно превышающей размеры основания, имеем плоскую деформацию, а для тел с высотой, значительно меньшей размеров основания, имеем плоское напряженное состояние. Вопросы для самоконтроля
Для определения трех неизвестных составляющих напряжений (  ,  ,  ) имеем два уравнения равновесия (45) и уравнение совместности деформаций (48).При решении в напряжениях условие (48) необходимо преобразовать, заменив деформации через напряжения. Подставим в него деформации из закона Гука (52):  или  . (53)Продифференцируем первое уравнение Навье (45) по , второе по и почленно сложим. При постоянстве объемных сил получаем: ,откуда  .Подставляя полученное выражение в (53), после приведения подобных приходим к такому соотношению:  ,иначе:  или  . (54)Уравнение такого вида называется гармоническим, а функция  , удовлетворяющая ему, является гармонической.Таким образом, задача приведена к интегрированию двух уравнений равновесия:  , и уравнения сплошности: .Введем некоторую функцию  так, чтобы уравнения равновесия удовлетворялись тождественно: (55)Функция называется функцией напряжений (функцией Эри).Подставим напряжения, выраженные через функцию Эри (55) в уравнение сплошности (54). Получаем  ,т.е.  или  . (56)Обозначение  читается «набла четыре» и называется двойным дифференциальным оператором Лапласа. В развернутом виде уравнение (56) запишется так: . (57)Функция , удовлетворяющая уравнению (56), называется бигармонической.Выразим граничные условия также через функцию напряжений:  (58)Таким образом, решение плоской задачи сводится к отысканию бигармонической функции , удовлетворяющей граничным условиям.
Решение в полиномах является одним из вариантов реализации обратного метода решения плоской задачи. Рассмотрим варианты полиномов, принимаемых для выражения функции напряжений. ^  , (59)очевидно, неприменим для функции напряжений, т.к. его вторые производные обращаются в ноль, что соответствует отсутствию напряжений. ^  (60)дает нулевые четвертые производные, следовательно, бигармоническое уравнение (56) удовлетворяется тождественно. При этом вторые производные являются константами, что соответствует постоянству напряжений и, следовательно, равномерной нагрузке на контуре пластинки. ^  (61)также дает нулевые четвертые производные, т.е. является бигармоническим. Так как вторые производные этого полинома являются линейными функциями, то такая функция напряжений соответствует линейно меняющейся нагрузке на контуре пластинки. Полином четвертой степени  (62)дает такие четвертые производные:  ;  ;  .Подставляя их в уравнение (56), получаем  или  . (63)Таким образом, полином (62) удовлетворяет бигармоническому уравнению при условии (63). Т.е. любые четыре коэффициента, например  ,  ,  ,  могут быть взяты произвольными, а пятый должен быть выражен через них из (63): .Тогда полином (62) должен выглядеть так:  .Аналогично можно показать применение полиномов более высокой степени для решения задачи. В общем случае нагружения необходимо разложить нагрузку на контуре по полиномам. Далее для каждой составляющей нагрузки принять соответствующую функцию напряжений и найти ее коэффициенты из граничных условий. Просуммировав затем полученные функции напряжений, получаем решение задачи.
Рассмотрим функцию  ,где  − функция только координаты ; ; − длина контура вдоль оси .Четвертые производные этой функции будут такими:  ;  ;  .Подставляя эти производные в уравнение (56), получаем  или  . (64)Так как это уравнение удовлетворяется при любых значениях , то  .Решение уравнения (65) запишем через гиперболические функции:  .Таким образом функция  является бигармонической. Аналогично можно показать, что бигармонической является и функция  .Тогда для решения плоской задачи можно принять функцию напряжений в виде тригонометрического ряда  (66)При использовании этого решения нагрузка на контуре также должна быть разложена в тригонометрический ряд. Значения постоянных  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  находят из граничных условий.
Метод конечных разностей (метод сеток) является эффективным средством приближенного решения дифференциальных уравнений. Его суть заключается в том, что непрерывная функция заменяется набором значений в фиксированных точках. При этом производные функции выражаются через разности значений функции в точках, благодаря чему дифференциальное уравнение заменяется системой линейных алгебраических уравнений. Рассмотрим некоторую функцию одной переменной  , график которой приведен на рис. 7.  Рис. 7 Выберем на оси точки, отстоящие друг от друга на равном расстоянии  , называемом шагом. Тогда значение первой производной  в точке  можно приближенно записать так: . (67)Применяя дважды выражение (67), можно записать вторую производную:  .Сокращая интервал в два раза, получаем:  . (68)Аналогично, применяя дважды (68), запишем четвертую производную:  . (69)Для плоской задачи дифференциальное уравнение записывается в частных производных. Разобьем область (рис. 8) сеткой на ячейки с одинаковыми размерами  .  Рис. 8 Пронумеруем точки вокруг исследуемой точки  и запишем производные в этой точке, используя выражения (67), (68), (69): ;  ; (70) (71) (72)Теперь, используя (72), можно записать бигармоническое уравнение (56) в конечных разностях. После сокращения на  оно принимает для точки такой вид: (73)Уравнения (73) могут быть записаны для каждой точки внутри контура. В них войдут также значения функции напряжений для точек на контуре и отстоящих на один шаг за контуром (штриховые линии на рис. 8). Значения функции на контуре и за контуром находят из граничных условий. В таком случае получают полную систему линейных алгебраических уравнений для определения значений в точках внутри контура.Для записи граничных условий проф. Л.П.Синицын предложил использовать балочную аналогию. Рассматривая верхнюю грань контура как балку, можно составить зависимость между изгибающим моментом и нагрузкой:  .В то же время для напряжений из граничного условия имеем: .Сравнивая приведенные зависимости получаем:  или, после интегрирования  .Так как напряжения выражаются через вторые производные функции напряжений, то значения констант  и  не сказываются на их величине и можно принять .При этом, поскольку константы интегрирования в выражении момента зависят только от характера закреплений балки, последние можно принимать любыми. Как правило, удобно определять эти изгибающие моменты считая контур ремой с шарнирными соединениями стержней в узлах (рис. 9). Положительными при этом считаются моменты, растягивающие волокна стержней, расположенные внутри рамы.  Рис. 9 Для определения значения в законтурной точке  (рис. 8) запишем ее производную для соответствующей точки  на контуре: .Отсюда получаем:  .Значение производной  на верхней грани получим из выражения  .Действительно  ,откуда  .При отсутствии касательной нагрузки на контуре  и производная постоянна вдоль грани. Учитывая, что на левой вертикальной грани равно производной  изгибающего момента вертикального элемента рамы, получаем, что при   . Эта поперечная сила в вертикальном стержне рамы из равновесия узла равна продольной силе в горизонтальном стержне:  Тогда для прямоугольного контура при отсутствии касательной нагрузки получаем:  . (74)С учетом соответствия знаков между поперечными и продольными силами в узлах рамы, аналогичное соотношение справедливо для законтурных точек на других гранях. Например, на левой грани для т.  имеем: .После составления и решения системы уравнений вида (73) напряжения определяются по формулам (55), записанным в конечных разностях. Например, для точки получаем: (75)Как уже указывалось, метод конечных разностей является приближенным. Точность расчета повышается с уменьшением шага сетки. Метод дает возможность решать плоскую задачу при сложном очертании контура, а также при наличии вырезов внутри области. Вопросы для самоконтроля
|
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Теория упругости является частью общей науки о прочности, жесткости и устойчивости сооружений. Эти же вопросы рассматриваются в сопротивлении... |  | Выявления эффекта влияния границы на распределение коэффициентов интенсивности напряжений (кин) в вершинах трещины для задач теории... |
| УП, которые имеют подобные стекло волокну свойства, но более дешевыми. Как правило, у уп модуль упругости в 3 раза превышает модуль... | | Плоский стержень имеет 2 точки опоры. Он прогибается под действием силы, приложенной в центре. Модуль упругости определяется из прогиба... |
| Целью настоящей работы является анализ специализированной ПрО метода сингулярных интегральных уравнений (сиу), а также алгоритма... | | Теория игр изучает математические модели конфликтных ситуаций. Частная задача теории игр матричная игра двух лиц, интересы которых... |
| Разложение большого целого числа на простые множители (задача факторизации) вторая классическая сложная задача теории чисел. Таким... | | Как известно, армирование бетона волокнами модуль упругости, которых выше, чем модуль упругости матрицы, способствует повышению прочностных... |
| Задача Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1,2, 3, 4, 5, если | | Тема Буржуазная политическая экономия второй половины ХІХ начала ХХ ст. Становление неокласической традиции в экономической теории.... |