2. Возмущение в отсутствие вырождения уровня




Скачать 122.71 Kb.
Название2. Возмущение в отсутствие вырождения уровня
Дата публикации20.09.2013
Размер122.71 Kb.
ТипДокументы
uchebilka.ru > Математика > Документы


Лекции 13-14. Теория возмущений
Содержание


  1. Постановка задачи.

  2. Возмущение в отсутствие вырождения уровня .

  3. Возмущение при наличии вырождения.

  4. Временная теория возмущений. Квантовые переходы. Функция Грина.

  5. Суммирование ряда теории возмущений для волновой функции

  6. Теория возмущений для оператора эволюции.

  7. Вероятность квантового перехода физической системы.

  8. Испускание и поглощение фотонов квантовой системой.




  1. Постановка задачи


Задачу на собственные значения оператора , т.е. уравнение Шредингера для стационарных состояний, удаётся решить аналитически лишь в очень немногих случаях. Простых аналитических решений для большинства задач не существует. Поэтому приходится искать некоторые приближённые методы решения. Одним из приближенных методов является метод возмущений, который применяется тогда, когда оператор гамильтониана задачи мало отличается от некоторого гамильтониана , для которого уравнение Шредингера решается точно. Тогда оператор



можно рассматривать как малую поправку к (малое возмущение). Пусть, например, атом взаимодействует с внешним электромагнитным полем, которое мало по сравнению с внутриатомным полем. Тогда действие внешнего поля можно считать малым возмущением.

Итак, пусть

, (1)

причём , - малый параметр, . Считаем, что решение задачи на собственные значения оператора известно:

. (2)

Наша задача заключается в решении возмущённой задачи

(3)

на основании известных решений задачи (2).

Искомую функцию разложим по полной системе волновых функций невозмущённой задачи (для простоты полагаем, что рассматриваемая квантовая система является одномерной):

. (4)

Подставляем (4) в (3), полученное равенство умножаем на и интегрируем по всему пространству. В результате получаем:

. (5)

Вычислим матричный элемент , учитывая представление (1) для оператора Гамильтона:

, (6)

где - матричный элемент энергии возмущения. Подстановка (6) в (5) даёт:

(7)

или

. (8)

Пока выражение (8) - точное уравнение. Теперь же будем считать, что , где - малый параметр. Если , то из (8) выводим:

.

Полагая здесь при , , т.е. , получаем: . Согласно (4), это значение энергии отвечает волновой функции . Это точное решение невозмущённой задачи (см. формулу (4), в которой нужно положить ).

При разложим и в ряд по степеням :

(9)

Наша задача - найти коэффициенты этих разложений.
^ 2. Возмущение в отсутствие вырождения уровня
Пусть каждому уровню энергии соответствует только одна волновая функция . Подставляем (9) в (8) и затем собираем члены с одинаковыми степенями (учитываем лишь члены ):

. (10)

Если положить , получим нулевое приближение. Пусть нас интересует уровень , т.е. уровень с энергией, близкой к . Тогда из решений



выбираем -ое:

. (11)

Это - нулевое приближение.

Это решение подставляем в (10) (сохраняем лишь члены порядка ):

. (12)

Если взять уравнение с (в этом случае два последних слагаемых в левой части (12) обращаются в нуль), то:

.

Мы получили, таким образом, поправку первого порядка к энергии. Если (первое слагаемое слева в (12) обращается в нуль), то из (12) выводим:

. (13)

Чтобы найти второе приближение, нужно учесть в (10) члены .

Очевидно, что условие малости возмущения имеет вид (см.(13)): . ^ Это неравенство является условием применимости теории возмущений.

Учитывая разложения (4) и (9), выпишем наше решение в первом приближении:

(14)

Таким образом, поправка к уровням энергии в первом приближении равна среднему значению энергии возмущения в невозмущённом состоянии .
^ 3. Возмущение при наличии вырождения
Считаем, что собственному значению нулевого гамильтониана отвечает несколько собственных функций: (- кратность вырождения). Вместо этих функций можно взять произвольную линейную комбинацию

.

Это также будет решение уравнения Шредингера, отвечающее собственным значениям энергии . Поэтому возникает вопрос: как получить правильное нулевое приближение задачи с гамильтонианом

.

Для получения ответа обратимся к уравнению (8), в котором мы учтём вырождение, заменяя на , на :

, (15)

, (16)

,

- энергия невозмущённого уровня. Пусть мы хотим найти уровень энергии возмущённой системы , близкий к , и соответствующую волновую функцию . В отсутствие вырождения мы просто считали, что функции нулевого приближения совпадают с невозмущёнными и поэтому , а остальные ().

теперь будем считать, что



Чтобы получить правильную волновую функцию нулевого приближения, из уравнений (16) выберем те, в которые входят коэффициенты , не равные нулю:

.

Так как мы ограничиваемся уровнем , то для упрощения записи опускаем индекс в матричных элементах энергии возмущения и коэффициентах разложения (держа его в уме). Тогда в упрощённой записи имеем:

(17)

оставляем индекс , чтобы подчеркнуть, что речь идёт об уровне энергии ). Равенства (17) – это однородная система уравнений. Она имеет нетривиальные решения, если её определитель равен нулю, т.е. если

.

Это уравнение относительно степени , оно называется вековым (или секулярным). Из него получаем корней: .

Таким образом, при наложении возмущения вырожденный уровень расщепляется на ряд близких уровней, т.е. вырождение снимается. При наличии кратных корней вырождение снимается лишь частично. Для каждого из корней решаем систему уравнений (17) и получаем свой набор амплитуд . Чтобы это отметить, введём для ёще один индекс (), так что набор амплитуд для уровня с энергией запишется так:



Мы получили волновую функцию нулевого приближения. Каждый уровень энергии описывается своей волновой функцией:

.

Критерий применимости теории возмущений имеет вид:

.
^ 4. Временная теория возмущений. Квантовые переходы.

Функция Грина
Рассмотрим уравнение Шредингера в некотором внешнем поле, которое будем считать малым возмущением :

. (18)

Полагаем, что это возмущение включается в момент времени и отключается в момент времени . Пусть известна полная система решений невозмущённой задачи:

. (19)

Сформулируем следующую задачу о квантовых переходах. До момента времени система находится в состоянии , затем включается возмущение . В следующий момент возмущение отключается. Найти вероятность того, что в результате действия возмущения система перешла в состояние , т.е. вероятность квантового перехода

.

Иными словами, нужно найти такое решение уравнения (18), , которое подчиняется начальному условию:

. (20)

Так как (19) - полный набор функций, то искомую функцию можно представить в виде разложения

, (21)

где - функции, подлежащие определению. Учет начального условия дает: .

Подстановка (21) в (18) приводит к уравнению (умножаем обе части уравнения на и интегрируем по координатам):

(22)

.

В нулевом приближении:

,

так как в начальный момент времени система находится в состоянии . Поэтому

. (23)

Подставляем это выражение в (22) и сохраняем члены 1-го порядка:



. (24)

Во втором приближении имеем:

(25)

и т.д. Подставим (23) и (24) в (21):

. (26)

Преобразуем второе слагаемое в правой части (26):

.

Введем обозначение:

(27)

- запаздывающая функция Грина, которая подчиняется уравнению



и начальному условию



Тогда равенство (26) запишется в виде:

(28)

Волновая функция (28) является решением уравнения Шредингера (18) в первом порядке теории возмущений.
^ 5. Суммирование ряда теории возмущений для волновой функции
Чтобы получить точное решение уравнения (18), введём функцию Грина возмущённой задачи (полную функцию Грина) . Она подчиняется уравнению

.

Ее разложение в ряд теории возмущений имеет вид:



или в символической форме:

. (29)

Как видно из последнего выражения, имеется интегральное уравнение:

.

Используя представление (27), легко вывести соотношение

, (30)

из которого следует, что функция Грина описывает перенос (распространение) квантовой частицы из точки в точку при . Поэтому функцию называют пропагатором (функцией распространения) для невозмущенной задачи.

Учитывая (30), выражение (28) преобразуем следующим образом. Волновую функцию , входящую в (28), заменим интегральным представлением (30):



(31)

Если в фигурных скобках выражения (31) оставить лишь первые два члена разложения, получится выражение (28), справедливое лишь с точностью до первого порядка теории возмущений. Нетрудно убедиться в том, что выражение (31) подчиняется уравнению (18) и в силу равенства

(32)

удовлетворяет необходимому начальному условию: . Значит, формула (31) дает искомое решение уравнения (18). Справедливость равенства (32) вытекает из следующего представления функции Грина:



где - решения временного уравнения Шредингера (18), образующие полную систему функций. Равенство (32) является условием полноты этой системы.

Таким образом, точное решение временного уравнения Шредингера может быть выражено, согласно (31), через полную функцию Грина.

Отметим, что разложение функции Грина в ряд теории возмущений и интегральное уравнение для функции Грина описываются графически следующим образом (см. (29)):



где тонкая линия изображает нулевую функцию Грина , жирная – полную функцию Грина , крестик описывает рассеяние на внешнем поле .

Амплитуда вероятности перехода квантовой системы из состояния в момент времени в состояние к моменту времени (см. раздел 4) совпадает со скалярным произведением

.

Подставляя в эту формулу разложение (21) волновой функции, находим:



Следовательно, искомая вероятность перехода дается формулой:

,

где амплитуду вероятности, в соответствии с (31), можно представить в виде:
. (33)
^ 6. Теория возмущений для оператора эволюции
Решение уравнения для оператора эволюции



ищем в виде:

,

где . Тогда:

.

Подчёркнутые члены, очевидно, выпадают. Умножаем обе части уравнения слева на ,

,

и затем интегрируем по :

. (34)

В интегральное уравнение (34) подставляем разложение в ряд теории возмущений



и приравниваем члены одного порядка малости:

(35)

На основании (34) и (35), с точностью до членов первого порядка, получаем:

. (36)

Отметим, что уравнение (34) несложно преобразовать к уравнению относительно оператора эволюции . Действительно, умножая (34) на слева,



и учитывая равенства

,

получаем искомое интегральное уравнение:



Решение этого уравнения можно искать обычным образом, в виде разложения

.
^ 7. Вероятность квантового перехода физической системы
Согласно результатам, полученным в разделе 5, амплитуда вероятности перехода (при в первом порядке теории возмущений даётся формулой (см. (24)):

. (37)

Здесь мы использовали формулы (19) и (22). Разложим в интеграл Фурье:

.

Обозначая и выполняя интегрирование по , получаем (считаем, что ):

. (38)

Значит, искомая вероятность перехода выражается формулой:

. (39)

Как видим, переход с уровня энергии на уровень возможен только в том случае, если в спектре возмущения содержится частота перехода . Следовательно, квантовый переход имеет резонансный характер.

Рассмотрим теперь квантовый переход в непрерывном спектре. Состояние непрерывного спектра можно характеризовать компонентами импульса (это непрерывно изменяющиеся параметры). Обозначим их через . Энергия системы является функцией этих параметров: , волновая функция также зависит от : . Для простоты ограничимся переходом из состояния дискретного спектра в состояние непрерывного спектра : . Очевидно, что амплитуду указанного перехода можно записать так:

. (40)

Далее считаем, что возмущение изменяется со временем по гармоническому закону:

.

Тогда

. (41)

Подставляя (41) в (40) и считая , найдём:

.

Здесь мы считали, что . Для вероятности перехода получается формула:

.

Чтобы уточнить смысл последней формулы, рассмотрим интегральное представление -функции:

.

Понимая в последней формуле как длительность взаимодействия, определяем вероятность перехода за единицу времени:

.

Вероятность перехода из состояния с энергией в интервал состояний в единицу времени составляет:

. (42)

Если параметры являются компонентами импульса, то , .
^ 8. Испускание и поглощение фотонов квантовой системой
Рассмотрим вероятность перехода атома с одного уровня на другой под действием электромагнитного поля. Пусть электромагнитное поле, вызывающее переход, монохроматично:

.

Если - линейные размеры атома, то в пределах атома фаза изменяется на величину порядка . Считаем, что . Тогда изменением фазы волны внутри атома можно пренебречь и считать, что

. (43)

Если скорость электрона в атоме , то сила Лоренца . Значит, действием магнитного поля можно пренебречь. Электрическое поле (43) можно описать скалярным потенциалом . Поэтому , - дипольный момент атома, - радиус-вектор, проведенный от ядра к электрону. Оператор полной энергии , величину считаем малым возмущением.

Вероятность перехода определяем по формуле (39). Очевидно, что

, (44)

где - орт вектора , - компонента Фурье поля , отвечающая частоте :

.

Величину можно выразить через количество энергии, прошедшей за время действия поля. Действительно, так как плотность энергии составляет (здесь мы учли, что плотность магнитной энергии равна в среднем плотности электрической), то плотность потока энергии равна . Значит, вся протекающая через 1см энергия определится так:

. (45)

Здесь использовано разложение Фурье



и учтено, что . Из выражения (45) видно, что . Поэтому, учитывая (39) и (44), получаем:

.

Очевидно, что , где - плотность энергии на частоте , - время протекания энергии. Отсюда для вероятности перехода за единицу времени получается формула

. (46)

Таким образом, вероятность перехода определяется матрицей дипольного момента.

^

Контрольные вопросы





  1. В чем состоит основная идея метода возмущений?

  2. Чему равна поправка к энергии невырожденного уровня в первом порядке теории возмущений?

  3. Каков критерий применимости теории возмущений?

  4. Как изменяется энергия вырожденного уровня под действием возмущения?

  5. Как получить волновую функцию нулевого приближения при наличии вырождения?

  6. В каком случае при действии возмущения вырождение уровня энергии снимается лишь частично?

  7. Сформулировать постановку задачи о квантовых переходах.

  8. Почему функция Грина для временного уравнения Шредингера называется пропагатором квантовой частицы?

  9. Чем отличается функция Грина от волновой функции?

  10. Можно ли описать квантовые переходы в системе под действием возмущения, если известна функция Грина уравнения Шредингера с учетом возмущения?

  11. Как выглядит интегральное уравнение и разложение в ряд теории возмущений для функции Грина в графической форме?

  12. Каким должно быть возмущение, чтобы произошел квантовый переход с одного уровня энергии на другой?

  13. Откуда следует, что вероятность перехода с дискретного уровня энергии в сплошной спектр пропорциональна длительности взаимодействия?


Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

2. Возмущение в отсутствие вырождения уровня iconКогенерационные газотурбинные и парогазовые установки
Украины и сравнение их уровня с уровнем в развитых странах убеждает, что, одной из главных причин такого положения является отсутствие...

2. Возмущение в отсутствие вырождения уровня iconСовременная система образования фактически стала основной причиной деградации и вырождения нации
Украину до несокрушимости от внутренних и внешних негатив­ных влияний. Позволит ей стать высокоразвитым, поистине суверенным государством,...

2. Возмущение в отсутствие вырождения уровня iconЯзык с
Язык "C" не является ни языком "очень высокого уровня", ни "большим" языком, и не предназначается для некоторой специальной области...

2. Возмущение в отсутствие вырождения уровня iconРеферат скачан с сайта allreferat wow ua
Таковыми можно считать не те причины, что напрямую приводят к травматизму (например, низкое качество оборудования, отсутствие защитных...

2. Возмущение в отсутствие вырождения уровня iconУчебное Пособие Социального Работника, Направленное на Повышение Уровня Обучения
Снижение Уровня Проявления Интереса, Снижение Случаев Передозировки и Понижение Уровня Смертей Среди Лиц, Практикующих Внутривенное...

2. Возмущение в отсутствие вырождения уровня iconПроцветающим народом мы будем в том случае, если освоим и унаследуем...
Это издание базируется на известных трудах исследователей и не ставит целью проиллюстрировать мои научные изыскания, касающиеся истории...

2. Возмущение в отсутствие вырождения уровня icon1 возмущение электромагнитного поля земли
Конфигурация этого поля медленно изменяется вероятно в результате движения расплавленного материала во внешнем ядре Земли на глубинах...

2. Возмущение в отсутствие вырождения уровня iconМетодические рекомендации по организации проектной деятельности группы...
Сновные проблемы, с которыми сталкиваются руководители – это отсутствие определенного плана работы, непоследовательность действий...

2. Возмущение в отсутствие вырождения уровня iconОбращение
Мы, нижеподписавшиеся представители пациентских и общественных организаций, выражаем свое глубокое возмущение откровенным игнорированием...

2. Возмущение в отсутствие вырождения уровня iconОпубліковано в газеті „Чорноморські новини”, Одеса
«послания|ниспослания|» вызывали возмущение, у других удовольствие|удовлетворение| и как сигнал «к действию|». Иначе и быть не могло...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
uchebilka.ru
Главная страница


<