Применения симметрии




Скачать 342.94 Kb.
НазваниеПрименения симметрии
страница1/4
Дата публикации25.02.2013
Размер342.94 Kb.
ТипРешение
uchebilka.ru > Математика > Решение
  1   2   3   4
РЕШЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ:

ПРИМЕНЕНИЯ СИММЕТРИИ
Зеленяк О.П. Математика в школах України. – 2011. №5 (341). – С. 21-28. – 2011. №8 (344). – С. 21-28.

МАТЕМАТИКА. ВСЕ для учителя! – 2011. №11. – С. 10-16. №12. – С. 10-16.
В настоящей статье кратко классифицируются эвристические приемы и общематематические идеи, используемые в процессе поиска решений задач, применения симметрии при решении планиметрических задач и рассматривается авторский метод решения.
І. Поиск решений
Поиск решений задач – многогранный мыслительный процесс. Невозможно учесть индивидуальные особенности человека по восприятию и усвоению знаний. Объяснять решения трудно, поэтому, наверное, в них так часто встречаются фразы: “очевидно”, “легко видеть”, “нетрудно заметить”.

Очень сложно богатство методов, идей и приемов решений геометрических залач привести в систему, которую можно было бы предлагать для использования в обучении как универсальную. Реализация такой деятельности многовариантна и неалгоритмична. Но практика убеждает, что алгоритмический подход – необходимая грань процесса, а применение опорных, базисных задач-теорем – эффективный способ его реализации [1]. Объем начальных сведений и систематизация знаний обязательны. Не обойтись, безусловно, и без желания решить задачу, изобретательности и “настойчивого анализа.

На контрольной работе, конкурсном экзамене, тестировании, олимпиаде за ограниченное время надо решить задачу. Как искать решение, какие идеи и приемы способствуют его поиску?

В процессе поиска решений задач используются различные эвристические приемы и общематематические идеи.
^ Неполная индукция – эвристический прием, который часто применяется в естественных науках. В переводе с латыни “индукция” означает “наведение”: рассмотрение частных случаев наводит на решение задачи в общем случае. Особенно полезно в качестве частных случаев брать различные “крайние” случаи. Не давая доказательства того или иного утверждения, разбор конечного числа случаев играет важную роль: он помогает угадать правильную формулировку, увидеть формулу, закономерность и т.п.
Аналогия – один из главных эвристических приемов. Аналогия означает сходство. Умозаключения по аналогии очень важны. Первооткрыватель законов небесной механики, немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер, писал: “Я больше всего дорожу Аналогиями, моими самыми верными учителями. Они знают все секреты Природы, и ими меньше всего следует пренебрегать”. Но заключение по аналогии не может служить доказательством. На это многократно обращали внимание логики, философы, математики и др. Однако, аналогия способствует возникновению гипотез как и неполная индукция, которые в огромном количестве случаев все же оказываются верными. На аналогии основывается и процесс обобщения, который является одним из самых важных средств самообучения и углубления имеющихся знаний.
^ Принцип парадигмы – эвристический прием, состоящий в переформулировке утверждения с целью выбора из возможных равносильных форм той, которая сближает заключение доказываемого предложения с условиями в ходе доказательства или связывает искомые величины с данными и промежуточными в ходе вычислений.
^ Преобразование задачи – метод, который заключается в преобразовании задачи в эквивалентную, но более простую и знакомую, например, при помощи геометрических преобразований (параллельного переноса, симметрии, поворота, гомотетии и т.п.) или введения вспомогательных элементов (отрезка, угла, окружности, площади и т.п.).
^ Кодирование задачи – метод, предполагающий переход от одного языка к другому с помощью кодирования объектов задачи. Например, переход от геометрической задачи к алгебраической с помощью координатного метода или переход к компьютерной программе с помощью языка программирования.
^ Сведение задачи к подзадачам – один из общих методов (подходов) к решению задач. Исходная задача последовательно сводится к набору подзадач – задач, решения которых или известны (например, задача решалась ранее), или элементарны. В этом процессе анализ соединяется с синтезом, применяются различные эвристические приемы и общематематические идеи.

Дать рекомендации по применению того или иного метода, приема, идеи в конкретной задаче сложно. Кроме того, на практике различные пути поиска решений, как правило, сочетаются.
Таким образом, основные слагаемые процесса поиска решения задачи упрощенно можно представить так: знание эвристических приемов и общематематических идей  знание задач-теорем  знание методов вспомогательных элементов [1, 2, 3, 4].
ІІ. Cимметрия на плоскости
Симметрия – одна из общих закономерностей окружающего мира. Природа в изобилии демонстрирует симметричные объекты. Творения человеческих рук также нередко имеют симметричную форму. Симметрию используют художники и архитекторы, ремесленники и философы, химики, физики, математики. Обсуждению ее сущности и роли в природе, науке и искусстве посвящено последнее сочинение “Симметрия” одного из крупнейших и разносторонних математиков ХХ века Германа Вейля, предназначенное для широкой аудитории. “Я ставил перед собой две задачи. С одной стороны, хотел показать огромное разнообразие приложений принципа симметрии в искусстве, в живой и неживой природе. С другой стороны, я стремился к тому, чтобы постепенно, шаг за шагом, раскрыть философско-математическое значение идеи симметрии”, [11]. Ученый связал соображения симметрии с общими понятиями инвариантности (неизменности) и алгебраической теорией групп.
Симметрией фигуры называется свойство, состоящее в том, что существует нетождественное движение фигуры, совмещающее ее саму с собой. Прилагательное “симметричный” чаще всего указывает на наличие у фигуры оси симметрии или центра симметрии (соответственно такой прямой l или точки O, что симметрия относительно l или O переводит фигуру саму в себя).
В алгебре и анализе идеи симметрии используются в экстремальных задачах, задачах с параметрами, при решении систем уравнений и многих других задач (четные и нечетные функции, взаимно обратные функции, симметрические многочлены, группы преобразований и т.д.).
В геометрии учение о симметрии составляет обширную часть. В геометрических конфигурациях симметрия – это еще и своеобразная эстетика, раскрывающая их красоту. Вместе с другими преобразованиями она применима в задачах на построение, нахождение геометрических мест точек, вычисление, доказательство, игровых.

^ Осевая симметрия явно применима в конфигурациях, содержащих правильный многоугольник, ромб, дельтоид, равнобедренные треугольник или трапецию, окружность или окружности. Ее можно использовать также рассматривая серединный перпендикуляр или биссектрису угла, так как отрезок и угол – простейшие симметричные фигуры. В более сложных условиях “симметризации” чертежа можно добиться дополнительным построением, введением вспомогательной геометрической фигуры.

^ Центральная симметрия явно применима в конфигурациях, содержащих правильный многоугольник, параллелограмм, окружность, медиану или симедиану треугольника. Ее также можно использовать строя вспомогательные точки или фигуры.
Вспомните классические примеры: 1) Дана прямая l и две точки A и B по одну сторону от нее. Найти на l такую точку X, что AX + XB принимает наименьшее значение. 2) Доказать, что площадь четырехугольника не превосходит полусуммы произведений противоположных сторон. 3) Доказать, что произвольным выпуклым четырехугольником можно замостить плоскость. 4) На круглый стол два игрока по очереди кладут одинаковые монеты, не накрывающие друг друга. Проигрывает тот, кто не сможет сделать очередной ход. Доказать, что выигрышной стратегией обладает первый игрок.

В первой задаче X = ABl, где A – образ точки A при осевой симметрии относительно прямой l. Во второй – четырехугольник диагональю разбивается на два треугольника, один из которых отражается симметрично относительно серединного перпендикуляра, проведенного к этой диагонали. Противоположные стороны станут смежными и задача упрощается. В третьей – нужно выполнять образующие отражения относительно середин сторон четырехугольника (построение “паркета” с помощью компьютера – хорошее упражнение по программированию). В четвертой задаче первый игрок первую монету кладет в центр стола, а затем после текущего хода второго игрока – симметрично положенной им монете относительно центра cтола.
^ Вообще, применяя симметрию, конфигурацию изменяют (разбивая, дополняя, спрямляя, ориентируя), чтобы придать ей новые свойства, упрощающие решение.

На практике симметрию важно замечать даже при чтении и записи формул с целью их рационального применения: при введении вспомогательных величин (отрезок обозначать через 2x, угол – через 2, если в решении используются их половины и т.п.), преобразовании и записи аналитических выражений.
1 (симметрия и чтение формул). Доказать, что если диагонали равнобочной трапеции взаимно перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату ее высоты.p01

В данной трапеции серединный перпендикуляр к основаниям – ось симметрии, поэтому ее диагонали и соответственные пары вершин являются образами друг друга при этой симметрии. Ось разбивает каждый равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого гипотенузой служит основание трапеции, на два меньших равнобедренных прямоугольных треугольника.

Применяемую формулу S = запишем ^ S = и прочитаем так: площадь трапеции равна произведению суммы половин ее оснований на высоту.

Но указанная сумма половин оснований очевидно равна высоте, поэтому площадь равна квадрату высоты трапеции.
2 (симметрия и вычисления). Дан равнобедренный треугольник с основанием 12 и боковой стороной 18. Отрезки какой длины нужно отложить от его вершины на боковых сторонах, чтобы соединив их концы, получить трапецию с периметром, равным 40?p02

Из соображений симметрии откладываемые отрезки должны быть равными, полупериметр полученной равнобедренной трапеции равен 20, половина основания равна 6. Учитывая отношение 18 : 6 = 3 : 1, подобие прямоугольных треугольников и обозначая искомый отрезок через 3x, получим x + (18 – 3x) + 6 = 20, x = 2, 3x = 6. Ответ: 6 и 6.
3 (симметрия и дополнение фигур). Доказать, что SABC = ¼ (a2 sin 2B + b2 sin 2A), где a и bстороны, A и Bвеличины противолежащих им углов треугольника. p03

Построим треугольник ^ ABD, симметричный данному относительно прямой AB. По свойствам симметрии и площадей SACBD = 2 SABC.

Отсюда 2 SABC = ½ aa  sin 2B + ½ bb  sin 2A, SABC = ¼ (a2 sin 2B + b2 sin 2A).

4 (симметрия и разбиение фигур). В трапеции меньшая диагональ перпендикулярна основаниям, а сумма ее острых углов равна 90. Определить боковые стороны трапеции, зная, что основания равны a и b.

Пусть в трапеции ABCD BDAD,  A +  C = 90, AD = a, BC = b. Заметив, что  BDC =  A (эти углы дополняют угол C до прямого), отразим треугольник BCD симметрично относительно серединного перпендикуляра к катету BD.p01_new


Аналогичный прием, меняющий ориентацию треугольника, обычно применяется для изменения последовательности сторон четырехугольника. В этой же задаче получена новая фигура – равносоставленный прямоугольный треугольник c гипотенузой a + b.

Поэтому искомые длины найдем по формулам для катетов как среднепропорциональных отрезков: AB = AD1 =, CD = C1D1 =.
5 (симметрия и линия центров окружностей). Прямая, параллельная основаниям прямоугольной трапеции, рассекает ее на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Найти основания исходной трапеции, если ее боковые стороны равны c и d, причем c < d.

Пусть в трапеции ABCDA =D = 90º, MN || AB, M AD, N BC, AD = c, BC = d. Трапеции ABNM и CDMN – описанные по условию.

Введем обозначения AB = a, DC = b для искомых величин и проведем высоту трапеции BH. СH = CDAB =. Отсюда ba =(1).

Для отыскания еще одного уравнения рассмотрим осевую симметрию относительно линии центров окружностей.

Точки касания P и K, Q и L – образы друг друга при этой симметрии, поэтому отрезки PQ и KL равны. Очевидно, что KL = r + R = PQ (r и Rрадиусы). Обозначив пары равных отрезков касательных, выходящих из вершин B и C через x и y, замечаем, что AB + CD = x + r + R + y = BC.__trap__

Значит, b + a = d (2).

Решая систему, содержащую уравнения (1) и (2), получим

.
6 (симметрия и спрямление ломаной). В треугольнике ABC B =  C = 40, BD – биссектриса угла B. Доказать, что BD + DA = BC.

Построим образ E точки A при осевой cимметрии относительно прямой BD. Так как  A = 100, то  BDA =  BDE = 60 =  СDE.p8__

Построим образ F точки E при осевой cимметрии относительно прямой AC. Тогда  СDF = 60, а  BDF = 180, т.е. точки B, D, F лежат на одной прямой.

В результате композиции двух осевых симметрий из двухзвенной ломаной получен отрезок ^ BF, т.е. спрямлена ломаная.

По свойству симметрии длины ломаной и отрезка равны,  C = 2  40 = 80.

Cоединим точки C и F.

В ∆ BCFC = 80,  BFC = 180 – (80 + 20) = 80, т.е. это равнобедренный треугольник.

Итак, BC = BF = BD + DF = BD + DE = BD + DA, ч.т.д.
7 (симметрия и вспомогательная фигура). Доказать, что sinsinsin=.

Угол G при вершине правильного 7-угольника ABCDEFG, равный 5/7, разбивается его диагоналями, выходящими из этой вершины, на пять равных (вписанных) углов величиной /7. Половина этого угла, сумма угла с половиной и сумма удвоенного угла с половиной служат аргументами синусов в тождестве. p05_new

Значит, для построения углов-аргументов следует использовать правильный 7-угольник и угол /7 разделить пополам.

Построим ось симметрии 7-угольника – серединный перпендикуляр GM к AF, BE и CD. Тогда  MGC =  MGD = /14,  MGB = 3/14,  MGA = 5/14.

Введем обозначения GA = a, GB = b, GС = c и, учитывая симметрию и равенства GС = BE, GB = AF, значения синусов этих углов выразим через a, b, c из прямоугольных треугольников – соответствующих половин равнобедренных треугольников GСD, GBE и GAF: sin=, sin=, sin=. Остается перемножить полученные равенства.
  1   2   3   4

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Применения симметрии iconКурсовая работа на тему «Спонтанное нарушение симметрии»
Проблеме симметрии посвящена поистине необозримая литература. От учебников и научных монографий до произведений, апеллирующих не...

Применения симметрии iconСпонтанное нарушение симметрии

Применения симметрии iconЛитература. Интернет-источники Синергетические явления. Категории Хаоса и Логоса
«Единство законов симметрии и диссиметрии во времени-пространстве сложных систем»

Применения симметрии iconВ. В. Хист Институт проблем материаловедения, нану, Кржижановского 3, 03142 Киев
Влияние понижения симметрии вблизи поверхностей наноматериалов на их физические свойства

Применения симметрии iconПонятие, признаки применения права и акта применения права
Общая характеристика применения права в механизме правового регулирования

Применения симметрии icon«Правильні многогранники. Сіметрія правильних многогранників» Урок геометрії в 11-а класі
Основная цель урока: Дать учащимся систематические сведения об основных видах многогранников и их симметрии

Применения симметрии iconПринцип симметрии в науке и философии
Будущий историк мысли, несомненно, отметит наше вре­мя как эпоху исключительного и давно небывалого изменения и углубления человеческого...

Применения симметрии iconФакультет компьютерных наук и технологий
Моделирование, молекулярные и атомные системы с открытой оболочкой, их электронные спиновые, магнитные и оптические свойства, дискретные...

Применения симметрии iconАрхитектура древнего Рима
Для сооружений характерны монументальность, пышная отделка зданий, множество украшений, стремление к строгой симметрии, интерес к...

Применения симметрии iconТип продукта Полимерный клей на водной основе Область применения
Область применения Приклеивание этикетки на стекло на высокоскоростных этикетировочных машинах

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
uchebilka.ru
Главная страница


<