Статистическая обработка результатов измерений Методические указания к курсовому проектированию по курсу «Математическая статистика»




НазваниеСтатистическая обработка результатов измерений Методические указания к курсовому проектированию по курсу «Математическая статистика»
страница1/5
Дата публикации15.06.2013
Размер0.78 Mb.
ТипМетодические указания
uchebilka.ru > Математика > Методические указания
  1   2   3   4   5


Министерство образования Российской Федерации

МАТИ “– Российский Государственный Технологический

Университет им. К. Э. Циолковского.

__________________________________________________________

Кафедра «Высшая математика»



Статистическая обработка результатов измерений

Методические указания к курсовому проектированию по курсу «Математическая статистика»


Составители: И. Ф. Заварзина


И. А. Данилина

А. С. Ионова

Москва 2001



I. Задачи математической статистики

При изучении курса теории вероятностей предполагалось, что вероятности наступления отдельных событий известны. Считались известными законы распределения случайных величин или их числовые характеристики. Как правило, на практике вероятности наступления событий, законы распределения случайных величин или параметры этих законов распределения неизвестны. Для их определения (оценивания) необходимо производить эксперимент, специальные испытания.

При обработке эксперимента статистическими методами основные понятия теории вероятностей выступают как некоторые модели реальных закономерностей.

Основой статистических методов являются экспериментальные данные, часто называемые статистическими данными.

Одним из основных методов статистического наблюдения является выборочный метод. Рассмотрим основные понятия этого метода.
^ II. Генеральная и выборочная совокупность
Пусть для исследования закономерностей случайного явления произведено n опытов, в результате которых получен ряд наблюдений x1, x2, ..., xn. Требуется обработать этот ряд статистически. Для этого надо вначале построить математическую модель ряда наблюдений, т.е. указать, какие величины случайны, какие не случайны, какие зависимы, какие не зависимы и т.д.

Ставится задача оценить функцию распределения F(x) исследуемой

СВ X, т.е. построить уточненную вероятностную модель ряда наблюдений x1, x2, ..., xn, которая бы отражала в себе основные статистические особенности этого ряда.

Наиболее точные сведения о случайной величине X можно получить, производя максимально возможное количество измерений этой случайной величины.

Определение 1. Генеральной совокупностью называется совокупность всех мыслимых наблюдений, которые могли бы быть сделаны при данном реальном комплексе условий измерений. Число членов, входящих в генеральную совокупность, называют объемом генеральной совокупности.

Определение 2. Выборочной совокупностью или просто выборкой объема n называется совокупность n объектов, отобранных из исследуемой генеральной совокупности.

Определение 3. Метод, состоящий в том, что на основании характеристик и свойств выборки х1, х2, ..., хn делаются заключения о числовых характеристиках и законе распределения СВ Х, называется выборочным методом.

Для того чтобы сведения о законах распределения СВ Х были объективны, необходимо, чтобы выборка была репрезентативной, т.е. представительной. Существуют специальные методы для этого.
^ III. Статистический ряд. Статистический закон распределения случайной величины
Предположим, что изучается дискретная или непрерывная случайная величина, закон распределения которой неизвестен. Для оценки закона распределения этой случайной величины и его числовых характеристик производится ряд независимых измерений x1, x2, ..., xn.Статистический материал представляют в виде таблицы, состоящей из двух строк, в первой из которых даны номера измерений, а во второй – результаты измерений.


i – номер измерения

1

2

....




xi – результат измерений

x1

х2

....

хn



Такую таблицу называют простым статистическим рядом.

Для того чтобы правильно оценить закон распределения СВ Х, производят группировку данных. Если X – дискретная СВ, то наблюденные значения располагаются в порядке возрастания и подсчитываются частоты mi или частости mi/n появления одинаковых значений СВ Х. В результате получаем сгруппированные статистические ряды:


хi

x1

х2

....

хk

mi

m1

m2

....

mk

к

Контроль: mi = n .

i = 1


хi

х1

х2

......

хn

mi/n

m1/n

m2/n

......

mk/n

k

Контроль: mi/n = 1.

i =1

Если изучается непрерывная случайная величина, то группировка заключается в разбиении интервала наблюденных значений случайной величины на k частичных интервалов равной длины [x0; x1 [, [x1; x2 [, [x2; x3 [, ...... [xk-1;xk] и подсчете частоты или частости mi/n попадания наблюденных значений в частичные интервалы. Количество интервалов выбирается произвольно, обычно не меньше 5 и не больше 15.

В результате составляется интервальный статистический ряд следующего вида:


СВХ

[x0; x1 [

[x1; x2 [

....

[xk-1;xk]

mi/n

m1/n

m2/n

....

mk/n

k

Контроль:  mi/n = 1.

i = 1
Определение. Перечень наблюденных значений СВ Х (или интервалов наблюденных значений) и соответствующих им частостей mi/n называется статистическим законом распределения случайной величины.

Статистические законы позволяют визуально произвести оценку закона распределения исследуемой случайной величины.
^ IV. Эмпирическая функция распределения
Эмпирической функцией распределения случайной величины X называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения x частость события (X < x):

F*(x) = nx/n;

где nx – число хi, меньших x; n – объем выборки.

Из теоремы Бернулли следует, что при достаточно большом объеме выборки функции F*(x) и F(x) = P(X < x) мало отличаются друг от друга.

Эмпирическая функция распределения обладает всеми свойствами интегральной функции распределения:

  1. значения эмпирической функции F*(x) принадлежат отрезку [0, 1];

  2. F*(x) – неубывающая функция;

  3. если х1 – наименьшее, а xn- наибольшее наблюденное значение, то F*(x) = 0 при х < x1 и F*(x) = 1 при x > x1.

Основное значение эмпирической функции распределения состоит в том, что она используется в качестве оценки функции распределения

F(x) = P(X < x).

Пример. Построить F*(x) по статистическому распределению СВ Х:



xi

2

3

5

mi/n

0.75

0.20

0.05

Решение. Относительная частота события (Х < x) равна F*(x). Следовательно,

при

График F*(x) изображен на рисунке 1.

Для наглядности сгруппированные статистические ряды изображают в виде графиков и диаграмм. Наиболее распространенными графиками являются полигон и гистограмма. Полигон применяется для изображения как дискретных, так и интервальных статистических рядов, гистограмма - для изображения только интервальных рядов.

Пример. Результаты исследования прочности 200 образцов бетона на сжатие представлены в виде интервального статистического ряда.


интервалы прочности

кг/см2

частоты

mi

частости

mi/n

190 – 200

200 – 210

210 – 220

220 – 230

230 – 240

240 – 250

10

26

56

64

30

14

0.05

0.13

0.28

0.32

0.15

0.07



n = mi = 200, mi/n = 1.

i i

На рисунке 2 представлена гистограмма. На оси абсцисс откладываются частичные интервалы наблюденных значений случайной величины Х, на каждом из которых строим прямоугольник, площадь которого равна частости данного частичного интервала. Высота элементарного прямоугольника частостей равна mi/nh, где h – длина интервала.

Если на гистограмме частостей соединить середины верхних сторон прямоугольников, то полученная замкнутая ломаная линия образует полигон распределения частостей.

^ V. Основные законы распределения случайных величин, используемых в математической статистике

П.1. Нормальное распределение
Нормальная модель распределения вероятностей играет исключительно важную роль в теории вероятностей и математической статистике. Главная особенность нормального распределения состоит в том, что оно является предельным, к которому приближаются другие распределения при соблюдении некоторых условий.

Нормальные распределения часто встречаются на практике в самых различных областях. Принято считать, что все ошибки измерений, вес деталей, размер деталей, дальность полета артиллерийского снаряда и многие другие случайные величины имеют нормальное распределение.

Нормальное распределение задается функцией плотности вероятности:
, (5.1)
где а – математическое ожидание случайной величины Х , т.е. М (Х) = а;

 - среднее квадратичное отклонение СВ Х, т.е.

(D (X) – дисперсия случайной величины).

Из формулы (5.1) видно, что нормальная модель зависит от двух параметров а и , поэтому ее называют двухпараметрической моделью распределения.

Если случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами M(X) = a и , то этот факт кратко записывают с помощью символичной записи: СВ ХN (a, ).

График функции плотности вероятности называют нормальной кривой или кривой Гаусса.

Эта кривая изображена на рисунке 3.

10. f(x) определена при всех х  R.

20. Кривая нормального распределения симметрична относительно прямой

х = а.

30. Кривая Гаусса имеет максимум в точке х = а:
.

40. Кривая Гаусса имеет две точки перегиба:

x1 = a -  и x2 = a + .

50. Площадь, заключенная между кривой Гаусса и осью абсцисс, равна 1; между осью абсцисс, кривой Гаусса и прямыми а  2 равна  0,95.

60. При увеличении (уменьшении) параметра  максимальная ордината уменьшается (увеличивается), см. рис. 4. Другими словами, параметр  характеризует форму кривой, при неизменном положении центра кривой; так как площадь под кривой Гаусса всегда равна 1 , то, если  увеличивается, то кривая становится плоско – вершинной,  уменьшается – кривая Гаусса вытягивается вверх. Параметр  иногда называют параметром масштаба.

70. Если изменять математическое ожидании а при неизменном , то кривая Гаусса будет смещаться вдоль оси абсцисс, т.е. параметр а = М (Х) характеризует положение кривой при неизменной форме. Иногда параметр a называют параметром сдвига (см. рис. 5) .

Если СВ Х N (a, ), то случайная величина имеет нормальное распределение с параметром и  (U) = 1, т.е. UN (0,1). Поэтому случайную величину называют нормированной или стандартизованной нормальной величиной. Плотность распределения вероятностей нормированной случайной величины U имеет вид:



. (5.2)

Функция распределения СВ ХN (a, ) имеет следующий вид:
. (5.3)

Функция распределения нормализованной случайной величины

.

Для облегчения вычисления вероятности попадания СВ ХN (a, ) в интервал ], [ вводится нормированная функция Лапласа:


Тогда.

Используя нормированную функцию Лапласа, можно записать функцию распределения СВ ХN (a, ) в виде:
.
  1   2   3   4   5

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Статистическая обработка результатов измерений Методические указания к курсовому проектированию по курсу «Математическая статистика» iconПланирование эксперимента и статистическая обработка результатов...
Планирование эксперимента и статистическая обработка результатов измерений : методические указания к лабораторным работам для студентов...

Статистическая обработка результатов измерений Методические указания к курсовому проектированию по курсу «Математическая статистика» iconМетодические указания по курсовому проектированию по курсу «Детали...
Методические указания по курсовому проектированию по курсу «Детали машин и основы проектирования» / составители С. О. Шарапов, Ю....

Статистическая обработка результатов измерений Методические указания к курсовому проектированию по курсу «Математическая статистика» iconМетодические указания к выполнению контрольной работы по курсу «Теория...
Методические указания к выполнению контрольной работы по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов экономических...

Статистическая обработка результатов измерений Методические указания к курсовому проектированию по курсу «Математическая статистика» iconК курсовому проектированию по курсу «водоснабжение города»
Методические указания к курсовому проектированию по курсу «Водоснабжение города» (для студентов 2-3 курсов всех форм обучения, а...

Статистическая обработка результатов измерений Методические указания к курсовому проектированию по курсу «Математическая статистика» iconМетодические указания к курсовому проектированию по дисциплине «Основы...
Методические указания к курсовому проектированию по дисциплине «Основы конструирования и детали машин». Типовые ошибки при выполнении...

Статистическая обработка результатов измерений Методические указания к курсовому проектированию по курсу «Математическая статистика» iconМетодические указания к курсовому и дипломному проектированию (для...
Соединения с подшипниками качения. Точность, посадки, основы сборки. Методические указания к курсовому и дипломному проектированию...

Статистическая обработка результатов измерений Методические указания к курсовому проектированию по курсу «Математическая статистика» iconМетодические указания к курсовому проектированию для студентов всех...
Методические указания к курсовому проектированию (для студентов всех специальностей направления «Инженерная механика»). Области применения...

Статистическая обработка результатов измерений Методические указания к курсовому проектированию по курсу «Математическая статистика» iconМетодические указания к курсовому проектированию для студентов всех...
Методические указания к курсовому проектированию (для студентов всех специальностей направления «Инженерная механика»). Области применения...

Статистическая обработка результатов измерений Методические указания к курсовому проектированию по курсу «Математическая статистика» iconМетодические указания к практическим занятиям по курсу «Статистика в машиностроении»
Методические указания к лабораторным работам по курсу «Статистика в машиностроении» (для студентов всех форм обучения направления...

Статистическая обработка результатов измерений Методические указания к курсовому проектированию по курсу «Математическая статистика» iconМетодические указания и контрольные задания по курсу «Статистика»
Программа, методические указания и контрольные задания по курсу «Статистика» для студентов заочного отделения экономических специальностей...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
uchebilka.ru
Главная страница


<