Математика в школах України. 2007. №4(160). С. 3-5




Скачать 96.49 Kb.
НазваниеМатематика в школах України. 2007. №4(160). С. 3-5
Дата публикации19.06.2013
Размер96.49 Kb.
ТипДокументы
uchebilka.ru > Математика > Документы
ТРИ ТЕОРЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С ВПИСАННОЙ

В ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК ПОЛУОКРУЖНОСТЬЮ

О.П. Зеленяк. Математика в школах України. – 2007. №4(160). – С.3-5.

№30 (150) (октябрь 2006 г.) журнала “Математика в школах України” открывается интересной статьей Д.П. Мавло, содержащей три теоремы о равных (неравных) отрезках. В настоящей статье читателям предлагаются другие доказательства этих теорем.
Теорема 1. В произвольный прямоугольный треугольник ABС вписана полуокружность радиуса , касающаяся катетов и имеющая центр на гипотенузе AB. Окружности с центрами в вершинах A и B и радиусами, равными b и a, пересекают ее в точках N и K соответственно. Проведенные через точки N и K перпендикуляры к гипотенузе пересекают катеты BС и CA в точках L и M. Тогда CL = CM = ½.
Доказательство

1 cпособ (теорема Пифагора и подобие).mavlo_t1

Вначале докажем, что CL = ½. Длины сторон BC, AC и AB, величины a, b и c, будем использовать как вспомо-гательные.

= (пропорция следует из подобия треугольников AOP и ABC, Oцентр полуокружности, Pточка касания).

Ясно, что решение должно использовать характерное свойство конфигурации – принадлежность точек N и L соответственно полуокружности и катету: AN = b, ON = , CL = x, BL = ax, где xискомая величина.

Воспользуемся равенством AN2 ON2 = AB12 OB12 (разность квадратов двух наклонных, проведенных из одной точки к прямой, равна разности квадратов их проекций), вытекающим из теоремы Пифагора (A1 и B1 – основания перпендикуляров).

Тогда b22 = (AB1 OB1) (AB1 + OB1) = AO (c BB1 + OB BB1) = AO (c + OB 2BB1). Полученное уравнение подходит, т.к. величины AO и OB несложно выразить через вспомогательные, а BB1 – через искомую.

Точка O принадлежит биссектрисе прямого угла, поэтому AO = kb, BO = ka (k > 0).

Так как ka + kb = c, то k = , AO = , BO =.

BB1 = (пропорция следует из подобия треугольников LBB1 и ABC).

Имеем: b22 = (с + – 2). Умножив обе части равенства на , выразим x, учитывая, что a2 + b2 = c2. , 2x = = = = a + b = , x = CL = ½ .

Равенство CM = ½ доказывается аналогично. Итак, CL = CM = ½ , ч.т.д.
2 cпособ (метод параллельного проектирования). mavlo_t1_2

Упростим “честное” доказательство. Рассматривая равенства CL = ½ , CM = ½ как CL : СQ = 1 : 2, CM : СP = 1 : 2 (P и Qточки касания), приходим к выводу, что доказываемые свойства носят аффинный характер (при параллельном проектировании на плоскость сохраняются отношения отрезков, лежащих на одной или на параллельных прямых). Поэтому произвольный прямоугольный треугольник можно заменить, например, равнобедренным прямоугольным, для которого b = a,  = ½ a. Пусть CL = y.

Тогда AN2 ON2 = AB12 OB12, a2¼ a2 = , , y = ()a = , т.е. CL = ½ . Из соображений симметрии CM = CL = ½ .

Теорема 3 (обратная теореме 1). Дан прямоугольный треугольник ABС и вписанная в его прямой угол С полуокружность, касающаяся катетов СA и CB в точках F1 и F2 соответственно, имеющая центр на гипотенузе. Через середины M и L отрезков СF1 и СF2 проведены перпендикуляры к гипотенузе AB, которые пересекают полуокружность в точках K и N. Доказать, что треугольники ANC и BKC – равнобедренные.
Доказательство

Пусть AN = z. Требуется доказать, что z = b = AС, зная, что x = ½ (cм. первое доказательство теоремы 1),  -- вспомогательный отрезок.

z22 = AO (c + OB 2BB1) или z22 = (с + – 2), z2 = 2 +(с2 + – – ) = 2 + = = b2 b2.

Отсюда z = b = AN = AС и треугольник ACN – равнобедренный.

Аналогично доказывается, что треугольник BKC – равнобедренный.

Теорема 2. Доказать, что KN ML (см. условие в теореме 1).
Доказательство

1 cпособ (метод координат без явного задания единичного отрезка). mavlo_t2

Пусть С (0; 0), A (b; 0), B (0; a), т.е. катеты AC и BC принадлежат осям и ACBC.

Тогда O (; ), M (/2; 0), L (0; /2), kLM = – 1 (см. теорему 1).

Для доказательства неравенства KNML убедимся в том, что kNK ≤ – 1 (kLM и kNK – угловые коэффициенты прямых).

kNK = , где xK, xN, yK, yN – координаты точек N и K. Координаты этих точек вычислим как координаты точек пересечения прямых LB1 и MA1 c полуокружностью (x)2 + (y)2 = 2 ().

kAB = – . Тогда угловые коэффициенты параллельных прямых LB1, MA1, содержащих перпендику-ляры к гипотенузе, равны (– 1) : (– ) = , а их уравнения суть: y = x + , y = x.

Итак, вычислим координаты точки N, подставляя x + вместо y в уравнение ().

x2 – 2x + x2 + = 0, x2 – 2x + = 0. Учитывая, что a2 + b2 = c2 и, умножив на 4a2, получим квадратное уравнение 4c2x2 – 2x 2a (2a + b) + 2a2 = 0. Отсюда

xN = (2a (2a + b) – ) : (4c2) = (2a + b) – ) (значение выражения со знаком плюс перед корнем – абсцисса второй точки пересечения прямой ^ LB1 с полной окружностью). yN = xN + .

Аналогично, подстановкой x вместо y в уравнение (), вычислим координаты точки K.

4c2x2 – 2x 2a (2a + 3b) + 92a2 = 0. xK = (2a + 3b) – ), yK = xK.

Имеем: kNK = .

Так как = (2b +), то остается доказать неравенство

≤ – 1 или .

Разделив на a (a > 0) обе части, получим или

≥ 2 , где t ≥ 1.

Убедиться в истинности полученного неравенства можно, например, графи-чески. При t ≥ 1 в его левой и правой части – возрастающие функции, причем разность корней возрастает быстрее и неограниченно, а гипербола имеет гори-зонтальную асимптоту – прямую y = 2.

Итак, kNK ≤ – 1, что равносильно дока-зываемому неравеству. Равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник – прямоугольный и равнобедренный.


2 cпособ (осевая симметрия). mavlo_t2_sym

Отыскивая более изящное доказательство, обратим внимание на то, что в равнобедренном треугольнике ABC KN = ML, LN = MK, OM = OL и т.д.

Неравенство возникает, когда нарушается симметрия. “Восстановим” ее, рассматривая осевую симметрию относительно прямой, содержащей биссектрису CO прямого угла.

MKCO = S (AC > BC). Так как точка M симметрична точке L, то симметричны отрезки SM, SL, их точки пере-сечения с полуокружностью K, K1 и радиусы OK, OK1.

Пусть касательная, перпендикулярная радиусу OK1, пересекает LN в точке N1. Точка N1 не принадлежит полуокружности, поэтому отлична от точки N. Имеем: MK = LK1 < LN1 < LN.

Полученное неравенство MK < LN и равенство MK = LN дают неравенство MKLN, равносильное доказываемому.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Математика в школах України. 2007. №4(160). С. 3-5 iconВспомогательное отношение
О. П. Зеленяк. Математика в школах України. – 2009. – №16-18 (244-246). – С. 59-70

Математика в школах України. 2007. №4(160). С. 3-5 iconЗаседание математического кружка «Суммари»
Роботу надруковано в науково-методичному журналі «Математика в школах України. Позакласна робота» Серпень 2011

Математика в школах України. 2007. №4(160). С. 3-5 iconЗаседание открываем стихотворением Софьи Васильевны: если ты в жизни
Роботу надруковано в науково-методичному журналі «Математика в школах України» №3 (303)

Математика в школах України. 2007. №4(160). С. 3-5 iconЗаседание открываем стихотворением Софьи Васильевны: если ты в жизни
Роботу надруковано в научно-методичному журналі «Математика в школах України» №3 (303)

Математика в школах України. 2007. №4(160). С. 3-5 iconПрименения симметрии
Зеленяк О. П. Математика в школах України. – 2011. – №5 (341). – С. 21-28. – 2011. – №8 (344). – С. 21-28

Математика в школах України. 2007. №4(160). С. 3-5 iconПрограмма «120 баллов» позволит вам получить существенную скидку...
Мистецтво в школі, Інформатика в школі, Трудове навчання в школі, Фізичне виховання в школах України, Шкільному психологу. Усе для...

Математика в школах України. 2007. №4(160). С. 3-5 iconУрок одной задачи? Зеленяк О. П. Математика в школах України. – 2008
В статье рассмотрим решение известной задачи на вычисление объема правильной четырехугольной пирамиды c последующими аналитическим...

Математика в школах України. 2007. №4(160). С. 3-5 iconПропозиції до Закону України «Про Державний бюджет України на 2007 рік»
Прийнятий Верховною Радою України 6 грудня 2006 року Закон України «Про Державний бюджет України на 2007 рік» не може бути підписаний...

Математика в школах України. 2007. №4(160). С. 3-5 iconДонецька обласна універсальна наукова бібліотека
Про відзначення державними нагородами України працівників підприємств, установ та організацій з нагоди Дня незалежності України:...

Математика в школах України. 2007. №4(160). С. 3-5 iconДо Програми (у редакції постанови Кабінету Міністрів України від...
Концепція Програми схвалена розпорядженням Кабінету Міністрів України від 11 липня 2007 р. №502 (Офіційний вісник України, 2007 р.,...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
uchebilka.ru
Главная страница


<