Статистическая обработка результатов измерений Методические указания к курсовому проектированию по курсу «Математическая статистика»




НазваниеСтатистическая обработка результатов измерений Методические указания к курсовому проектированию по курсу «Математическая статистика»
страница3/5
Дата публикации15.06.2013
Размер0.78 Mb.
ТипМетодические указания
uchebilka.ru > Математика > Методические указания
1   2   3   4   5

^ VIII. Примеры обработки результатов эксперимента

Измерена максимальная емкость шести конденсаторов, выбранных из большого числа конденсаторов.

Получены следующие результаты (в пф) 4,45; 4,40; 4,42; 4,45; 4,38; 4,42. Предполагая, что результаты измерений имеют нормальное распределение, требуется:

  1. найти точечные несмешанные оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения;

  2. записать плотность вероятности и функцию распределения СВ Х (емкости конденсаторов);

  3. найти доверительный интервал, накрывающий математическое ожидание емкости конденсаторов с заданной доверительной вероятностью (1-) = 0,95, считая  неизвестной;

  4. найти доверительный интервал, накрывающий неизвестное среднее квадратичное отклонение  с заданной доверительной вероятностью (1-) = 0,95;

  5. принимая доверительную вероятность Р = 1- = 0,99, найти предельную погрешность, с которой оценивает математическое ожидание а емкости конденсаторов;

  6. найти минимальное число конденсаторов, емкость которых надо измерить, чтобы с доверительной вероятностью (1-) = 0,95 можно было бы утверждать, что, принимая среднее арифметическое за математическое ожидание емкости конденсаторов, мы совершаем погрешность , не превышающую  = 0,5, считая

 = S;

  1. вычислить Р(4,41 < x < 4.43).

Решение:

1) (пф – микрофарад)

и пф.

2) Следовательно, плотность вероятности СВ Х (емкость конденсаторов) имеет вид:

.

Функция распределения емкости конденсаторов имеет вид:

.

Используя нормированную функцию Лапласа

,

можно записать

.

  1. Найдем интервальные оценки параметров нормального распределения емкости конденсаторов. Для нахождения доверительного интервала, накрывающего математическое ожидание, найдем по таблице квантилей распределение Стьюдента по заданной доверительной вероятности Р = 1- = 0,95 и числу степеней свободы  = n-1 = 6-1 = 5 квантиль .

Вычислим предельную погрешность интервального оценивания математического ожидания

(пф).

Искомый доверительный интервал, накрывающий математическое ожидание емкости конденсаторов с заданной доверительной вероятностью Р = 0,95, равен:

;

4,42 - 0,029 < a < 4,42 + 0,029;

4,391 < a < 4.449.

Смысл полученного результата:

если будет произведено достаточно большое число выборок по 6 конденсаторов из бесконечно большой по численности партии конденсаторов, то в 95% случаев из них доверительный интервал накроет неизвестное математическое ожидание и только в 5% математическое ожидание может выйти за границы доверительного интервала.

  1. Для нахождения доверительного интервала, накрывающего неизвестное среднее квадратическое отклонение  с заданной доверительной вероятностью (1-) = 0,95, найдем по заданной доверительной вероятности 0,95 и числу степеней свободы

 = n-1= 6-1 = 5 два числа 1 и 2, т.е. 1 = 0,624 и 2 = 2,45. Искомый доверительный интервал равен:

1S <  < 2S;

0.624*0.028 <  < 2.45*0.028;

0.017 <  < 0.068.

  1. Если задать доверительную вероятность Р = 1- = 0,99, то предельная погрешность, с которой среднее арифметическое емкости конденсаторов оценивает неизвестное математическое ожидание, равна:



  1. Найдем минимальное число конденсаторов, емкость которых необходимо измерить, чтобы с доверительной вероятностью Р = 1- = 0,95 можно было бы утверждать, что, принимая среднее арифметическое за математическое ожидание емкости конденсаторов, мы совершаем погрешность, не превышающую 0,2 = 0,0056, считая  известным и равны 0,028 .

Искомый объем выборки найдем из соотношения

конденсаторов.

7)



^ Задания для самостоятельного решения
Ниже приводятся результаты измерений некоторой физической величины, которые будут рассматриваться как n реализаций случайной величины X. Предполагая, что СВ Х имеет нормальное распределение, требуется:

  1. Найти точечные несмещенные оценки математического ожидания а и среднего квадратического отклонения .

  2. Записать плотность вероятности и функцию распределения СВ Х.

  3. Найти доверительный интервал, накрывающий математическое ожидание СВ Х с заданной доверительной вероятностью Р = 1- = 0,95, считая  неизвестным.

  4. Найти доверительный интервал, накрывающий среднее квадратическое отклонение  с заданной вероятностью Р = 1- = 0,95.

  5. Принимая Р = 1- = 0,99, найти предельную погрешность, с которой среднее арифметическое оценивает неизвестное математическое ожидание СВ Х.

  6. Найти минимальное число измерений, которое нужно произвести, чтобы с доверительной вероятностью Р = 1- = 0,95 можно было бы утверждать, что, принимая М (Х) = , мы совершаем погрешность, не превышающую  = 0,2S.

  7. Вычислить:

.
Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.

СВ Х – сопротивление резистора в кило омах.

i – номер

резистора

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

xi – сопротивление

резистора (ком)

4,8

6,2

6,0

5,9

5,6

4,9

6,0

6,1

5,5

5,8

5,7

5,1

5,5

6,2

5,4


Р (Х < 5) = ?
Задача 2.

СВ Х – еженедельные затраты времени ( в часах) на посещение библиотеки, определяемые путем анкетирования:

i – номер анкеты

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

xi – затраты времени (ч)

2,2

4,5

3,8

5,0

3,0

6,0

12,0

8,0

16,2

15,0

2,0

1,0

Р (8 < X < 14) = ?
Задача 3.

СВ Х – индуктивность катушки в мгн.

i – номер катушки

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

xi – индуктивность (мгн)

8,345

8,346

8,348

8,342

8,343

8,345

8,343

8,347

8,344

8,347

Р (8,345 < X < 8,349) = ?

^ IX.Критерий согласия 2

Предположим, что по виду гистограммы или полигона частостей или из каких - либо других соображений удается выдвинуть гипотезу о множестве функций определенного вида (нормальных, показательных, биномиальных и т. п.), к которому может принадлежать функция распределения исследуемой СВ Х. Критерий 2 Пирсона позволяет производить проверку согласия эмпирической функции распределения F*(x) с гипотетической функцией распределения F(x).

Для этого придерживаются следующей последовательности действий:

  1. на основании гипотетической функции F(x) вычисляют вероятность попадания СВ Х в частичные интервалы :

; i =1, 2, ..., k;

2) умножая полученные вероятности pi на объем выборки n, получают теоретические частоты npi частичных интервалов ,т.е. частоты, которые следует ожидать, если гипотеза справедлива;

3) вычисляют выборочную статистику (критерий) 2:

2набл. = .

Можно показать, что если гипотеза верна, то при распределение выборочной статистики, независимо от вида функции F(x), стремится к распределению 2 с  = k-r-1 степенями свободы ( k – число частичных интервалов, r - число параметров гипотетической функции F(x), оцениваемых по данным выборки).

Критерий 2 сконструирован таким образом, что чем ближе к нулю наблюдаемое значение критерия 2, тем вероятнее, что гипотеза справедлива. Поэтому для проведения гипотезы применяется критерий 2 с правосторонней критической областью. Необходимо найти по таблицам квантилей 2 – распределения по заданному уровню значимости  и числу степеней свободы  = k-r-1 критическое значение , удовлетворяющее условию .

Если 2набл. 2,, то считается, что гипотетическая функция F(x) не согласуется с результатами эксперимента. Если 2набл. 2,, то считается, что гипотетическая функция F(x) согласуется с результатами эксперимента.
Замечание. При применении критерия 2 необходимо, чтобы в каждом частичном интервале было не менее 5 элементов. Если число элементов (частота) меньше 5,то рекомендуется объединять такие частичные интервалы с соседними.

^ X. Курсовая работа
Каждому студенту в соответствии со своим номером варианта требуется:

  1. записать исходную выборку в виде таблицы;

  2. построить статистический ряд;

  3. записать сгруппированную выборку в виде таблицы;

  4. построить график эмпирической функции распределения;

  5. построить гистограмму;

  6. проверить гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины Х и записать вычисления в таблицу;

  7. построить график плотности случайной величины Х.

При выполнении работы принять уровень значимости  = 0,05, отрезок [24,5; 54,5], число интервалов k = 10. Варианты индивидуальных заданий приведены в таблице.

i – му варианту соответствуют элементы выборки, расположенные в

15 – ти следующих строчках таблицы, начиная с i – й (объем выборки при этом n = 150).


1

48

39

43

44

34

34

32

43

40

46

2

25

31

34

49

39

37

45

49

31

49

3

43

46

34

35

42

32

41

34

42

42

4

38

40

46

47

34

42

38

40

38

36

5

30

43

41

40

40

35

35

41

38

45

6

37

42

38

36

44

39

32

48

43

39

7

43

30

32

36

42

34

49

48

49

50

8

37

30

44

48

44

35

45

34

33

41

9

43

45

50

34

33

39

41

39

46

31

10

40

52

44

39

35

45

33

42

42

36

11

44

51

45

39

34

44

40

37

43

32

12

33

42

40

35

37

43

48

48

50

32

13

40

48

45

43

36

36

42

40

37

30

14

44

50

46

39

41

48

44

42

36

51

15

44

50

47

37

33

34

42

43

43

47

16

33

48

38

42

45

32

34

44

39

45

17

48

26

31

34

38

36

46

49

40

48

18

42

47

35

34

41

33

41

35

43

42

19

39

37

47

47

33

42

37

39

39

37

20

43

41

30

39

38

36

36

34

42

46

21

39

44

37

35

43

38

33

47

45

38

22

37

48

38

52

40

45

44

42

38

40

23

44

46

37

34

41

37

41

39

30

38

24

32

41

48

36

51

36

33

39

45

40

25

34

41

38

34

33

27

51

45

27

38

26

42

37

46

41

47

36

30

45

41

40

27

37

37

39

42

48

41

36

39

33

47

28

43

49

27

31

41

46

40

36

36

42

29

41

46

33

37

47

35

31

29

30

36

30

48

38

37

34

40

34

36

50

48

39

31

30

38

43

41

44

45

38

37

46

50

32

41

48

41

43

47

37

42

34

32

44

33

37

48

46

41

41

37

37

48

49

46

34

38

44

50

37

47

27

48

37

46

38

35

48

47

38

52

34

36

34

41

41

32

36

31

43

34

46

37

40

41

39

32

42

37

47

33

51

41

40

45

37

36

27

36

38

37

42

46

35

34

38

45

36

20

40

39

34

48

30

51

33

41

44

42

39

39

40

45

45

41

40

36

27

50

44

41

48

41

36

36

32

32

36

49

27

45

30

35

42

40

38

45

40

40

50

42

37

50

39

43

43

38

30

59

42

41

33

42

38

44

44

44

41

47

52

51

38

50

39

50

48

45

49

43

52

50

30

30

26

50

27

49

46

27

49

46

39

47

26

49

52

29

44

47

51

53

48

49

53

45

27

43

48

44

1   2   3   4   5

Похожие:

Статистическая обработка результатов измерений Методические указания к курсовому проектированию по курсу «Математическая статистика» iconПланирование эксперимента и статистическая обработка результатов...
Планирование эксперимента и статистическая обработка результатов измерений : методические указания к лабораторным работам для студентов...

Статистическая обработка результатов измерений Методические указания к курсовому проектированию по курсу «Математическая статистика» iconМетодические указания по курсовому проектированию по курсу «Детали...
Методические указания по курсовому проектированию по курсу «Детали машин и основы проектирования» / составители С. О. Шарапов, Ю....

Статистическая обработка результатов измерений Методические указания к курсовому проектированию по курсу «Математическая статистика» iconМетодические указания к выполнению контрольной работы по курсу «Теория...
Методические указания к выполнению контрольной работы по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов экономических...

Статистическая обработка результатов измерений Методические указания к курсовому проектированию по курсу «Математическая статистика» iconК курсовому проектированию по курсу «водоснабжение города»
Методические указания к курсовому проектированию по курсу «Водоснабжение города» (для студентов 2-3 курсов всех форм обучения, а...

Статистическая обработка результатов измерений Методические указания к курсовому проектированию по курсу «Математическая статистика» iconМетодические указания к курсовому проектированию по дисциплине «Основы...
Методические указания к курсовому проектированию по дисциплине «Основы конструирования и детали машин». Типовые ошибки при выполнении...

Статистическая обработка результатов измерений Методические указания к курсовому проектированию по курсу «Математическая статистика» iconМетодические указания к курсовому и дипломному проектированию (для...
Соединения с подшипниками качения. Точность, посадки, основы сборки. Методические указания к курсовому и дипломному проектированию...

Статистическая обработка результатов измерений Методические указания к курсовому проектированию по курсу «Математическая статистика» iconМетодические указания к курсовому проектированию для студентов всех...
Методические указания к курсовому проектированию (для студентов всех специальностей направления «Инженерная механика»). Области применения...

Статистическая обработка результатов измерений Методические указания к курсовому проектированию по курсу «Математическая статистика» iconМетодические указания к курсовому проектированию для студентов всех...
Методические указания к курсовому проектированию (для студентов всех специальностей направления «Инженерная механика»). Области применения...

Статистическая обработка результатов измерений Методические указания к курсовому проектированию по курсу «Математическая статистика» iconМетодические указания к практическим занятиям по курсу «Статистика в машиностроении»
Методические указания к лабораторным работам по курсу «Статистика в машиностроении» (для студентов всех форм обучения направления...

Статистическая обработка результатов измерений Методические указания к курсовому проектированию по курсу «Математическая статистика» iconМетодические указания и контрольные задания по курсу «Статистика»
Программа, методические указания и контрольные задания по курсу «Статистика» для студентов заочного отделения экономических специальностей...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
uchebilka.ru
Главная страница


<