Вспомогательное отношение




Скачать 313.5 Kb.
НазваниеВспомогательное отношение
страница1/3
Дата публикации23.09.2013
Размер313.5 Kb.
ТипРешение
uchebilka.ru > Математика > Решение
  1   2   3


РЕШЕНИЕ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ:

ВСПОМОГАТЕЛЬНОЕ ОТНОШЕНИЕ

О.П. Зеленяк. Математика в школах України. – 2009. 16-18 (244-246). – С. 59-70.

Идея, примененная один раз, порождает искусственный прием,

примененная дважды – становится методом.

Д. Пойа
Предложив технологию алгоритмического подхода на основе задач-теорем к решению планиметрических задач [5], мы изучаем возможности применения элементов этого метода при решении задач и в стереометрии.
Задачи по стереометрии – прекрасные упражнения, способствующие развитию пространственных представлений, умения логически мыслить, способствующие более глубокому усвоению всего школьного курса математики. Решение стереометрической задачи чаще всего сводится к решению планиметрических задач. Поэтому, решая задачи по стереометрии, всё время приходится возвращаться к планиметрии, повторять теоремы, вспоминать формулы, необходимые для решения. При решении стереометрических задач ещё в большей мере, чем в планиметрии, используются средства алгебры и тригонометрии, применяются векторный и координатный методы, дифференцирование и интегрирование. Таким образом, стереометрические задачи способствуют творческому овладению всей совокупностью математических знаний”. Цитата приведена из предисловия к пособию [1]. Cоглашаясь с автором абсолютно, акцентируем внимание на большем использовании планиметрических cвойств фигур (см. выделенное нами предложение), а не тригонометрии в процессе решения стереометрической задачи.

Если среди данных или искомых имеются углы, то без использования тригонометрических функций, как правило, не обойтись. Кроме того, применение тригонометрии часто позволяет упростить вычисление” [1, с.17]. C этим утверждением согласимся не полностью. “Часто наиболее простое решение удается получить, пользуясь способом введения вспомогательных элементов: в частности вспомогательных углов” [1, с.92]. В последней цитате добавим: или (и) вспомогательных отношений.
Для настоящей статьи выбраны задачи, в основном, связанные с углами в пространстве. Чем это обусловлено? Во-первых, учащиеся неуверенно решают такие задачи, затрудняясь в применении средств тригонометрии и, тем более, векторов и координат. Сегодня сложно говорить о приобретении ими знаний дополнительно и самостоятельно. Изучение на уроках теорем синусов и косинусов для трехгранного угла, теоремы косинусов для тетраэдра, теорем о трех синусах и косинусах [1-4] и т.п. не предусмотрено учебным планом. Во-вторых, традиционные решения задач, связанных с углами в пространстве, используют тригонометрию в значительной степени: теоремы синусов и косинусов, следствия из этих теорем, получение тригонометрического уравнения относительно функции от искомого или вспомогательного угла, а также перечисленные выше средства “тяжелой артиллерии”. В-третьих, в стереометрии, вообще, и решая задачи, связанные с углами особенно, необходимо владеть определенными “чисто стереометрическими” умениями и навыками. Прежде всего – пространственным воображением. Шварцбурд С.И., например, в математическом развитии школьника выделял развитие пространственного представления как одну из главных составляющих. Преобразование тригонометрических выражений не способствует этому. Кроме того, при ”тригонометрическом решении” стереометрической задачи многие свойства конфигурации, приводящие к рациональному решению, могут просто остаться незамеченными.
Рассмотрим метод введения вспомогательного отношения, который можно классифицировать как разновидность метода введения вспомогательного отрезка.

Тригонометрическая функция острого угла прямоугольного треугольника – это соответствующее отношение a/b его сторон. Значит, вычислив отношение a/b с использованием подобия, метода площадей, формул для тригонометрических функций кратных углов и т.п., мы находим значение тригонометрической функции, а затем и величину угла с помощью соответствующей обратной функции.

  1. Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60°, 90°. Найти угол между ребром трехгранного угла и плоскостью, противолежащего ему прямого угла.

Решение. Пусть  ASB = ASC = 60°,  BSC = 90°, AO  (BSC). ASO = x – искомый угол. Доказав, что SO – биссектриса плоского прямого угла и, обозначив SB = y, находим гипотенузы прямогольных треугольников с углом 30° и равнобедренного: SA = 2y, SO = y.3d_1

Из треугольника ASO: cos x = и ASO = 45°.

Рассмотрим другую запись решения, в которой используются два вспомогательных отрезка, отношение которых служит значением тригонометрической функции искомого угла.

Пусть SO = a, SA = b. Тогда a/b = cos x. В треугольнике ASB: SB =, SA = b ,= cos 60°.

Имеем: , т.е. cos x = . Отсюда ASO = 45°.


  1. Найти двугранные углы трехгранного угла, зная что его острые плоские углы равны α, , γ.


Решение. Пусть S – вершина трехгранного угла. Проводя плоскость ABC перпендикулярно ребру, получим линейный угол одного из искомых его двугранных углов. Обозначим через α, , γ плоские углы ASB, BSC, ASC соответственно, φ – линейный угол ABC, мера которого служит мерой двугранного угла при ребре SB.трехгранный_1

Если SA = a, SB = b, SC = c, то AB =, ^ BC =.

Учитывая, что ACобщая сторона треугольников ASC и ABC, применяя теорему косинусов в этих треугольниках и свойство транзитивности, получим:

a2 + c2 – 2ac cos γ = a2 + c2 – 2b2 – 2 cos φ.

cos γ = +cos φ или cos γ = cos α cos  + sin α sin  cos φ.

Отсюда cos φ = . Косинусы других линейных углов определяются аналогично.

Примечание: обязательные, вообще говоря, в решениях стереометрических задач объяснения построений углов в пространстве, положения основания высоты пирамиды и т.п. опущены.



  1. Найти плоский угол при вершине правильной четырехугольной пирамиды, если он равен углу между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды. [8, №12.270].

12_270 (c)


Решение. Пусть в пирамиде SABCD SO – высота, SM – апофема, ASB, BSC, DSC, DSA искомые равные плоские углы, SAO, SBO, SCO, SDO – равные им (по условию) и между собой углы наклона боковых ребер к плоскости основания.

Введем два вспомогательных отрезка OB = a, SB = b и обозначим угол SBO через 2x. Тогда a/b = соs 2x.

Отношение a/b – вспомогательное и искомое.

OM = MB =, sin x = .

Формулой косинуса двойного аргумента соs 2x = 1 – 2 sin2 x воспользуемся как уравнением связи.

Имеем: , , = соs 2x (a/b > 0). Ответ: arccos.

Сформулируем возможный а л г о р и т м решения подобных задач:

  1. Ввести отношение a/b, обозначив через a и b длины двух вспомогательных отрезков.

  2. Выбрать тригонометрическую функцию, значение которой от искомого (данного или вспомогательного) угла равно a/b.

  3. Найти уравнение связи, используя соотношение из условия задачи, формулы для тригонометрических функций кратных углов, теорему Пифагора, подобие, метод площадей и т.п.

  4. ^ Вычислить a/b, решив полученное уравнение или выразить через a/b, степени или члены этого отношения в полученном выражении.

Записать ответ с помощью соответствующей обратной тригонометрической функции или выполнив соответствующие замены в выражении.



  1. Линейный угол двугранного угла, составленного двумя смежными боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды, в два раза больше плоского угла при вершине пирамиды. Найти плоский угол при вершине пирамиды. [8, №12.343].


Решение. Пусть в пирамиде SABCD SO – высота, SM – апофема, ASBодин из четырех равных плоских углов, APC – линейный угол двугранного угла SB. По условию отношение величин углов APC и ASB равно 2 : 1. Значит, так относятся и величины углов APO и MSB их половин. Обозначив угол APO через 2x, следуем алгоритму.12_343

  1. OP = a, AP = b.

  2. a/b = cos 2x.

  3. сos 2x = 2 cos2 x – 1.

  4. OA =, AB =,  BAP = x =  BSM

(указанные углы дополняют угол SBM до прямого). Значит, cos x = b /.

Имеем: , , , abb2 + a2 = 0, .

Отсюда сos 2x. Ответ: arccos.
5. Величина угла между боковым ребром правильной четырехугольной пирамиды и плоскостью основания равна величине плоского угла при вершине пирамиды. Найти угол между боковой гранью и плоскостью основания. [8, №12.235].

Решение. Пусть в пирамиде SABCD SO – высота, ASB, BSC, DSC, DSAравные плоские углы, SAO, SBO, SCO, SDO – равные им (по условию) и между собой углы наклона боковых ребер к плоскости основания. SMOискомый линейный угол двугранного угла AB, где Mсередина этого ребра. 12_235(c)

Обозначим  SBO =  ASB = 2α,  ASM =  BSM = α.

  1. OM = AM = BM = a, SM = b.

  2. a/b = cos x, где  SMO = x.

  1. cos 2α = 1 – 2 sin2 α.

  2. Выразив из прямоугольных треугольников SMB и SOB sin α и сos 2α, подставим их в уравнение связи:

, , 2a2 (a2 + b2) = (b2a2)2, a4 + 4a2b2b4 = 0,

, , a/b =. Ответ: arccos.

  1. Две боковые грани усеченной треугольной пирамиды – равные прямоугольные трапеции с острым углом α и общей меньшей боковой стороной. Двугранный угол между этими гранями равен β. Найти угол между третьей боковой гранью и плоскостью основания. [8, №12.260].


Решение. Дополним данную усеченную пирамиду до полной, две боковые грани которой SAC и SBC будут равными прямоугольными треугольниками. Тогда ACBлинейный угол двугранного угла SC величиной , а SMCискомый линейный угол двугранного угла AB, где Mсередина этого ребра.12_260 (c)

  1. SC = a, MC = b.

  2. a/b = tg x, где  SMC = x.

  3. a = AC tg , b = AC cos β/2.

  4. tg x = a/b = AC tg /(AC cos β/2) = tg /cos β/2.

Ответ: arctg (tg /cos β/2).

Примечание. Задачу можно связать с примером 2 [7, c. 295], аналогично записывая решение последнего.

7. Основанием пирамиды служит правильный треугольник. Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна плоскости основания. Найти косинус угла между двумя другими боковыми гранями, если они составляют с плоскостью основания угол α. [8, №12.444].
Решение. В пирамиде SABC (SBC)  (ABC), SO – высота, SKO, SNO равные линейные углы двугранных углов величиной α, BDC – искомый линейный угол двугранного угла SA.12-444(c).wmf

  1. CO = a, CD = b.

  1   2   3

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Вспомогательное отношение iconHenkel Surface Technologies Hungary
Анионный флокулянт или флокулирующее вспомогательное средство для технологических и сточных вод

Вспомогательное отношение iconИными словами бинарное отношение
Для упрощения записи, если ясно, на каком множестве задано отношение R, будем записывать (а,b) r или аRb. При необходиьости будем...

Вспомогательное отношение iconЛарри уингет хватит ныть, выше голову!
Откажитесь от мифов о самопомощи Позитивное отношение и мотивация позитивное отношение, конечно, важно

Вспомогательное отношение iconПодсказка: Щелкните левой кнопкой мыши на любой из предыдущих глав, чтобы перейти на ее страницу
Последнюю версию программного обеспечения и вспомогательное видео по настройке процессора можно скачать на нашем сайте по адресу

Вспомогательное отношение icon1. Характеристика предприятия 3 Рис. Структура финансовой службы 9
Учет затрат, связанных с работой собственного автотранспортного хозяйства (гараж), ремонтных мастерских, пилорамы и котельной ведется...

Вспомогательное отношение iconПарусные яхты
Исходя из тех же соображений некоторые владельцы моторных яхт и катеров стали устанавливать вспомогательное парусное вооружение,...

Вспомогательное отношение iconРеферат скачан с сайта allreferat wow ua
Знание закономерностей обработки металлов давлением помогает выбирать наиболее оптимальные режимы технологических процессов, требуемое...

Вспомогательное отношение iconРазработка
Цель урока: расширить и углубить знания младших школьников о важности труда в жизни человека; совершенствовать технику чтения; обогащать...

Вспомогательное отношение iconОтношение к святым: почитание или поклонение?
Мы определим, является ли это отношение православных почитанием, или поклонением, и постараемся дать библейскую оценку этим явлениям....

Вспомогательное отношение iconТема: Дружба, товарищество, взаимовыручка. Пословицы и поговорки
Развивать коммуникативную компетенцию учащихся, умение выражать свои мысли и аргументировать свои высказывания. Способствовать формированию...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
uchebilka.ru
Главная страница


<